必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课后复习题

这是一份必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课后复习题，共8页。

§3 对数函数


课时2 对数函数y=lg2x与y=lgax的图像和性质


知识点1 对数函数的奇偶性


1.☉%6@￥3*54@%☉(2020·滁州一中高一月考)函数f(x)=lg2(3x+3-x)是( )。


A.奇函数 B.偶函数


C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数


答案：B


解析：因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R。


又因为f(-x)=lg2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数。故选B。


2.☉%*3153#￥@%☉(2020·银川一中月考)函数f(x)=lg 1x2+1+x是( )。


A.奇函数 B.偶函数


C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数


答案：A


解析：f(x)的定义域为R,


所以f(-x)+f(x)=lg1x2+1-x+lg1x2+1+x=


lg1(x2+1)-x2=lg 1=0。


所以f(x)为奇函数,故选A。


3.☉%##163￥0@%☉(2020·邢台二中高一月考)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(lg4x)<0的解集是 。


答案：x|12

解析：由题意可知-12

4.☉%88￥￥6@￥1%☉(2020·丰城中学月考)已知函数f(x)=lga(3+2x),g(x)=lga(3-2x)(a>0且a≠1)。


(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;


答案：解:要使函数f(x)-g(x)有意义,必须有3+2x>0,3-2x>0,


解得-32

所以函数f(x)-g(x)的定义域是x|-32

(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;


答案：由(1)知函数f(x)-g(x)的定义域关于原点对称。


f(-x)-g(-x)=lga(3-2x)-lga(3+2x)


=-[lga(3+2x)-lga(3-2x)]


=-[f(x)-g(x)],


所以函数f(x)-g(x)是奇函数。


(3)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围。


答案：f(x)-g(x)>0,即lga(3+2x)>lga(3-2x)。


当a>1时,有3+2x>3-2x,3-2x>0,3+2x>0,解得x的取值范围是0,32。


当00,3+2x>0,解得x的取值范围是-32,0。


综上所述,当a>1时,x的取值范围是0,32;


当0

知识点2 对数函数的单调性


5.☉%448￥@9@@%☉(2020·长治二中月考)若y=-3lg(2a-3)x在(0,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为( )。


A.(0,1) B.(0,1)∪(1,+∞)


C.32,2 D.(2,+∞)


答案：D


解析：由已知,得y=lg(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,所以2a-3>1,解得a>2,故选D。


6.☉%@1￥*0*56%☉(2020·南充一中高一月考)下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( )。


A.y=lg12(x+1) B.lg2x2-1


C.y=lg21x D.y=lg12(x2-4x+5)


答案：D


解析：选项A,C中函数为减函数,(0,2)不是选项B中函数的定义域。选项D中,函数y=x2-4x+5在(0,2)上为减函数,又12<1,故y=lg12(x2-4x+5)在(0,2)上为增函数。故选D。


7.☉%￥*174##3%☉(2020·天津七中月考)函数f(x)=|lg12x|的单调递增区间是( )。


A.0,12 B.(0,1]


C.(0,+∞) D.[1,+∞)


答案：D


解析： f(x)的图像如图,由图像可知单调递增区间为[1,+∞)。故选D。





8.☉%￥0#7#0@6%☉(2020·南阳一中月考)已知lg12m

A.n

C.1

答案：D


解析：因为0<12<1,lg12mn>1,故选D。


9.☉%2@4@73*@%☉(2020·日照一中高一月考)已知f(x)=lga(3-2ax)在[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围是( )。


A.(0,1) B.0,32


C.0,34 D.34,32


答案：C


解析：设u(x)=3-2ax,因为f(x)=lga(3-2ax)在[1,2]上是增函数,所以00,即00,解得0

10.☉%9￥6*￥6#2%☉(2020·衡水中学月考)已知函数f(x)=lg |x|。


(1)判断函数f(x)的奇偶性;


答案：解:要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。


f(-x)=lg |-x|=lg |x|=f(x),


所以f(-x)=f(x)。


所以函数f(x)是偶函数。


(2)画出函数f(x)的图像的草图;


答案：解:由于函数f(x)是偶函数,则其图像关于y轴对称,将函数y=lg x的图像对称到y轴的左侧与函数y=lg x的图像合起来得函数f(x)的图像,如图。





(3)利用定义证明函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数。


答案：证明:设x1,x2∈(-∞,0),且x1

则f(x1)-f(x2)=lg |x1|-lg |x2|=lg|x1||x2|=lgx1x2,


因为x1,x2∈(-∞,0),且x1

所以|x1|>|x2|>0。


所以x1x2>1。所以lgx1x2>0。


所以f(x1)>f(x2)。


所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。


题型1 对数函数中奇偶性、单调性的综合应用


11.☉%9**@28*6%☉(2020·株洲醴陵一中高一期中)定义在R上的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|,满足f(2x-1)>f(x+1),则x的取值范围是( )。


A.(2,+∞)∪(-∞,-1)


B.(2,+∞)∪(-∞,1)


C.(-∞,1)∪(3,+∞)


D.(2,+∞)∪(-∞,0)


答案：D


解析：因为f(x)=ln(1+x2)+|x|,


所以f(-x)=ln(1+x2)+|-x|=ln(1+x2)+|x|=f(x),


所以f(x)是偶函数。


当x≥0时,f(x)=ln(1+x2)+x为增函数,则不等式f(2x-1)>f(x+1)等价于f(|2x-1|)>f(|x+1|),


即|2x-1|>|x+1|,平方得(2x-1)2>(x+1)2,即x2-2x>0,结合图像得x>2或x<0。故选D。


12.☉%10￥09@￥#%☉(2020·青岛二中高一期中考试)若函数f(x)=lg13[(2a-1)|x|+3]a≠12的定义域为R,则下列叙述正确的是( )。


A.f(x)在R上是增函数


B.f(x)在R上是减函数


C.f(x)在12,+∞上是减函数


D.f(x)在[0,+∞)上是减函数,在(-∞,0]上是增函数


答案：D


解析：由于底数13∈(0,1),所以函数f(x)的单调性与y=(2a-1)|x|+3的单调性相反。因为f(x)的定义域为R,所以(2a-1)|x|+3>0对于任意的实数x恒成立,所以2a-1>0,即a>12。又当a>12时,y=(2a-1)|x|+3在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,在(-∞,0]上是增函数,故选D。


13.☉%@93#10@#%☉(2020·巴东一中期中)比较大小:


lg22 lg23。


答案：>


解析：因为函数y=lg2x在(0,+∞)上是增函数,且2>3,所以lg22>lg23。


14.☉%#96*6￥0#%☉(2020·凉山州一中高一月考)如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=lgax的增减性相同,则a的取值范围是 。


答案：(1,2)


解析：由题意,得0<3-a<1,01,a>1,解得1

15.☉%@@264*2￥%☉(2020·武汉二中月考)已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为 。


答案：m

解析：因为2<5<3,所以1<5-1<2,12<5-12<1,


所以f(x)=ax在R上是减函数。由f(m)>f(n),得m

16.☉%58##6*#0%☉(2020·张家口一中月考)已知f(x)=lg12(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是 。


答案：(-4,4]


解析：二次函数y=x2-ax+3a的图像的对称轴为直线x=a2,由已知,可得a2≤2,且满足当x≥2时y=x2-ax+3a>0,所以a2≤2,4-2a+3a>0,解得-4

题型2 对数函数的值域与最值


17.☉%@￥2@2@49%☉(2020·天津耀华中学高一检测)若函数f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )。


A.14 B.12 C.2 D.4


答案：B


解析：依题可知,a0+lga(0+1)+a1+lga(1+1)=a,整理得1+a+lga2=a,即lga2=-1,解得a=12。故选B。


18.☉%21￥￥￥53@%☉(2020·北京十一校联考自主招生)若函数f(x)=lg (x2-2ax+a)的值域是R,则a的取值范围是( )。


A.(0,1) B.[0,1]


C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)


答案：D


解析：由题意得,二次函数y=x2-2ax+a有零点,因此Δ=4a2-4a≥0,解得a≤0或a≥1,故选D。


19.☉%8@#88*7@%☉(2020·双流中学月考)函数y=lgax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为 。


答案：2或12


解析：①当a>1时,函数y=lgax在[2,4]上是增函数,所以lga4-lga2=1,即lga42=1,所以a=2。


②当0

由①②知a=2或a=12。


20.☉%@84#￥17*%☉(2020·徐州第一中学高一期中)已知2x≤256且lg2x≥12。


(1)求x的取值范围;


答案：解:由2x≤256,得x≤8,由lg2x≥12,得x≥2,故2≤x≤8。


(2)求函数f(x)=lg2x2·lg2x4的最大值和最小值。


答案：由(1)得2≤x≤8,所以12≤lg2x≤3。


又f(x)=lg2x2·lg2x4=(lg2x-1)·(lg2x-2)=lg2x-322-14,


所以当lg2x=32时,f(x)min=-14;当lg2x=3时,f(x)max=2。


21.☉%5@#036##%☉(2020·荆州中学高一月考)已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2。


(1)求实数a的取值范围;


答案：解:因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,即3a<3,


所以a<1,即0

(2)求不等式lga(3x+1)

答案：由(1)知0

所以3x+1>0,7-5x>0,3x+1>7-5x,即x>-13,x<75,x>34,


所以34

(3)若函数y=lga(2x-1)在区间[1,3]上有最小值为-2,求实数a的值。


答案：由(1)知0

所以a-2=1a2=5,解得a=55a=-55舍去。