数学必修 第一册1 对数的概念一课一练

这是一份数学必修 第一册1 对数的概念一课一练，共7页。

§1 对数的概念


知识点 对数式与指数式互化


1.☉%4￥*#0￥06%☉(多选)(2020·上海徐江区检测)下列说法中正确的是( )。


A.零和负数没有对数


B.任何一个指数式都可以化成对数式


C.以10为底的对数叫作常用对数


D.以e为底的对数叫作自然对数


答案：ACD


解析：ACD正确,B不正确,只有a>0且a≠1时,ax=N才能化为对数式。故选ACD。


2.☉%6#25*2@*%☉(2020·六安一中检测)若a>0且a≠1,c>0,则将ab=c化为对数式为( )。


A.lgab=cB.lgac=b


C.lgbc=aD.lgca=b


答案：B


解析：由对数的定义直接可得lgac=b。故选B。


3.☉%1@#08￥*3%☉(2020·吴淞中学月考)若lga7b=c(a>0且a≠1,b>0),则有( )。


A.b=a7cB.b7=ac


C.b=7acD.b=c7a


答案：A


解析：因为lga7b=c,所以ac=7b,所以(ac)7=(7b)7,所以a7c=b。故选A。


4.☉%4*494￥*￥%☉(2020·忻州一中月考)已知a23=49(a>0且a≠1),则lg23a=( )。


A.2B.3C.12D.13


答案：B


解析：由a23=49,得a=4932=233,所以lg23a=lg23233=3。故选B。


5.☉%3##5*7*9%☉(2020·高州三中测试)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )。


A.e0=1与ln 1=0


B.lg39=2与912=3


C.8-13=12与lg812=-13


D.lg77=1与71=7


答案：B


解析：lg39=2化为指数式为32=9,故选B。


6.☉%￥671￥@4#%☉(2020·广安二中检测)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式。


(1)53=125;


答案：解:因为53=125,所以lg5 125=3。


(2)4-2=116;


答案：因为4-2=116,所以lg4 116=-2。


(3)lg128=-3;


答案：因为lg12 8=-3,所以12-3=8。


(4)lg3127=-3。


答案：因为lg3 127=-3,所以3-3=127。


7.☉%#￥@205@1%☉(2020·吉林实验中学月考)方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为( )。


A.-3B.3


C.-1或3D.1或-3


答案：B


解析：由lg(x2-1)=lg(2x+2),得x2-1=2x+2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3。当x=-1时x2-1=0,lg(x2-1)无意义,所以原方程的根为x=3。故选B。


题型1 对数概念的应用


8.☉%6*7￥0@1#%☉(2020·台州一中高一月考)求下列各式中x的值。


(1)lg2(lg5x)=0;


答案：解:由题意,lg5x=1,∴x=5。


(2)lg3(lg x)=1;


答案：由题意,lg x=3,∴x=103=1 000。


(3)lg(2-1)13+22=x。


答案：由题意,


x=lg(2-1)1(3+22)12=lg(2-1)13+2212=12lg(2-1)13+22=12lg(2-1)(3-22)=12lg(2-1)(2-1)2=12×2=1。


9.☉%￥*￥32￥33%☉(2020·上饶一中月考)已知x2+y2-4x-2y+5=0,则lgx(yx)的值是( )。


A.1B.0C.xD.y


答案：B


解析：由x2+y2-4x-2y+5=0,得(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1。所以lgx(yx)=lg2(12)=0。故选B。


10.☉%7*2￥@93￥%☉(2019·黑龙江、吉林两省八校高一期中)已知alg23=1,4b=3,则ab等于( )。


A.0B.12C.34D.1


答案：B


解析：由alg23=1,4b=3得 a=lg32,b=lg43=12lg23,所以a·b=lg32·12lg23=12。故选B。


11.☉%6*￥5￥*71%☉(2020·北京人大附中月考)已知lg7[lg3(lg2x)]=0,那么x-12等于( )。


A.13B.36C.24D.33


答案：C


解析：由条件,知lg3(lg2x)=1⇒lg2x=3⇒x=23=8,所以x-12=8-12=1812=122=24。故选C。


12.☉%￥92@*￥74%☉(2020·广安二中月考)若对数式lg(2a-1)(6-2a)有意义,则实数a的取值范围为( )。


A.(-∞,3)B.12,3


C.12,1∪(1,+∞)D.12,1∪(1,3)


答案：D


解析：由已知,得6-2a>0,2a-1>0,2a-1≠1⇒a<3,a>12,⇒12

13.☉%￥3@5￥3*6%☉(2020·西安中学期中考试)已知b>0,lg5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( )。


A.d=acB.a=dc


C.c=adD.d=a+c


答案：B


解析：由已知得5a=b,10c=b,所以5a=10c。因为5d=10,所以5dc=10c,所以5dc=5a,所以dc=a,故选B。


14.☉%9￥**8#31%☉(2020·乐山一中检测)若lg31-2x9=1,则x= 。


答案：-13


解析：因为lg31-2x9=1,所以1-2x9=3,所以x=-13。


15.☉%￥*96@2@6%☉(2020·宁波效实中学月考)已知4a=2,lg x=a,则x= 。


答案：10


解析：因为4a=2,所以a=12。因为lg x=a,所以x=10a=10。


16.☉%*￥@1790￥%☉(2020·六安一中月考)若a=lg 2,b=lg 3,则100a-b2的值为 。


答案：43


解析：因为a=lg 2,所以10a=2。因为b=lg 3,所以10b=3。


所以100a-b2=(10a)210b=43。


17.☉%77￥￥86#@%☉(2020·长治二中月考)给出下列叙述:


①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④由lg25x=12,得x=±5。


其中正确的是 。(把正确的序号都填上)


答案：①②


解析：因为lg 10=1,所以lg(lg 10)=lg 1=0,①正确;


因为ln e=1,所以lg(ln e)=lg 1=0,②正确;


若10=lg x,则x=1010,③错误;


由lg25x=12,得x=2512=5,④错误。


18.☉%3@@974￥@%☉(2020·揭阳调考)对于任意实数x,符号[x]表示x的整数部分,即[x]是不超过x的最大整数。这个函数[x]叫作“取整函数”,则[lg 1]+[lg 2]+[lg 3]+[lg 4]+…+[lg 2 018]= 。


答案：4 947


解析：根据定义,[lg 1]=[lg 2]=[lg 3]=[lg 4]=…=[lg 9]=0,


[lg 10]=[lg 11]=[lg 12]=…=[lg 99]=1,


[lg 100]=[lg 101]=[lg 102]=…=[lg 999]=2,


[lg 1 000]=[lg 1 001]=[lg 1 002]=…=[lg 2 018]=3,


所以[lg 1]+[lg 2]+[lg 3]+[lg 4]+…+[lg 2 018]=1×(99-9)+2×(999-99)+3×(2 018-999)=90+2×900+3×1 019=4 947。


题型2 对数的基本运算


19.☉%￥*￥50￥68%☉(2020·郑州一中月考)完成下列题目。


(1)已知lg189=a,lg1854=b,求182a-b的值;


答案：解:因为lg189=a,lg1854=b,


所以18a=9,18b=54。


所以182a-b=182a18b=9254=32。


(2)已知lgx27=31+lg32,求x的值。


答案：lgx27=31+lg32=3·3lg32=3×2=6。


所以x6=27,所以x6=33。


又x>0,所以x=3。


20.☉%￥97@0￥*4%☉(2020·北京19中检测)若lg12x=m,lg14y=m+2,求x2y的值。


答案：解:因为lg12x=m,所以12m=x, x2=122m。


因为lg14 y=m+2,所以14m+2=y,y=122m+4。


所以x2y=122m÷122m+4=122m-(2m+4)=12-4=16。


21.☉%@3#￥*985%☉(2020·广安二中月考)完成下列题目。


(1)求下列各式中x的值:


①lg2x=-12; ②lgx3=-13。


答案：





(2)已知3m=8,试用m表示下列各式:


①lg38; ②lg32; ③lg83。


答案：





22.☉%#79@6#5#%☉(2020·北京景山学校期中考试)已知lg a和lg b是关于x的方程x2-x+m=0的两个根,而关于x的方程x2-(lg a)x-(1+lg a)=0有两个相等的实数根,求实数a,b和m的值。


答案：解:由题意得lga+lgb=1, ①lga·lgb=m, ②(lga)2+4(1+lga)=0, ③


由③得(lg a+2)2=0,所以lg a=-2,即a=1100。


代入①得lg b=1-lg a=1+2=3,所以b=1 000。


代入②得m=lg a·lg b=-2×3=-6。


23.☉%6#@#8@77%☉(2020·江门期末调考)完成下列题目。


(1)已知lgax=2,lgbx=3,lgcx=6,求lgabcx的值;


答案：解:因为lgax=2,lgbx=3,lgcx=6,


所以x=a2,x=b3,x=c6,所以a=x12,b=x13,c=x16,


所以abc=x12+13+16=x,所以lgabcx=lgxx=1。


(2)已知7.2x=3,0.8y=3,求证:1x-1y=2。


答案：证明:由已知得0.8x=31-2x=(0.8y)1-2x=0.8y-2xy,


所以x=y-2xy即y-x=2xy,因为x,y≠0,所以1x-1y=2。