北师大版 (2019)必修 第一册2.2 换底公式导学案及答案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 换底公式导学案及答案，共6页。


计算器上，只有常用对数键“lg”和自然对数键“ln”，要计算lgab必须将它转换成常用对数或自然对数．
[问题] 你知道如何转换吗？



知识点 换底公式
一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则lgab＝eq \f(lgcb,lgca)．这个结论称为对数的换底公式．
eq \a\vs4\al()
换底公式的推论
1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
提示：lgab＝eq \f(lg b,lg a)，lgab＝eq \f(ln b,ln a).
2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论lgeq \a\vs4\al(Nn)Mm＝eq \f(m,n)lgNM吗？
提示：lgeq \a\vs4\al(Nn)Mm＝eq \f(lg Mm,lg Nn)＝eq \f(mlg M,nlg N)＝eq \f(m,n)·eq \f(lg M,lg N)＝eq \f(m,n)lgNM.
1．lg6432的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2
C.eq \f(5,6) D.eq \f(6,5)
解析：选C lg6432＝eq \f(lg 32,lg 64)＝eq \f(lg 25,lg 26)＝eq \f(5lg 2,6lg 2)＝eq \f(5,6).
2．若lg23＝a，则lg49＝( )
A.eq \r(a) B．a
C．2a D．a2
解析：选B lg49＝eq \f(lg 9,lg 4)＝eq \f(2lg 3,2lg 2)＝lg23＝a.故选B.
3．(2021·襄阳联考)若lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m＝________．
解析：利用换底公式，得eq \f(lg 4,lg 3)·eq \f(lg 8,lg 4)·eq \f(lg m,lg 8)＝2，
∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9.
答案：9
[例1] (链接教科书第103页例3)计算：(1)lg29·lg34；
(2)eq \f(lg5\r(2)×lg79,lg5 \f(1,3)×lg7\r(3,4)).
[解] (1)由换底公式可得，
lg29·lg34＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)·eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.
(2)原式＝eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))×eq \f(lg79,lg7\r(3,4))＝lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \r(2)×lg eq \r(3,4)9
＝eq \f(lg\r(2),lg\f(1,3))×eq \f(lg 9,lg 4\s\up6(\f(1,3)))＝eq \f(\f(1,2)lg 2,－lg 3)×eq \f(2lg 3,\f(2,3)lg 2)＝－eq \f(3,2).
eq \a\vs4\al()
利用换底公式求值的思想与注意点
[跟踪训练]
1．计算(lg32＋lg23)2－eq \f(lg32,lg23)－eq \f(lg23,lg32)的值为( )
A．lg26 B．lg36
C．2 D．1
解析：选C 原式＝(lg32)2＋2lg32×lg23＋(lg23)2－(lg32)2－(lg23)2＝2lg32×lg23＝2×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＝2.
2．若lg2x·lg34·lg59＝8，则x＝( )
A．8 B．25
C．16 D．4
解析：选B ∵lg2x·lg34×lg59＝eq \f(lg x,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)·eq \f(lg 9,lg 5)＝eq \f(lg x,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)×eq \f(2lg 3,lg 5)＝8，∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25.
[例2] 已知lg189＝a，18b＝5，求lg3645.(用a，b表示)
[解] 因为18b＝5，所以b＝lg185.
所以lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg18（5×9）,lg18（2×18）)
＝eq \f(lg185＋lg189,lg182＋lg1818)＝eq \f(a＋b,1＋lg182)
＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－lg189)
＝eq \f(a＋b,2－a).
[母题探究]
1．(变设问)若本例条件不变，如何求lg1845(用a，b表示)?
解：因为18b＝5，所以lg185＝b，所以lg1845＝lg189＋lg185＝a＋b.
2．(变条件)若将本例条件“lg189＝a，18b＝5”改为“lg94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？
解：因为9b＝5，所以lg95＝b.
所以lg3645＝eq \f(lg945,lg936)＝eq \f(lg9（5×9）,lg9（4×9）)
＝eq \f(lg95＋lg99,lg94＋lg99)＝eq \f(b＋1,a＋1).
eq \a\vs4\al()
求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点
(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；
(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；
(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．
[跟踪训练]
设a＝lg36，b＝lg520，则lg215＝( )
A.eq \f(a＋b－3,（a－1）（b－1）) B．eq \f(a＋b－2,（a－1）（b－1）)
C.eq \f(a＋2b－3,（a－1）（b－1）) D.eq \f(2a＋b－3,（a－1）（b－1）)
解析：选D ∵a＝lg36＝eq \f(lg26,lg23)＝eq \f(1＋lg23,lg23)，
∴lg23＝eq \f(1,a－1).
∵b＝lg520＝eq \f(lg220,lg25)＝eq \f(2＋lg25,lg25)，∴lg25＝eq \f(2,b－1).
∴lg215＝lg23＋lg25＝eq \f(1,a－1)＋eq \f(2,b－1)＝eq \f(2a＋b－3,（a－1）（b－1）).
[例3] (链接教科书第104页练习6题)(1)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，则abc的值为________；
(2)已知5x＝2y＝(eq \r(10))z，且x，y，z≠0，则eq \f(z,x)＋eq \f(z,y)的值为________．
[解析] (1)法一：设ax＝by＝cz＝t，则x＝lgat，y＝lgbt，z＝lgct，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(1,lgat)＋eq \f(1,lgbt)＋eq \f(1,lgct)＝lgta＋lgtb＋lgtc＝lgt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1.
法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，
∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝eq \f(lg t,lg a)，y＝eq \f(lg t,lg b)，z＝eq \f(lg t,lg c)，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(lg a,lg t)＋eq \f(lg b,lg t)＋eq \f(lg c,lg t)＝eq \f(lg a＋lg b＋lg c,lg t).
∵eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，且lg t≠0，
∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.
(2)令5x＝2y＝(eq \r(10))z＝k，则x＝lg5k，y＝lg2k，eq \f(1,2)z＝lg k，z＝2lg k，∴eq \f(z,x)＋eq \f(z,y)＝eq \f(2lg k,lg5k)＋eq \f(2lg k,lg2k)＝2lg k(lgk5＋lgk2)＝2lg k·lgk10＝2·lg10k·lgk10＝2.
[答案] (1)1 (2)2
eq \a\vs4\al()
与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．
[跟踪训练]
已知实数a，b，c，d满足5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5，则(abcd)2 022＝________．
解析：将5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5转化为对数式，
得a＝lg54＝eq \f(ln 4,ln 5)，b＝eq \f(ln 3,ln 4)，c＝eq \f(ln 2,ln 3)，d＝eq \f(ln 5,ln 2)，
所以(abcd)2 022＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln 4,ln 5)×\f(ln 3,ln 4)×\f(ln 2,ln 3)×\f(ln 5,ln 2)))eq \s\up12(2 022)＝12 022＝1.
答案：1
1．式子lg32·lg227的值为( )
A．2 B．3
C.eq \f(1,3) D．－3
解析：选B lg32·lg227＝eq \f(lg 2,lg 3)·eq \f(lg 27,lg 2)＝eq \f(lg 27,lg 3)＝lg327＝3，故选B.
2．在eq \f(1,lgba)，eq \f(lg a,lg b)，lgeq \s\d9(eq \r(b))eq \r(a)，lgeq \a\vs4\al(an)bn(a，b均为不等于1的正数)中，与lgab一定相等的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选C eq \f(1,lgba)＝lgab，eq \f(lg a,lg b)＝lgba，lgeq \s\d9(eq \r(b))eq \r(a)＝lgba，lgeq \a\vs4\al(an)bn＝lgab，故选C.
3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－lg35·lg259·lg 5＝( )
A．1 B．0
C．2 D．4
解析：选B 原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－eq \f(lg 5 ,lg 3)·eq \f(2lg 3,2lg 5)·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0.
4．若实数a，b，c满足25a＝404b＝2 020c＝2 019，则下列式子正确的是( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(2,c) B．eq \f(2,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,c)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,c) D.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,c)
解析：选A 由已知，得52a＝404b＝2 020c＝2 019，得2a＝lg52 019，b＝lg4042 019，c＝lg2 0202 019，所以eq \f(1,2a)＝lg2 0195，eq \f(1,b)＝lg2 019404，eq \f(1,c)＝lg2 0192 020，而5×404＝2 020，所以eq \f(1,2a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，即eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(2,c)，故选A.
5．方程lg2x＋eq \f(1,lg（x＋1）2)＝1的解是________．
解析：原方程可变为lg2x＋lg2(x＋1)＝1，即lg2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，解得x＝1或x＝－2.又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1.))即x>0，∴x＝1.
答案：1
新课程标准解读
核心素养
知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算
数学运算
对数换底公式的应用
用已知对数式表示求值问题
有附加条件的对数式求值问题