高中北师大版 (2019)2.2 换底公式学案

这是一份高中北师大版 (2019)2.2 换底公式学案，共17页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、对数换底公式的推导和应用；（重点）


2、会用对数换底公式进行化简与求值；（难点）


学科素养


1、通过对对数换底公式推导的学习，培养逻辑推理素养；


2、通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.


【知识清单】


换底公式及其推导





证明：设，则，两边取以a为底的对数，得


x,即


2、换底公式的应用


对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具，一般常换成以10为底.


常见结论


lgab·lgba＝


【基础过关】


1、eq \f(lg49,lg43)的值为( )


A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,2) D．eq \f(9,2)


2、已知lg34·lg48·lg8m＝2，则m＝________


【经典例题】


题型一 利用换底公式化简求值


例1、计算：（1）lg1627lg8132 （2）lg29·lg34








题型二 用已知对数表示其他对数


例2、若lg23＝a，lg52＝b，试用a，b表示lg245.








【课堂达标】


1．（lg29）•（lg34）等于（ ）


A．B．C．2D．4


2．设，则实数的值为（ ）


A．B．C．D．


3．已知,,则等于( )


A．B．C．D．


4．计算:( )


A．B．C．D．


5．若，则___________．


6．_________.


7、求的值.











8.求的值.














【能力提升】


1．设，，则（ ）


A．B．C．D．


2．若，则等于（ ）．


A．B．C．D．


3．已知且，则k的值为( )


A．15B．C．D．6


4．计算（ ）


A．3B．4C．5D．6


5．若lg2x•lg34•lg59=8，则x=


A．8B．25


C．16D．4


6．若，则（ ）


A．B．C．D．


7．（多选题）若，且，则下列等式中不正确的是（ ）


A． B．


C． D．


8．已知，，则__________（用含，的代数式表示）.


9．设,且,则______.


10.已知，试用a，b分别表示下列各式：


（1）；（2）；（3）．

















【参考答案】


【知识清单】


1、lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)


3、1


【基础过关】


1．B


【解析】


【分析】


直接利用对数的运算性质，对选项进行逐一分析判断即可.


【详解】


eq \f(lg49,lg43)＝lg39＝2lg33＝2.


【点睛】


本题考查对数换底公式，属简单题.


2、9


【解析】


因为lg34·lg48·lg8m＝2，


所以eq \f(lg 4,lg 3)·eq \f(lg 8,lg 4)·eq \f(lg m,lg 8)＝2，化简得lg m＝2lg 3＝lg 9.所以m＝9.


【经典例题】


（1）[解析]


lg1627lg8132＝eq \f(lg 27,lg 16)·eq \f(lg 32,lg 81)＝eq \f(lg 33,lg 24)·eq \f(lg 25,lg 34)＝eq \f(3lg 3,4lg 2)·eq \f(5lg 2,4lg 3)＝eq \f(15,16).


[解析]


[lg29·lg34＝2lg23·eq \f(lg24,lg23)


＝2lg24＝4lg22


＝4.]


[解析]


因为lg245＝lg2(5×9)＝lg25＋lg29＝lg25＋2lg23，而lg52＝b，则lg25＝eq \f(1,b)，


所以lg245＝2a＋eq \f(1,b)＝eq \f(2ab＋1,b).


[课堂达标]


1．D


【解析】


试题分析：利用换底公式、对数运算法则求解．


解：（lg29）•（lg34）


=


=


=4．


故选D．


考点：对数的运算性质．


2．B


【解析】


【分析】


由对数函数运算性质整理分子，即可求出答案.


【详解】


由题可知，


故选：B


【点睛】


本题考查对数式的运算，属于基础题.


3．B


【解析】


【分析】


应用换底公式和对数的运算公式直接求解即可.


【详解】


∵,∴.


故选：B


【点睛】


本题考查了换底公式，考查了对数的运算公式，考查了数学运算能力.


4．D


【解析】


【分析】


根据对数换底公式,化简原式即可求得答案.


【详解】








故选:D.


【点睛】


本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.


5．4


【解析】


【分析】


由对数的运算性质和对数的换底公式，化简整理得，即可求解.


【详解】


由对数的运算性质，可得


，


所以，所以，解得.


故答案为：4.


【点睛】


本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理利用对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.


6．3


【解析】


【分析】


直接利用换底公式计算得到答案.


【详解】


原式.


故答案为：.


【点睛】


本题考查了换底公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.


7、


【解析】


【分析】


首先根据题意得到原式，再利用换底公式化简即可得到答案.


【详解】


原式





【点睛】


本题主要考查对数的换地公式，同时考查对数的运算，属于中档题.


18


【解析】


【分析】


原式





【点睛】


本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


把换成以为底的对数，再利用对数的运算性质用表示即可.


【详解】


∵，，∴．


故选：C．


【点睛】


本题考查对数的换底公式、对数的运算性质，注意根据题设条件中的对数的形式选择合适的底的对数去表示目标对数，此类问题属于基础题.


2．D


【解析】


【分析】


利用换底公式以及对数的运算性质即可求解.


【详解】


由，


则.


故选：D


【点睛】


本题考查了换底公式以及对数的运算性质，需熟记对数的运算法则，属于基础题.


3．C


【解析】


【分析】


由3m=2n=k，将指数式转化为对数式得m=lg3k，n=lg2k，再代入，利用换底公式求解.


【详解】


∵3m=2n=k，


∴m=lg3k，n=lg2k，


∴lgk6=2，


∴k2=6，


又


∴，


故选：C.


【点睛】


本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.


4．A


【解析】


【分析】


先化简，再结合换底公式即可求解


【详解】





故选：A


【点睛】


本题考查对数的化简求值，属于基础题


5．B


【解析】


【分析】


由换底公式将原式化为： =8，进而得到lgx=2lg5=lg25.


【详解】


∵lg2x•lg34•lg59=8，∴ =8，∴lgx=2lg5=lg25，∴x=25．


故选B．


【点睛】


对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:.


6．C


【解析】


【分析】


根据换底公式可统一为常用对数，即可化简.


【详解】


因为


，


而，


所以，故选C.


【点睛】


本题主要考查了换底公式，对数的性质，属于中档题.


7．AB


【解析】


【分析】


根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．


【详解】


对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确；


对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确；


对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确；


对于D，由换底公式得，，该等式正确．


故选AB．


【点睛】


本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．


8．


【解析】


【分析】


由换底公式，可得l，由此能够准确地利用a，b表示lg36．


【详解】


由换底公式，.


故答案为


【点睛】


本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．


9．


【解析】


【分析】


变换得到，，代入化简得到，得到答案.


【详解】


，则，，


故.


故答案为：.


【点睛】


本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.


10.（1）；（2）；（3）


【解析】


【分析】


（1）根据换底公式进行换底即可得到答案；


（2）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案；


（3）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案.


【详解】


解：（1）；


（2）；


（3）


.


【点睛】


本题主要考查换底公式和对数的运算性质，考查学生的计算能力和公式的应用能力，属于基础题.