高中3.2 函数的基本性质课时训练

绝密★启用前

3.2.2函数的奇偶性同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

2. 若函数是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

3. 已知为奇函数，且在上递增，若，则的解集是 

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

4. 若是定义在上的奇函数，，且在上是增函数，则的解集为   

A.  B.
C.  D.

5. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 函数在的图象大致为

A.  B.
C.  D.

7. 函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

8. 设，则使函数的定义域是，且为偶函数的所有的值是

A. ， B. ， C.  D.

9. 函数的图象大致为   

A.  B.
C.  D.

10. 已知定义域为的函数在上单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

11. 已知函数为奇函数，则实数的值为   

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则等于

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 已知奇函数在区间上为单调增函数，最小值为，那么函数在区间上为单调          函数，且最          值为          ．
14. 已知若为奇函数，则          若为偶函数，则的解为          
15. 设函数 为常数，若为奇函数，则          ；若是上的增函数，则的取值范围是          ．
16. 偶函数满足，且当时，，则          ，若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是          ．
17. 若函数是定义域为的奇函数，，且在上单调递增，则满足的的取值范围是          ，满足的的取值范围是          ．
18. 已知函数在区间上是偶函数，则      ，      ．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

19. 设函数是增函数，对于任意，都有．
    求；
    证明奇函数；
    解不等式．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知奇函数的定义域为

求实数的值；

判断函数的单调性，并用定义证明；






 

21. 设为正实数，若是奇函数．

求，的值；

若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．






 

22. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，．

求出函数在上的解析式；

画出函数的图象．






 

23. 已知函数是定义域上的奇函数．
    确定的解析式；
    用定义证明：在区间上是增函数；
    解不等式．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知定义在上的函数，满足：；为奇函数；，；任意的，，．

判断并证明函数的奇偶性；

判断并证明函数在上的单调性．






 

25. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
    求函数在上的解析式；
    用单调性定义证明函数在区间上是增函数．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查分段函数，函数的奇偶性、函数的单调性，不等式恒成立，属于中档题．
由函数奇偶性得解析式为 ，由函数单调性以及 ，得不等式即在恒成立，即对恒成立， 从而 ，解不等式得的范围．

【解答】
解： 是定义在上的奇函数，且当时，

当，有，  ，
即，
  ，
 在上是单调递增函数，且满足，

不等式在恒成立， 
在恒成立，

对恒成立，
 ，
解得：．
故选A．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．
根据函数的奇偶性求出在上是减函数，，分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．
【解答】
解：因为函数是定义在上的奇函数，
且在上是减函数，，
故可得在上是减函数，，
故可得或
故可得或，
故选A  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式问题，属于中档题．
根据奇函数的单调性的性质，分类讨论求出不等式的解集．
【解答】
解：是上的奇函数，且在内是增函数， 
在内是增函数， 
又，
， 
当时，； 
当时，； 
的解集是 
故选B  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的单调性和奇偶性，是一般题．
因为函数为奇函数，所以等价于，，然后分类讨论进行求解．

【解答】

解：因为函数为奇函数，所以等价于，

由题设知在上是奇函数，且在上是增函数．

又，所以，且在上是增函数，

即在上小于零，在上大于零，在上小于零，在上大于零．

又，所以与的符号相反，

由可得；由可得，

所以的解集是，
故选D．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查方程的根，考查了函数的奇偶性与周期性，属于较难题．
由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为，得到在区间内函数和的图象恰有三个交点，利用数形结合即可得到实数的取值范围．

【解答】

解：因为是定义在上的偶函数，所以，
又，所以函数关于直线对称，即，
，则函数的周期为，且当时，，
分别画出和的图象，如图：

若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，
则在区间内函数和的图象恰有三个交点，
则需满足，即，解得，
故选C．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的作法，涉及到函数的奇偶性，函数值的估计，属于中档题．
根据函数的奇偶性，排除选项C，结合函数在时的取值范围，排除选项D，再根据时函数值的估计，排除选项A，从而得正确选项．

【解答】

解：因为，所以，且，
所以函数为奇函数，排除
当时，恒成立，排除
因为，排除．
故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．
由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案．

【解答】

解：函数为奇函数，
若，则，
又函数在上单调递减，，
，
，
解得：，
所以的取值范围是．
故选D．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数和函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数的定义域是，则，再判断函数是偶函数即可．

【解答】

解：函数的定义域是，则，又函数为偶函数，则满足条件的值是．
故选D．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图像识别问题，属于基础题．
确定奇偶性，再利用函数值的正负，与变化趋势，排除三个选项，得出正确答案．

【解答】

解：首先，是偶函数，排除；

时，，排除；

当且时，，而，，排除．

故选：．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性和奇偶性，属于基础题．
根据为偶函数可得直线为函数的对称轴，则，由函数在上单调递增，可得在上单调递减，结合列不等式，最后解不等式即可．

【解答】

解：由题意为偶函数，
则的图像关于直线对称，
则，
又在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以由得，
所以，
故不等式的解集为，
故选A．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数奇偶性的性质，属于基础题．
由函数是奇函数，故，整理得，从而可求得实数的值．
【解答】
解：由题定义域关于原点对称，
因为函数为奇函数，
所以，
整理得，所以．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性，周期性，指数的运算，属于基础题．
由函数的奇偶性，周期性，可得，，进而得解．
【解答】
解：函数 为定义在上的奇函数，且周期为，

，

，

，

 ．
故选A．

13.【答案】增

大

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．
根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．
【解答】
解：由于奇函数的图象关于原点对称，
故它在对称区间上的单调性不变．
如果奇函数在区间上是增函数且最小值为，
那么在区间上必是增函数且最大值为．
故答案为增；大；．  

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
根据函数是奇函数，则有
由函数偶函数，且在递增，即可求得的解．
【解答】
解：
若函数是奇函数，
则；
若函数偶函数，
则，
又在递增，
所以，
解得，解得或，
则 的解为．  

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性与单调性，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于中档题．
对于第一空：由奇函数的定义可得，即，变形分析可得的值，即可得答案；
对于第二空：可得对恒成立，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数，
若为奇函数，则，
即，变形可得，经检验，满足为奇函数，
是上的增函数，
对恒成立，
即对恒成立，
恒成立．
，
．
故答案为；．

16.【答案】　

【解析】

【分析】
本题考查函数零点与方程根的关系，函数的奇偶性和周期性．
由奇偶性和周期性可得的值作出在上的图像，在上的图像与直线有个交点，结合斜率公式可求的范围．
【解答】
解： ，是周期为的函数．
当时，，且是偶函数，
．
当时，，
则可作出在上的图像如图所示．

因为在上有个零点，
所以在上的图像与直线有个交点．
显然直线过定点，
又，所以．
由图可知，当，
即时，符合题意，
即实数的取值范围是．
故答案为：，．  

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．
【解答】
解：若函数是定义域为的奇函数，
可得，，
由在上单调递增，
可得在上单调递增，
等价于或或，
解得，或，
即满足的的取值范围是．
等价为或，
解得或，
即满足的的取值范围是．
故答案为：；．  

18.【答案】

【解析】解：由题意解得，
故答案为：，．
由题意可知解得，又因为在区间上是偶函数，所以，得．
考查二次函数的图象特点，奇偶函数的定义．
 

19.【答案】解：由题设，令，
恒等式可变为，解得；
证明：令，
则由得，
即，
故是奇函数；
，
，
即，
又由已知得：，
，
由函数是增函数，不等式转化为，即，
不等式的解集或．
 

【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
利用已知条件通过，直接求；
通过函数的奇偶性的定义，直接证明是奇函数；
利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式的解集即可．
 

20.【答案】解：根据题意，是奇函数，
则，即，
变形可得：，
整理得，则，．
奇函数的定义域为关于原点对称，
故；
，．
由知，函数在上单调递增．
证明如下：设，
则，
又由，则，
，，
则，即，
在上单调递增；
 

【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的证明，属于中档题．
根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形解可得的值，又由奇函数的定义域关于原点对称，可得的值；
由单调性的定义证明函数的单调性，
 

21.【答案】解：定义域为的函数是奇函数．
，解得．
令，则，解得．
．
检验：其定义域为，
且
，
是奇函数．，．
由得：．
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减．
由对任意的，不等式恒成立，

，化为，
．
的取值范围为
 

【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
由定义域为的函数是奇函数可得，，联立即可解得，，并验证即可．
由得：，利用在上单调递增，可得在上单调递减再利用奇偶性可得：对任意的，不等式恒成立，求解即可．
 

22.【答案】解：由于函数是定义域为的奇函数，
则；
当时，，因为是奇函数，
所以．
综上，
图象如图所示．

 

【解析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质及函数的图象，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．
 根据函数是定义域为的奇函数，当时，，我们根据定义域为的奇函数的图象必过原点和，即可求出函数在上的解析式；
根据中分段函数的解析式，我们易画出函数的图象．
 

23.【答案】解：根据题意，函数是定义域上的奇函数，
则有，则；
此时，为奇函数，符合题意，
故．
证明：设，
，
又由，则，，
则有，即函数在上为增函数；
根据题意，，
解可得：，即不等式的解集为
 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算及不等式求解，属于中档题．
根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，验证即可得答案；
根据题意，设，由作差法分析可得结论；
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，解可得的取值范围，即可得答案．
 

24.【答案】解：依题意，  ，
，
， 
又因为的定义域为， 
所以函数为偶函数．

由知：  ， 
，，， 
  
 ，
，，， 
，，
又，，
， 
即在上单调递增．

【解析】本题主要考查了抽象函数的奇偶性，以及利用定义证明函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意，可推出，从而可推导出，由此可得函数为偶函数；
，，，证得，  即可证函数在上的单调性．
 

25.【答案】解：是定义在上的奇函数，所以，
设，则，
由时，可知，，
又为奇函数，故，
函数在上的解析式为；
证明：设，则，
，
，
，即，
函数在区间上是增函数，得证．
 

【解析】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查函数单调性的证明，属于中档题．
利用奇函数的性质直接可以求得函数解析式，需要注意的是；
利用单调性定义直接证明即可．