高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性练习题，共8页。

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数


课时1 函数的奇偶性


知识点1 函数奇偶性概念的理解


1.☉%***03#75%☉(2020·陕西宝鸡金台区月考)下列说法中错误的个数为( )。


①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数;②图像关于y轴对称的函数是偶函数;③奇函数的图像一定过坐标原点;④偶函数的图像一定与y轴相交。


A.4B.3C.2D.1


答案：C


解析：由奇函数、偶函数的性质,知①②说法正确;对于③,如f(x)=1x,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是奇函数,但它的图像不过原点,所以③说法错误;对于④,如f(x)=1x2,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是偶函数,但它的图像不与y轴相交,所以④说法错误。故选C。


2.☉%*#￥2556￥%☉(2020·广安二中月考)下列函数不具备奇偶性的是( )。


A.y=-xB.y=-1x


C.y=x-1x+1D.y=x2+2


答案：C


解析： y=-x与y=-1x都是奇函数,y=x2+2是偶函数,y=x-1x+1的定义域为{x∈R|x≠-1},不关于原点对称,故y=x-1x+1既不是奇函数也不是偶函数,故选C。


3.☉%1#*0#*19%☉(2020·吉林长春十一中高一检测)如图2-4-1-1是一个由集合A到集合B的映射,这个映射表示的( )。





图2-4-1-1


A.是奇函数而非偶函数


B.是偶函数而非奇函数


C.是奇函数且是偶函数


D.既不是奇函数也不是偶函数


答案：C


解析：因为f(x)=0,x∈{-2,2},满足f(-x)=±f(x)。所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数。故选C。


4.☉%544#7￥￥*%☉(2020·上海崇明区测试)奇函数y=f(x)(x∈R)的图像必定经过点( )。


A.(a,f(-a))B.(-a,f(a))


C.(-a,-f(a))D.a,f1a


答案：C


解析：由f(-x)=-f(x),知当x=-a时,f(-a)=-f(a)。故选C。


5.☉%551##8@￥%☉(2020·乐山一中月考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)的值为( )。


A.-1B.0C.1D.无法确定


答案：B


解析：因为f(-x)=-f(x)。所以f(0)=-f(0),即f(0)=0。故选B。


6.☉%3*@03*2#%☉(2020·北京19中月考)函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a+b=( )。


A.-13B.13C.0D.1


答案：B


解析：由偶函数的定义,知[a-1,2a]关于原点对称,所以2a=1-a,解得a=13。又f(x)为偶函数,所以b=0,所以a+b=13。故选B。


知识点2 函数奇偶性的判断


7.☉%24#0#2#￥%☉(2020·桂林高一检测)若函数f(x)满足f(-x)f(x)=1,则f(x)图像的对称轴是( )。


A.x轴B.y轴


C.直线y=xD.不能确定


答案：B


解析：由题意得f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称。故选B。


8.☉%9#6￥6#8@%☉(2020·云南民族大学附属中学高一检测)已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)( )。


A.是奇函数


B.是偶函数


C.既是奇函数又是偶函数


D.是非奇非偶函数


答案：B


解析： F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)。又因为x∈(-a,a)关于原点对称,所以F(x)是偶函数。故选B。


9.☉%￥###5701%☉(原创题)函数f(x)=1x+x3的图像关于( )。


A.坐标原点对称B.x轴对称


C.y轴对称D.直线y=x对称


答案：A


解析：函数f(x)的定义域关于原点对称,又因为f(-x)=1-x-x3=-f(x),所以f(x)为奇函数,故其图像关于坐标原点对称。故选A。


10.☉%*#689*@8%☉(多选)(2020·河北衡水中学高一月考)已知f(x),g(x)都是定义域为R的不恒为零的函数,其中f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则下列说法中正确的是( )。


A.函数|f(x)|为偶函数


B.函数-g(x)为奇函数


C.函数f(|x|)+g(x)为偶函数


D.函数f(x)+g(x)为非奇非偶函数


答案：ACD


解析：由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),逐一分析所给的函数:选项A中,|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,该函数为偶函数,说法正确;选项B中,-g(-x)=-g(x),该函数为偶函数,说法不正确;选项C中,f(|-x|)+g(-x)=f(|x|)+g(-x)=f(|x|)+g(x),该函数为偶函数,说法正确;选项D中f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],该函数为非奇非偶函数,说法正确。故选ACD。


11.☉%4##**722%☉(2020·甘肃南裕固族自治县一中高一检测)函数f(x)=4-x2|x+2|-2是( )。


A.奇函数B.偶函数


C.非奇非偶函数D.既奇且偶函数


答案：A


解析：因为4-x2≥0,|x+2|-2≠0,所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称,此时f(x)=4-x2|x+2|-2=4-x2x。又f(-x)=4-(-x)2-x=-4-x2x=-f(x),所以f(x)=4-x2|x+2|-2为奇函数。故选A。


12.☉%##35￥*47%☉(2020·山东济宁任城高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则函数g(x)=ax3+bx2+cx( )。


A.是奇函数


B.是偶函数


C.是非奇非偶函数


D.既是奇函数又是偶函数


答案：A


解析：若f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则有f(-x)=f(x),即ax2+bx+c=ax2-bx+c,所以b=0。故g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx,故有g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x),故函数g(x)为奇函数。故选A。


13.☉%*2￥*851￥%☉(多选)(2020·南京调考)对于定义在R上的函数f(x),有如下四个命题,其中正确的是( )。


A.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数


B.若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数


C.若f(0)

D.若f(0)

答案：BD


解析：对于函数f(x)=x2,满足f(0)=0,f(0)

题型 函数奇偶性的应用


14.☉%*2*￥455￥%☉(2020·河南濮阳高一(上)期末考试)对于定义域为R的奇函数f(x),下列结论一定成立的是( )。


A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0


C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>0


答案：C


解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)-f(-x)=2f(x),其值与f(x)的取值有关,f(x)·f(-x)=-f2(x)≤0,故选C。


15.☉%49￥#39*￥%☉(2020·荆州统考)已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=( )。


A.21B.-21C.26D.-26


答案：B


解析：设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13。又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21。故选B。


16.☉%2656#￥￥*%☉(2020·黄冈中学月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )。


A.f(-1)

B.f(4)

C.f(3)

D.f(-1)

答案：D


解析：因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)满足f(x-4)=-f(x),则f(4)=-f(0)=0。又f(x)=-f(-x)且f(x-4)=-f(x),所以f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1)。又f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)>f(0),即f(1)>0,所以f(-1)=-f(1)<0,f(3)=f(1)>0,于是f(-1)

17.☉%0**513@￥%☉(2020·九江一中月考)若奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(3)=0,则不等式f(x)-f(-x)2>0的解集为( )。


A.(-3,0)∪(3,+∞)


B.(-3,0)∪(0,3)


C.(-∞,-3)∪(3,+∞)


D.(-∞,-3)∪(0,3)


答案：A


解析：因为f(x)为奇函数,f(3)=0,所以f(-3)=0。因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(-∞,0)上为增函数,所以 f(x)-f(-x)2=f(x)>0。当x>0时,f(x)>f(3),所以x>3;当x<0时,易得f(x)>f(-3),所以-3

18.☉%8**35#2￥%☉(2020·昆明调考)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)

A.13,23B.13,23


C.12,23D.12,23


答案：A


解析：由于f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则由不等式f(2x-1)

19.☉%@467@##3%☉(2020·安徽安庆一中高三(上)月考)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法正确的是( )。


A.f(x)为奇函数


B.f(x)为偶函数


C.g(x)=f(x)+1为奇函数


D.g(x)=f(x)+1为偶函数


答案：C


解析：因为对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,所以令x1=x2=0,得f(0)=-1;令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以g(x)=f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]=-g(-x),所以g(x)=f(x)+1为奇函数。故选C。


20.☉%*9#15@6#%☉(2020·长春十一中月考)已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是 。


答案：0


解析：由题意,知函数y=f(x)的图像关于y轴对称,所以其图像与x轴的四个交点也两两成对关于y轴对称,即方程f(x)=0的实根两两互为相反数,故其所有实根之和是0。


21.☉%6@##2@97%☉(2020·吉林实验中学月考)若f(x)为偶函数,则f(1+2)-f11-2= 。


答案：0


解析：11-2=1+2(1-2)(1+2)=-(1+2)。因为f(x)为偶函数,所以f11-2=f(-(1+2))=f(1+2),故f(1+2)-f11-2=f(1+2)-f(1+2)=0。


22.☉%7@#66@*4%☉(2020·上海七宝中学月考)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-mx,且f(-2)=3,则m= 。


答案：14


解析：因为函数f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-22-m2=m2-4=3,解得m=14。


23.☉%@#7#05#2%☉(2020·甘肃天水一中高一检测)若函数f(x)=-x2+x,x>0,0,x=0,ax2+x,x<0,试问a为何值时,函数f(x)是奇函数?


答案：解:若f(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x)。


当x>0时,-x<0,则f(-x)=a(-x)2+(-x)=ax2-x,


又当x>0时,f(x)=-x2+x,所以-f(x)=x2-x。


由f(-x)=-f(x),得ax2-x=x2-x,所以a=1。


故当a=1时,f(x)是奇函数。


24.☉%#08*@#49%☉(2020·河北邯郸一中期中)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=x-1x+1。


(1)求f(-3)的值;


答案：解:因为函数f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3)=3-13+1=12。


(2)若f(x)=13,求x的值;


答案：当x≥0时,由f(x)=13得x-1x+1=13,解得x=2。


又函数f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)=13。


所以x=-2或x=2。


(3)求f(x)的解析式。


答案：当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)-1(-x)+1=x+1x-1,


又函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(x)=x+1x-1。


所以f(x)=x-1x+1,x≥0,x+1x-1,x<0。