北师大版高中数学必修第一册第七章概率检测试题含答案

第七章　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下列事件中,随机事件的个数为(　C　)

①明年1月1日郑州市下雪;

②抛掷100次硬币,出现正面向上的次数为50;

③在标准大气压下,水在80 ℃时沸腾.

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:①②对应的事件可能发生,也可能不发生,为随机事件,③在标准大气压下时,水达到100摄氏度沸腾,达到80 ℃不可能沸腾,故为不可能事件.故选C.

2.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件E={3个红球},那么事件C与A,B,E的运算关系是(　B　)

(A)C=(A∩B)∪E    (B)C=A∪B∪E

(C)C=(A∪B)∩E    (D)C=A∩B∩E

解析:3个球中至少有一个红球包括3个球中有1个红球,有2个红球,有3个红球,所以由题意可知C=A∪B∪E.故选B.

3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:任取两个不同的数的所有可能结果有(1,2),(1,3),(1,4),

(2,3),(2,4),(3,4),共6种,2个数之差的绝对值为2的有(1,3),

(2,4),故所求概率P==.故选B.

4.某商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项,其中中一等奖的概率为0.05,中二等奖的概率为0.16,中鼓励奖的概率为0.40,则不中奖的概率为(　B　)

(A)0.55 (B)0.39 (C)0.68 (D)0.61

解析:中奖的概率为0.05+0.16+0.40=0.61,

中奖与不中奖互为对立事件,

所以不中奖的概率为1-0.61=0.39.

故选B.

5.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:

7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636

6947　1417　4698　0371　6233　2616　8045

6011　3661　9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　B　)

(A)0.55 (B)0.6 (C)0.65 (D)0.7

解析:在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有7527,

9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,8045,3661,9597,7424,共12组随机数,

所以所求概率为=0.6.故选B.

6.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学3次投篮投中的概率分别为0.6,0.5,0.5,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　A　)

(A)0.55 (B)0.45 (C)0.35 (D)0.3

解析:记该同学3次投篮分别为事件A,B,C,则该同学通过测试的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×

0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55,故选A.

7.如图所示的电路有a,b,c三个开关,每个开关开或关的概率都是,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设“a闭合”为事件A,“b闭合”为事件B,“c闭合”为事件C,则甲灯亮应为事件AC,且A,B,C之间彼此独立,P(A)=P(B)=P(C)=,所以P(AC)=P(A)P()P(C)=×(1-)×=.故选C.

8.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:记三个兴趣小组分别为1,2,3,甲参加1组记为“甲1”,则一共有9种可能结果:

甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3.

记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件A的可能结果有甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3,共3种情况,因此P(A)=.故选A.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.一个不透明袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”;事件Q表示“取出的都是白球”;事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”.则下列结论不正确的是(　ABD　)

(A)P与R是互斥事件

(B)P与Q是对立事件

(C)Q和R是对立事件

(D)Q和R是互斥事件,但不是对立事件

解析:袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的结果共有如下几类:

①取出的两个球都是黑球;②取出的两个球都是白球;③取出的两个球一黑一白.

事件R包括①③两种情况,故A不正确.事件P与事件Q互斥,但不是对立事件,所以选项B不正确.

事件Q与事件R互斥且对立,所以选项C正确,选项D不正确.

故选ABD.

10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现从这个工厂随机抽查1件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是(　ABC　)

(A)P(B)=     (B)P(A∪B)=

(C)P(A∩B)=0  (D)P(A∪B)=P(C)

解析:由题意得P(A)==,

P(B)==,P(C)==,

P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=≠P(C),

P(A∩B)=0,

故A,B,C正确,D错误.

故选ABC.

11.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是(　ABD　)

(A)如果A与B互斥,那么P()=0.1

(B)如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0

(C)如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0

(D)如果A与B相互独立,那么P( )=0.28,P(B)=0.12

解析:对于A,如果A与B互斥,那么P()=1-P(A∪B)=0.1,故A正确;对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正确;对于C,如果A与B相互独立,

那么P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9-0.18=0.72,

P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C错误;

对于D,如果A与B相互独立,

那么P( )=P()P()=0.4×0.7=0.28,

P(B)=P()P(B)=0.4×0.3=0.12,故D正确.

故选ABD.

12.下列对各事件发生的概率判断正确的是(　AC　)

(A)某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

(B)3人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,,,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为

(C)甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取1个球,则取到同色球的概率为

(D)设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是

解析:对于A,该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的情

况是:前2个路口都没有遇到红灯,第3个路口遇到红灯,

其概率为P=××=,故A正确;

对于B,此密码被破译的对立事件是3个人都没有破译出密码,

所以此密码被破译的概率为P=1-(1-)(1-)(1-)=,故B错误;

对于C,从每袋中各任取1个球,则取到同色球的概率为P=×+×=,故C正确;

对于D,由题意得

解得P(A)=P(B)=,故D错误.

故选AC.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.

13.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　     　　. 

解析:记2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中任选2名学生的所有可能结果有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共10种,其中恰好选中2名女生的结果有ab,ac,bc,共3种,故所求概率为.

答案:

14.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为,,,且各轮问题能否正确回答互不影响,则该选手被淘汰的概率为　　　. 

解析:该选手被淘汰的对立事件是该选手通过三轮考核,

所以该选手被淘汰的概率为P=1-××=.

答案:

15.从3,5,7,9,10中任取3个数作为边长,不能围成三角形的概率为

　　　　. 

解析:“任取3个数”包含的样本点为(3,5,7),(3,5,9),(3,5,10),

(3,7,9),(3,7,10),(3,9,10),(5,7,9),(5,7,10),(5,9,10),

(7,9,10),共10个,

其中“不能够围成三角形”的样本点为(3,5,9),(3,5,10),(3,7,10),共3个,所以所求的概率为P=.

答案:

16.有以下一些说法:

①昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的;

②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖;

③做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率

为;

④某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品.

其中错误说法的序号是　　　　　. 

解析:①中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故①错误;

②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故②错误;

③中正面朝上的频率为,概率仍为,故③错误;

④正确.

所以错误说法的序号是①②③.

答案:①②③

四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.

(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;

(2)求至少摸出1个黑球的概率.

解:(1)记事件A:恰好摸出1个黑球和1个红球,

该试验的所有的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),

(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,

事件A所包含的样本点有(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),

(b,e),共6个,

所以恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为P(A)==.

(2)记事件B:至少摸出1个黑球,则事件B所包含的样本点有(a,b),

(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共7个,

所以至少摸出1个黑球的概率P(B)=.

18.(12分)射击运动员射击一次,命中7～10环的概率如表所示:

该射击运动员射击一次,求:

(1)射中9环或10环的概率;

(2)至少命中8环的概率;

(3)命中不足8环的概率.

解:记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.

(1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=

0.32+0.28=0.60.

(2)设“射击一次,至少命中8环”的事件为B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生.由互斥事件的概率加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+

P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.

(3)由于事件“射击一次,命中不足8环”是事件B:“射击一次,至少命中8环”的对立事件,即表示事件“射击一次,命中不足8环”,则P()=1-P(B)=1-0.78=0.22.

19.(12分)甲、乙、丙三名同学完成六道数学自测题,他们及格的概率依次为,,,求:

(1)三人中有且只有两人及格的概率;

(2)三人中至少有一人不及格的概率.

解:(1)设事件A表示“甲及格”,事件B表示“乙及格”,事件C表示“丙及格”,

则P(A)=,P(B)=,P(C)=,

所以三人中有且只有两人及格的概率为

P1=P(AB)+P(AC)+P(BC)

=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)

=××(1-)+×(1-)×+(1-)××

=.

(2)“三人中至少有一人不及格”的对立的事件为“三人都及格”,

则三人中至少有一人不及格的概率为

P2=1-P(ABC)

=1-P(A)P(B)P(C)

=1-××

=.

20.(12分)为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

解:(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,记“甲队总得分为1分”为事件B,

甲队总得分为3分,即甲队3人都回答正确,其概率为P(A)=××

=,

甲队总得分为1分,即甲队3人中只有1人回答正确,其余两人回答错误,其概率为P(B)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×

(1-)×=.

所以甲队总得分为3分与1分的概率分别为,.

(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,记“乙队总得分为1分”为事件D,

事件C即甲队3人中有2人回答正确,1人回答错误,

则P(C)=××(1-)+×(1-)×+(1-)××=,

事件D即乙队3人中只有1人回答正确,其余2人回答错误,

则P(D)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=,

由题意得事件C与事件D相互独立,

所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)=

P(C)P(D)=×=.

21.(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;

(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率.

解:(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30(人),仅使用B的学生有24+1=25(人),

A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中,A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人).估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为×

1 000=400.

(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,

则P(C)=.

22.(12分)甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛,在距篮筐3米线内设一点M,在点M处投中一球得2分,不中得0分;在距篮筐3米线外设一点N,在点N处投中一球得3分,不中得0分.已知甲、乙两人在点M处投中的概率都为p,在点N处投中的概率都为q,且在点M,N处投中与否互不影响.假设甲、乙两人先在点M处各投篮一次,然后在点N处各投篮一次,甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为,乙得5分的概率为.

(1)求p,q的值;

(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.

解:设A0,A2,A3,A5分别表示在一次比赛中甲得0分,2分,3分,5分的事件,B0,B2,B3,B5分别表示在一次比赛中乙得0分,2分,3分,5分的

事件.

(1)依题意得

解得p=,q=.

(2)由(1)得P(A0)=P(B0)=(1-)×(1-)=,

P(A2)=P(B2)=,

P(A3)=P(B3)=(1-)×=,

P(A5)=P(B5)=.

设事件C为“′星队′在一次比赛中的总得分为5分”,

则C=A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0,

则P(C)=P(A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0)

=P(A0)P(B5)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+

P(A5)P(B0)

=×+×+×+×

=.

所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率为.