高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性第1课时教案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性第1课时教案设计，共11页。教案主要包含了导入新课，巩固练习，归纳小结，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时 函数的奇偶性
教学目标
1．知识目标
(1)理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质．
(2)能够根据定义和图像判断简单函数的奇偶性．
(3)能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题．
2．核心素养目标
(1)函数奇偶性概念的学习和简单的应用．
(2)体会数形结合、归纳转化等基本的数学思想方法．
(3)提高学生的数学运算和直观想象能力．
教学重难点
教学重点：
(1)函数奇偶性的概念、图象特征和性质．
(2)根据定义和图像判断简单函数的奇偶性．
(3)用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题．
教学难点：
(1)函数奇偶性的概念、图象特征和性质．
(2)根据定义和图像判断简单函数的奇偶性．
(3)用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、导入新课
我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，函数性质是变化中的规律性，变化中的不变性．
上一节课，我们共同学习了函数的单调性与最大(小)值，用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间内上升(或下降)的性质，本节课我们继续研究函数的其他性质．
在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等．
问题1：上列各图，分别是怎样的对称图形？
师生活动：教师利用PPT图片引导学生观察，积极思考问题．
预设答案：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形．
设计意图：升华本节内容，引导学生用数学的眼光观察世界．使用多媒体展示图片，让学生体会对称带给我们的和谐美，数学之美，然后过渡到数学的对称，激发学生的学习兴趣．
问题2：在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数．
师生活动：教师提问学生回答．
预设答案：一元二次函数的图象(轴对称)、反比例函数的图象(中心对称)．

设计意图：初步体会函数图象的对称，由图形特点出发，符合学生认知．
问题3：填写相应的函数值表，你发现了什么？
师生活动：先由学生独立思考，教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反．
预设答案：
然后把该规律符号化．得到．
设计意图：通过特殊值发现规律，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等
问题4：已知函数，对是否成立？
预设答案：
问题5：画出函数fx=x3的图象，并观察它的对称性．
师生活动：先由学生独立思考，教师利用PPT展示函数图象．学生观察后不难发现，函数的图象都关于原点中心对称．
预设答案：函数的图象是关于原点中心对称的．
设计意图：从形和数两方面验证结论，使知识更加完整，也加深学生对知识点的理解．
问题5：形如的函数称为奇函数，那么怎样严格定义奇函数呢？
师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．
预设答案：一般地，设函数的定义域为A，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数．
设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．
问题6：从奇函数的定义出发，如何证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．
师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．该问题可类比问题2的证明过程．
充分性：设是函数图象上任意一点，则．
因为函数的图象关于原点对称，所以点P关于原点的对称点为也在函数图象上，即．
所以对任意的x，都有，所以函数是奇函数．
必要性：设是函数图象上任意一点，则．
记点P关于原点的对称点为Q，则．
因为函数是奇函数，所以，即．
所以点Q在函数图象上，所以函数的图象关于原点对称．
设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．
★资源名称：【数学探究】认识偶函数．
★使用说明：本资源为《认识偶函数》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．
注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题7：画出并观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
师生活动：教师利用PPT展示函数图象，学生观察图象后回答问题．
预设答案：不难发现，这两个函数的图象都关于轴对称
追问：那么如何使用符号语言精准地描述，函数图象关于轴对称这一特征？
对于上述两个函数，与，与，与，与有什么关系？
对于定义域内任意的一个，都有成立吗？如何验证我们的猜想呢？
师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值与相等．
预设答案：以为例，定义域为R．对于定义域R内任意的一个，，与均有意义．因为，所以是成立的．同样的，验证函数，结论依然成立．
设计意图：放给学生，发挥学生自主性，探究得出偶函数的图形特点和定义．
定义：一般地，设函数的定义域为A，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数．
问题8：如果函数具有奇偶性，那么对于定义域内的任意一个，也一定在定义域内．所以它的定义域有什么特征？
预设的答案：定义域关于原点对称．
追问1：已知函数，，若，则函数在上是奇函数吗？
师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流．
预设答案：不一定是奇函数，当函数y=fx是奇函数或偶函数时，称函数fx具有奇偶性．奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；偶函数图象关于y轴对称，反之亦然．
设计意图：即时的思考，加深对概念的理解，体会到定义域关于原点对称和解析式关系这两个关键点．
概念深化：根据定义，判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=2x5；(2) g(x)=x4+2；(3) ℎ(x)=1x2；(4) m(x)=1x+2．
预设答案：
(1)函数f(x)=2x5定义域为R，对任意x∈R，有f(−x)=2(−x)5=−2x5，−f(x)=−2x5．
故f−x=−f(−x)，所以函数为奇函数．
(2)函数g x=x4+2定义域为R，对任意x∈R，有g (−x)=(−x)4+2=x4+2，故g(−x)=g(x)，所以函数为偶函数．
(3)函数ℎ(x)=1x2义域为{x|x≠0}，对任意x∈{x|x≠0}，有ℎ(−x)=1(−x)2，故ℎ(−x)=ℎ(x)，所以函数为偶函数．
(4)函数m(x)=1x+2定义域为{x|x≠-2}，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．
设计意图：从同一个函数出发，学生更为容易进行探究活动，得出结论．
我们不难发现，(1)、(2)、(3)中每一个、同时属于定义域，所以与都有意义．而(4)中则无法满足每一个、同时属于定义域，所以与无法满足都有意义．
方法总结：函数具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，如不对称，则可直接判断其为非奇非偶函数．
★资源名称：【知识点解析】函数的奇偶性．
★使用说明：本资源为《函数的奇偶性》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数、函数的奇偶性,同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问2：你能总结例题的解题过程，归纳一下利用定义判断函数奇偶性的基本步骤吗？
师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流．
预设答案：第一步，首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
第二步，确定与的关系；
第三步，得出相应结论：若或，则是偶函数；若或，则是奇函数．
设计意图：通过追问，师生共同总结利用定义判断函数奇偶性的基本步骤，教师给出解答示范．
追问3：奇函数若在处有定义，
师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流．
预设答案：因为为奇函数，所以，，．
设计意图：通过具体的函数，深化学生对判断函数奇偶性的基本步骤的理解，尤其是“首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称”，通过例题让学生能够了解有些函数是非奇非偶函数．
三、巩固练习
例1根据定义，判断下列函数的奇偶性：
①②
③④
师生活动：本例由学生独立思考、小组讨论，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善．
预设答案：
=1\*GB3①函数有意义，则1-x2≥0x2-1≥0，
即定义域为[-1，1]，所以有fx=0，
此时既有f−x=−fx，又有f−x=fx，
所以函数既是奇函数又是偶函数．
=2\*GB3②函数定义域为R，f0=0，若x>0，则−x<0，
有f−x=(-x)2+-x=x2−x，故有f−x=−fx；
若x<0，则−x>0，
则有f−x=−(-x)2+-x=−x2−x，−fx=−x2−x，
仍有f−x=−fx；所以函数为奇函数．
=3\*GB3③函数有意义，则1-x2≥0x+2-2≠0，
即定义域为[−1,0)⋃(0,1]，
故fx=1-x2x，易得−fx=f−x，
所以函数为奇函数．
=4\*GB3④函数定义域为R，对任意x∈R，
有fx=f−x=x2+1-x-1x2+1-x+1+x2+1+x-1x2+1+x+1=-2x+2x(x2+1-x+1)(x2+1+x+1)=0，
即fx=f−x，所以函数为奇函数．
设计意图：考查学生对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能力．
例2已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=−x2+2x+1．
=1\*GB3①求函数fx的解析式；
=2\*GB3②若函数在，上单调递增，求实数a的取值范围．
师生活动：本例由学生独立思考、小组讨论，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善．
预设答案：
=1\*GB3①函数fx是定义在R上的奇函数，设x<0，则-x>0，
故f−x=−(−x)2+2−x+1=−x2−2x+1．
又函数为奇函数，故−fx=f−x，
上式即为−fx=-x2-2x+1，故fx=x2+2x-1，
故函数fx=-x2+2x+1，(x>0)0，(x=0)x2+2x-1，(x<0)．
=2\*GB3②函数在上单调递增，画出函数图象如图，解得1所以实数a的取值范围为{a|1方法总结：如果已知一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间上的性质，然后利用对称性可得在y轴另一侧函数的性质．
设计意图：考查学生对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能力．
【课堂练习】
1．若时，−2，设函数是定义在上的偶函数，则等于()
A．B．C．D．
2．已知是定义在上的偶函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
预设答案：1．因为时，−2，所以，
又因为函数是定义在上的偶函数，所以=．
故选：C．
2．(1)当时，则，
当时，，
所以．
故的解析式为．
(2)，且是定义在上的偶函数
则有，
当时，，此时函数为增函数，
所以，解得或．
故实数的取值范围是．
四、归纳小结
问题9：教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题．
(1)偶函数与奇函数的定义．
(2)利用定义判断函数奇偶性的基本步骤是什么？
预设答案：定义法：
图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
设计意图：梳理、总结、归纳提炼本节课的核心内容和方法，形成系统的知识结构．
布置作业：教材P66页练习第1、2题；P67页习题2-4，A组第1、2、3题．
五、目标检测设计
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()
设计意图：让学生直观地通过函数图象的对称性判断偶(奇)函数．
2．判断下列函数的奇偶性．
(1)；(2)；(3)；(4)．
设计意图：考查学生对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能力．
3．函数，是奇函数，则a等于()
A．‌‌‍‍‌‍B．C．D．无法确定
设计意图：考查学生对奇函数定义域的理解．
4．已知函数是上的奇函数，当时，．
(1)当时，求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
设计意图：考查学生对奇函数定义域的理解，以及对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能
5．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于t的不等式．
设计意图：考查学生对奇函数定义域的理解，以及对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能
参考答案：
1．答案：B．
解析：B选项函数图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数；其他选项的函数图象都不具有奇偶性．
2．解：(1)偶函数；(2)奇函数；(3)偶函数；(4)偶函数．
3．解：∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴，即．
4．解：根据题意，当时，，
则，
又由是上的奇函数，则，
故；
(2)当时，，则在上为增函数，
又是上的奇函数，则在上也为增函数，
由于函数在处连续，故在上为增函数，
由，可得，
，解得．
因此，实数的取值范围是．
5．解：(1)根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解得；
又(1)，则有(1)，解得；
则；
(2)由(1)的结论，在区间上为增函数；
证明：设，
则，
又，
则，，，，
故，即
故函数在上为增函数；
(3)根据题意，
，
，
，
解得：，
即不等式的解集为．…
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
-2
-1
0
1
2
…
…
-8
-1
0
1
8
…