高中北师大版 (2019)2.2 换底公式综合训练题

换底公式

[A级　基础巩固]

1．log52·log425的值为(　　)

A．－1　　　　　　　　 B．

C．1  D．2

解析：选C　log52·log425＝·＝·＝1.

2．设log89＝a，log35＝b，则lg 2＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由log89＝a，得log23＝a，所以＝a.又log35＝＝b，所以×＝ab，所以＝ab，所以lg 2＝.

3．若9a＝10b，则下列不可能成立的是(　　)

A．a>b>0  B．a<b<0

C．a＝b＝0  D．b>a>0

解析：选D　设9a＝10b＝k(k>0)，则有a＝log9k＝，b＝log10k＝，当k＝1时，有a＝b＝0；当k>1时，有a>b>0；当0<k<1时，有a<b<0.故选D.

4．若3a＝4b＝12c，且abc≠0，则＋＝(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：选D　设3a＝4b＝12c＝k(k>0，且k≠1)，

则a＝log3k，b＝log4k，c＝log12k，

则＋＝＋＝＝1.

5．(多选)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)

A．logab·logcb＝logca  B．logab·logca＝logcb

C．2lg a＋2lg b＝2lg ab  D．2lg ab＝2lg a·2lg b

解析：选BD　log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg ab＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确．C错误．

6．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．

解析：由2x＝3得x＝log23，

∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.

答案：3

7．已知x，y，z都是大于1的实数，m>0且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为________．

解析：∵logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，∴logmx＝，logmy＝，logmxyz＝，∴＋＋logmz＝，解得logmz＝，故logzm＝60.

答案：60

8．已知使log23×log34×log45×…×log(k＋1)(k＋2)(k∈N＋)为整数的实数k称为“企盼数”，则在区间[1，1 000]内“企盼数”共有________个．

解析：log23×log34×log45×…×log(k＋1)(k＋2)＝××…×＝log2(k＋2)，令log2(k＋2)＝n(n∈Z)．则k＋2＝2n(n∈Z)．又k∈[1，1 000]，故k＋2＝22，23，…，29，故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}，所以在区间[1，1 000]内共有8个“企盼数”．

答案：8

9．设a>0且a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值．

解：由换底公式，得logax＋－＝3，

整理，得(logax)2＋3－logay＝3logax，

∴logay＝(logax)2－3logax＋3

＝＋.

∴当logax＝，即x＝a时，logay取得最小值.

10．设a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，且c＋b≠1，c－b≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.

证明：法一：当a＝1时，左边＝右边＝0.

当a≠1时，log(c＋b)a＋log(c－b)a＝

＋＝

＝＝logaa2·log(c＋b)a·log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，即等式成立．

综上，log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.

法二：当a＝1时，左边＝右边＝0.

当a≠1时，由题意知要证原等式成立，即证＋＝2··，即证lg(c－b)＋lg(c＋b)＝2lg a，即证lg(c2－b2)＝lg a2.(*)

又c为直角三角形的斜边，所以a2＋b2＝c2，所以c2－b2＝a2，所以(*)式成立，原等式得证．

综上，log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.

[B级　综合运用]

11．若y＝log56·log67·log7 8·log89·log910，则(　　)

A．y∈(0，1)  B．y∈(1，2)

C．y∈(2，3)  D．y∈(3，4)

解析：选B　y＝××××＝log510＝1＋log52，因为0<log52<1，所以1<y<2.故选B.

12．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.

(1)求使2x＝py成立的p的值；

(2)求证：＝－.

解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，

由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，

因为log3k≠0，

所以p＝4log32.

(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.