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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数2 对数的运算2.2 换底公式课后练习题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数2 对数的运算2.2 换底公式课后练习题，共6页。试卷主要包含了2 换底公式，☉%#*#29#62%☉化简等内容，欢迎下载使用。
§2 对数的运算
2.2 换底公式
知识点 对数的换底公式
1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)lg29·lg34=( )。
A.14B.12C.2D.4
答案：D
解析：原式=lg232·lg322=4lg23·lg32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。故选D。
2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)lg849lg27的值是( )。
A.2B.32C.1D.23
答案：D
解析：lg849lg27=lg272lg223÷lg27=23。故选D。
3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若lg2x·lg34·lg59=8,则x等于( )。
A.8B.25C.16D.4
答案：B
解析：因为lg2x·lg34·lg59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgxlg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x=2lg 5=lg 25,所以x=25。故选B。
4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:lg212+lg223+lg234+…+lg21516等于( )。
A.5B.4C.-5D.-4
答案：D
解析：原式=lg212×23×34×…×1516=lg2116=-4。故选D。
5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若lg34·lg8m=lg416,则m等于( )。
A.3B.9C.18D.27
答案：D
解析：原式可化为lg8m=2lg34,所以13lg2m=2lg43,所以m13=3,m=27。故选D。
6.☉%￥6#*#258%☉(2020·黄冈中学检测)已知lg 2=a,lg 3=b,则lg36=( )。
A.a+baB.a+bb
C.aa+bD.ba+b
答案：B
解析： lg36=lg6lg3=lg2+lg3lg3=a+bb,故选B。
7.☉%￥5*1@6#2%☉(2020·上海理工大附中高一期中)已知lg32=a,则lg3218用a表示为 。
答案：a+25a
解析：因为lg32=a,所以lg23=1a,所以lg3218=15lg2(2×32)=15(1+2lg23)=151+2×1a=a+25a。
题型1 换底公式的基本运用
8.☉%@￥*94@10%☉(2020·德州一中月考)若a=lg523,b=lg83,c=12lg22,则a,b,c三数的大小关系是( )。
A.a
C.c
答案：A
解析： a<0,b=lg23lg28=12lg233=16lg23=lg263,c=lg242。又63=129,42=128,所以b>c>0>a。故选A。
9.☉%2#1#@￥45%☉(2020·平定一中模拟)已知方程x2-xlg26+lg23=0的两根分别为α,β,则31α×31β=( )。
A.36B.18C.12D.6
答案：D
解析：由根与系数的关系可得α+β=lg26,αβ=lg23。所以1α+1β=α+βαβ=lg26lg23=lg36,故31α×31β=31α+1β=3α+βαβ=3lg36=6。故选D。
10.☉%*4*2*88￥%☉(2020·北安一中检测)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0且lgxm=24,lgym=40,lgxyzm=12,则lgzm的值为( )。
A.160B.60C.2003D.320
答案：B
解析：由已知得lgm(xyz)=lgmx+lgmy+lgmz=112,
lgmx=124,lgmy=140,
故lgmz=112-lgmx-lgmy=112-124-140=160,
所以lgzm=60。故选B。
11.☉%6@4*@51*%☉(2020·临川一中期中考试)若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则1x-1y=( )。
A.13B.3C.-13D.-3
答案：A
解析：因为x=lg2.51 000,y=lg0.251 000,所以1x=1lg2.51 000 =1lg1 0001 000lg1 0002.5=lg1 0002.5,同理1y=lg1 0000.25,所以1x-1y=lg1 0002.5-lg1 0000.25=lg1 00010=lg10lg1 000=13。故选A。
12.☉%6@241@*￥%☉(2020·玉溪一中月考)化简(lg43+lg83)(lg32+lg92)= 。
答案：54
解析：原式=lg23lg24+lg23lg281lg23+1lg232=54。
13.☉%464@@￥0#%☉(2020·珠海一中月考)若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则lgab2的值为 。
答案：2
解析：由根与系数的关系,得lg a+lg b=2,lg a·lg b=12,所以lgab2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×12=2。
14.☉%*787*@*0%☉(2020·汾河一中月考)方程lg2x+1lg(x+1)2=1的解是x= 。
答案：1
解析：原方程可变为lg2x+lg2(x+1)=1,即lg2[x(x+1)]=1,所以x(x+1)=2,解得x=1或x=-2。又x>0,x+1>0,x+1≠1,即x>0,所以x=1。
15.☉%1*56#￥6*%☉(2020·衡水高一统考)已知f(x)=x+lg2x9-x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)的值为 。
答案：36
解析：因为f(x)=x+lg2x9-x,所以f(9-x)=9-x+lg29-xx,故f(x)+f(9-x)=9;故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=f(1)+f(8)+…+f(4)+f(5)=4×9=36。
16.☉%￥6#66@￥1%☉(2020·南宁三中高一段考)计算:
(1)lg225·lg322·lg59;
答案：解:原式=2lg25×32lg32×2lg53=6×lg5lg2×lg2lg3×lg3lg5=6。
(2)lg23·lg32-12-2lg43+492560.5 +6427-23。
答案：
因为lg23·lg32=1,12-2lg43=4lg43=3,
492560.5=4925612=716,6427-23=433×(-23)=43-2=916,
所以lg23·lg32-12-2lg43+492560.5+6427-23=1-3+716+916=-1。
题型2 对数方程的求解
17.☉%22@7#**0%☉(2020·昆明三中检测)解下列方程:
(1)12(lg x-lg 3)=lg 5-12lg (x-10);
答案：解:首先,方程中的x应满足x>10,
其次,原方程可化为lgx3=lg5x-10,
所以x3=5x-10,即x2-10x-75=0。
解得x=15或x=-5(舍去),经检验x=15是原方程的解。
(2)lg x+2lg10xx=2;
答案：首先,x>0且x≠110,其次,原方程可化为lg x+2lgx1+lgx=2,即(lg x)2+lg x-2=0。令t=lg x,则t2+t-2=0,
解得t=1或t=-2,即lg x=1或lg x=-2。
所以x=10或x=1100。
经检验x=10或x=1100都是原方程的解。
(3)lg(x2-1)(2x2-3x+1)=1。
答案：首先,x2-1>0且x2-1≠1,即x>1或x<-1且x≠±2。
又2x2-3x+1>0,得x<12或x>1。
综上x>1或x<-1且x≠±2。
其次,原方程可化为x2-1=2x2-3x+1。
所以x2-3x+2=0,解得x=1或x=2。
又因为x>1或x<-1且x≠±2,所以x=2。
经检验x=2是原方程的解。
18.☉%8@##05*1%☉(2020·杭州模拟)完成下列题目。
(1)解方程lg2(9x-5)=lg2(4·3x-8);
答案：解:因为lg2(9x-5)=lg2(4·3x-8),
所以9x-5=4·3x-8,9x-5>0,4·3x-8>0, 即(3x)2-4·3x+3=0,9x>5,3x>2,
所以x=1。
(2)设0
答案：因为lgax+3lgxa-lgxy=3,lgax+3lgax-lgaylgax=3,
所以lgay=(lgax)2-3lgax+3=lgax-322+34。
当lgax=32时,lgay有最小值34。
又因为0
19.☉%#*29*#66%☉(2020·武汉二中月考)已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py。
(1)求p的值;
答案：解:设3x=4y=6z=k(k>1),则x=lg3k,y=lg4k,z=lg6k。
由2x=py,得2lg3k=plg4k=p·lg3klg34。
因为lg3k≠0,所以p=2lg34。
(2)求证:1z-1x=12y。
答案：证明:因为1z-1x=1lg6k-1lg3k=lgk6-lgk3=lgk2,
又因为12y=12lgk4=lgk2,所以1z-1x=12y。
§2 对数的运算
2.2 换底公式
知识点 对数的换底公式
1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)lg29·lg34=( )。
A.14B.12C.2D.4
答案：D
解析：原式=lg232·lg322=4lg23·lg32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。故选D。
2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)lg849lg27的值是( )。
A.2B.32C.1D.23
答案：D
解析：lg849lg27=lg272lg223÷lg27=23。故选D。
3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若lg2x·lg34·lg59=8,则x等于( )。
A.8B.25C.16D.4
答案：B
解析：因为lg2x·lg34·lg59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgxlg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x=2lg 5=lg 25,所以x=25。故选B。
4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:lg212+lg223+lg234+…+lg21516等于( )。
A.5B.4C.-5D.-4
答案：D
解析：原式=lg212×23×34×…×1516=lg2116=-4。故选D。
5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若lg34·lg8m=lg416,则m等于( )。
A.3B.9C.18D.27
答案：D
解析：原式可化为lg8m=2lg34,所以13lg2m=2lg43,所以m13=3,m=27。故选D。
6.☉%￥6#*#258%☉(2020·黄冈中学检测)已知lg 2=a,lg 3=b,则lg36=( )。
A.a+baB.a+bb
C.aa+bD.ba+b
答案：B
解析： lg36=lg6lg3=lg2+lg3lg3=a+bb,故选B。
7.☉%￥5*1@6#2%☉(2020·上海理工大附中高一期中)已知lg32=a,则lg3218用a表示为 。
答案：a+25a
解析：因为lg32=a,所以lg23=1a,所以lg3218=15lg2(2×32)=15(1+2lg23)=151+2×1a=a+25a。
题型1 换底公式的基本运用
8.☉%@￥*94@10%☉(2020·德州一中月考)若a=lg523,b=lg83,c=12lg22,则a,b,c三数的大小关系是( )。
A.a
C.c
答案：A
解析： a<0,b=lg23lg28=12lg233=16lg23=lg263,c=lg242。又63=129,42=128,所以b>c>0>a。故选A。
9.☉%2#1#@￥45%☉(2020·平定一中模拟)已知方程x2-xlg26+lg23=0的两根分别为α,β,则31α×31β=( )。
A.36B.18C.12D.6
答案：D
解析：由根与系数的关系可得α+β=lg26,αβ=lg23。所以1α+1β=α+βαβ=lg26lg23=lg36,故31α×31β=31α+1β=3α+βαβ=3lg36=6。故选D。
10.☉%*4*2*88￥%☉(2020·北安一中检测)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0且lgxm=24,lgym=40,lgxyzm=12,则lgzm的值为( )。
A.160B.60C.2003D.320
答案：B
解析：由已知得lgm(xyz)=lgmx+lgmy+lgmz=112,
lgmx=124,lgmy=140,
故lgmz=112-lgmx-lgmy=112-124-140=160,
所以lgzm=60。故选B。
11.☉%6@4*@51*%☉(2020·临川一中期中考试)若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则1x-1y=( )。
A.13B.3C.-13D.-3
答案：A
解析：因为x=lg2.51 000,y=lg0.251 000,所以1x=1lg2.51 000 =1lg1 0001 000lg1 0002.5=lg1 0002.5,同理1y=lg1 0000.25,所以1x-1y=lg1 0002.5-lg1 0000.25=lg1 00010=lg10lg1 000=13。故选A。
12.☉%6@241@*￥%☉(2020·玉溪一中月考)化简(lg43+lg83)(lg32+lg92)= 。
答案：54
解析：原式=lg23lg24+lg23lg281lg23+1lg232=54。
13.☉%464@@￥0#%☉(2020·珠海一中月考)若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则lgab2的值为 。
答案：2
解析：由根与系数的关系,得lg a+lg b=2,lg a·lg b=12,所以lgab2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×12=2。
14.☉%*787*@*0%☉(2020·汾河一中月考)方程lg2x+1lg(x+1)2=1的解是x= 。
答案：1
解析：原方程可变为lg2x+lg2(x+1)=1,即lg2[x(x+1)]=1,所以x(x+1)=2,解得x=1或x=-2。又x>0,x+1>0,x+1≠1,即x>0,所以x=1。
15.☉%1*56#￥6*%☉(2020·衡水高一统考)已知f(x)=x+lg2x9-x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)的值为 。
答案：36
解析：因为f(x)=x+lg2x9-x,所以f(9-x)=9-x+lg29-xx,故f(x)+f(9-x)=9;故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=f(1)+f(8)+…+f(4)+f(5)=4×9=36。
16.☉%￥6#66@￥1%☉(2020·南宁三中高一段考)计算:
(1)lg225·lg322·lg59;
答案：解:原式=2lg25×32lg32×2lg53=6×lg5lg2×lg2lg3×lg3lg5=6。
(2)lg23·lg32-12-2lg43+492560.5 +6427-23。
答案：
因为lg23·lg32=1,12-2lg43=4lg43=3,
492560.5=4925612=716,6427-23=433×(-23)=43-2=916,
所以lg23·lg32-12-2lg43+492560.5+6427-23=1-3+716+916=-1。
题型2 对数方程的求解
17.☉%22@7#**0%☉(2020·昆明三中检测)解下列方程:
(1)12(lg x-lg 3)=lg 5-12lg (x-10);
答案：解:首先,方程中的x应满足x>10,
其次,原方程可化为lgx3=lg5x-10,
所以x3=5x-10,即x2-10x-75=0。
解得x=15或x=-5(舍去),经检验x=15是原方程的解。
(2)lg x+2lg10xx=2;
答案：首先,x>0且x≠110,其次,原方程可化为lg x+2lgx1+lgx=2,即(lg x)2+lg x-2=0。令t=lg x,则t2+t-2=0,
解得t=1或t=-2,即lg x=1或lg x=-2。
所以x=10或x=1100。
经检验x=10或x=1100都是原方程的解。
(3)lg(x2-1)(2x2-3x+1)=1。
答案：首先,x2-1>0且x2-1≠1,即x>1或x<-1且x≠±2。
又2x2-3x+1>0,得x<12或x>1。
综上x>1或x<-1且x≠±2。
其次,原方程可化为x2-1=2x2-3x+1。
所以x2-3x+2=0,解得x=1或x=2。
又因为x>1或x<-1且x≠±2,所以x=2。
经检验x=2是原方程的解。
18.☉%8@##05*1%☉(2020·杭州模拟)完成下列题目。
(1)解方程lg2(9x-5)=lg2(4·3x-8);
答案：解:因为lg2(9x-5)=lg2(4·3x-8),
所以9x-5=4·3x-8,9x-5>0,4·3x-8>0, 即(3x)2-4·3x+3=0,9x>5,3x>2,
所以x=1。
(2)设0
答案：因为lgax+3lgxa-lgxy=3,lgax+3lgax-lgaylgax=3,
所以lgay=(lgax)2-3lgax+3=lgax-322+34。
当lgax=32时,lgay有最小值34。
又因为0
19.☉%#*29*#66%☉(2020·武汉二中月考)已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py。
(1)求p的值;
答案：解:设3x=4y=6z=k(k>1),则x=lg3k,y=lg4k,z=lg6k。
由2x=py,得2lg3k=plg4k=p·lg3klg34。
因为lg3k≠0,所以p=2lg34。
(2)求证:1z-1x=12y。
答案：证明:因为1z-1x=1lg6k-1lg3k=lgk6-lgk3=lgk2,
又因为12y=12lgk4=lgk2,所以1z-1x=12y。
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