人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计及反思，共12页。
最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.





知识点一 两角和的余弦公式


cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β，简记为C(α＋β)，使用的条件为α，β为任意角．


知识点二 两角和与差的正弦公式


eq \x(状元随笔) 公式的记忆方法


(1)理顺公式间的联系．


C(α＋β)eq \(――→,\s\up7(以－β代β))C(α－β)eq \(――→,\s\up7(诱导公式))S(α－β)eq \(――→,\s\up7(以－β代β))S(α＋β)


(2)注意公式的结构特征和符号规律．


对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．


对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．


公式逆用：sinαcsβ＋csαsinβ＝sin(α＋β)，


sinαcsβ－csαsinβ＝sin(α－β)，


csαcsβ＋sinαsinβ＝cs(α－β)，


csαcsβ－sinαsinβ＝cs(α＋β)．


知识点三 两角和与差的正切公式





eq \x(状元随笔) 公式T(α±β)的结构特征和符号规律


(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．


(2)





符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．


[教材解难]


1．教材P217思考


能．例如把－β代入β由C(α－β)可求出C(α＋β)．


2．教材P219思考


成立．方法一：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)).


方法二：由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \f(π,4)cs α－cseq \f(π,4)sin α


＝eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \f(π,4)cs α－sineq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)，


故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).


[基础自测]


1．sin 15°cs 75°＋cs 15°sin105°等于( )


A．0 B.eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．1


解析：sin 15°cs 75°＋cs 15°sin 105°＝sin 15°cs 75°＋cs 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.


答案：D


2．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，若sin α＝eq \f(3,5)，则eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )


A.eq \f(7,5) B.eq \f(1,5)


C．－eq \f(7,5) D．－eq \f(1,5)


解析：易得cs α＝eq \f(4,5)，则eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))


＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs αcs\f(π,4)－sin αsin\f(π,4)))＝eq \f(1,5).


答案：B


3．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )


A.eq \f(7,11) B．－eq \f(7,11)


C.eq \f(7,13) D．－eq \f(7,13)


解析：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(4＋3,1－4×3)＝－eq \f(7,11).


答案：B


4．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.


解析：由sin α＋cs β＝1与cs α＋sin β＝0分别平方相加得


sin2α＋2sin αcs β＋cs2β＋cs2α＋2cs αsin β＋sin2β＝1，


即2＋2sin αcs β＋2cs αsin β＝1，


所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).


答案：－eq \f(1,2)











题型一 给角求值[教材P219例4]


例1 利用和(差)角公式计算下列各式的值：


(1)sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°；


(2)cs 20°cs 70°－sin 20°sin 70°；


(3)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°).


【解析】 (1)由公式S(α－β)，得


sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°


＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).


(2)由公式C(α＋β)，得


cs 20°cs 70°－sin 20°sin 70°


＝cs(20°＋70°)＝cs 90°＝0.


(3)由公式T(α＋β)及tan 45°＝1，得


eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)


＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).


和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．





教材反思


解决给角求值问题的方法


(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．


(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．








跟踪训练1 求值：(1)cs 105°；


(2)eq \f(cs 31°＋cs 91°,sin 29°)；


(3)eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°).


解析：(1)cs 105°＝cs(60°＋45°)


＝cs 60°cs 45°－sin 60°sin 45°


＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－\r(6),4).


(2)eq \f(cs 31°＋cs 91°,sin 29°)＝eq \f(cs 31°＋cs60°＋31°,sin 29°)


＝eq \f(cs 31°＋cs 60°cs 31°－sin 60°sin 31°,sin 29°)


＝eq \f(\f(3,2)cs 31°－\f(\r(3),2)sin 31°,sin 29°)＝eq \f(\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(60°－31°)),sin 29°)＝eq \r(3).


(3)eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)＝eq \f(tan 60°－tan 15°,1＋tan 60°tan 15°)＝tan 45°＝1.


(1)105 °＝60 °＋45 °


(2)找到31 °、91 °、29 °之间的联系利用公式化简求值．


题型二 给值求值


例2 已知eq \f(π,2)