2020-2021学年4.1 函数的奇偶性综合训练题

函数的奇偶性

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝x的奇偶性是(　　)

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

[答案]　C

2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)

A．x＋1 B．x－1

C．－x－1 D．－x＋1

[答案]　A

3．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为(　　)

A．(－2,0)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2,0)∪(0,2)

B　[>0⇔ 或 .又f (－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

故x∈(0,2)∪(－∞，－2)．]

4. 已知f(x)＝ax2＋bx是定义在区间上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A. － B．

C． D．－

B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，

∴b＝0，且a＝，∴a＋b＝.]

5．已知y＝f(x)是偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象的对称轴是(　　)

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝ D．x＝－

B　[y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0，故选B.]

二、填空题

6．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．

0　[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.]

7．已知函数f(x) (x∈R)为奇函数，f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(3)等于________．

　[令x＝－1，得f(1)＝f (－1)＋1＝－f(1)＋1，

∴f(1)＝.

令x＝1，得f(3)＝f(1)＋1＝＋1＝.]

8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝______.

－1　[因为y＝f(x)＋x2为奇函数，所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，所以f(－x)＝－f(x)－2x2，

所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2＝－f(1)＝－1.]

三、解答题

9．判断下列函数的奇偶性．

(1)y＝＋；

(2)f(x)＝

[解]　(1)∵函数的定义域为，不关于原点对称，

∴该函数不具有奇偶性．

(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x＜0，

f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；

当x<0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；

当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．

故该函数为奇函数．

10．已知定义在(－1,1)上的函数f(x)＝.

(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1,1)上的单调性；

(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.

[解]　(1)因为f(x)＝，

所以f(－x)＝＝－＝－f(x)．

故f(x)＝为奇函数．

任取x1，x2∈(－1,1)且x1<x2，

所以f(x2)－f(x1)＝－

＝

＝.

因为x2－x1>0,1－x1x2>0且分母x＋1>0，x＋1>0，

所以f(x2)>f(x1)，

故f(x)＝在(－1,1)上为增函数．

(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，

由f(t－1)＋f(2t)<0，

得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．

所以有即

解得0<t<.

故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为.

11．(多选)已知函数f(x)＝－x，x∈(－1,0)∪(0,1)，则正确的判断是(　　)

A．f(x)是奇函数

B．f(x)是偶函数

C．f(x)在(0,1)上单调递减

D．f(x)在(－1,0)上单调递减

ACD　[函数f(x)＝－x的定义域为{x|x≠0}，

因为∀x∈{x|x≠0}都有－x∈{x|x≠0}，

且f(－x)＝－(－x)

＝－＝－f(x)，

所以f(x)＝－x为奇函数．

因为y＝和y＝－x都在(0,1)上单调递减，

所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，

根据f(x)为奇函数可知f(x)在(－1,0)上也单调递减．

综上知A、C、D正确，B错误．]

12．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)

C　[根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，

则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的草图如图所示，

又由xf(x)<0，

可得或

由图可得－2<x<0或x>2，

即不等式的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．故选C.]

13．函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．

{x|1≤x≤3}　[∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.

故由－1≤f(x－2)≤1，

得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．

又f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，

∴－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3.]

14．已知函数f(x)＝ 为奇函数，则a＋b＝________.

0　[由函数f(x)为奇函数，得f (－1)＋f(1)＝0，

又f(－1)＝0，f(1)＝a＋b，

所以a＋b＝0.]

15．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a，b∈R都满足f(a·b)＝af(b)＋bf(a)．

(1)求f(0)，f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论．

[解]　 (1)令a＝b＝0，则f(0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0.

令a＝b＝1，则f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)，

即f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)f(x)是奇函数．

证明：令a＝b＝－1，则由f(a·b)＝af(b)＋bf(a)，

得f(1)＝－f(－1)－f(－1)．

∵f(1)＝0，∴－2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.

令a＝－1，b＝x，则f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．

∴f(－x)＝－f(x)．

又∵f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)为奇函数.