高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精练，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。




一、选择题


1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件有( )


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


解析：当eq \f(b,a)，eq \f(a,b)均为正数时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．


答案：C


2．已知t>0，则y＝eq \f(t2－4t＋1,t)的最小值为( )


A．－1 B．－2


C．2 D．－5


解析：依题意得y＝t＋eq \f(1,t)－4≥2eq \r(t·\f(1,t))－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝eq \f(t2－4t＋1,t)(t>0)的最小值是－2.


答案：B


3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )


A．ab≤eq \f(1,2) B．ab≥eq \f(1,2)


C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3


解析：∵a2＋b2≥2ab，


∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，


即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，


∴a2＋b2≥2.


答案：C


4．若a，b都是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值为( )


A．7 B．8


C．9 D．10


解析：因为a，b都是正数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．


答案：C


二、填空题


5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．


解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.


答案：a＝1


6．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．


解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，


由基本不等式可得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(M2,4)，


因为ab的最大值为2，


所以eq \f(M2,4)＝2，M>0，所以M＝2eq \r(2).


答案：2eq \r(2)


7．已知x>0，y>0，且eq \f(1,y)＋eq \f(3,x)＝1，则3x＋4y的最小值是________．


解析：因为x>0，y>0，eq \f(1,y)＋eq \f(3,x)＝1，


所以3x＋4y＝(3x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝13＋eq \f(3x,y)＋eq \f(12y,x)≥13＋3×2eq \r(\f(x,y)·\f(4y,x))＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，


所以(3x＋4y)min＝25.


答案：25


三、解答题


8．已知x

解析：因为x0.


f(x)＝4x－5＋3＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3


≤－2eq \r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1.


当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)时等号成立，


又5－4x>0，


所以5－4x＝1，x＝1.


所以f(x)max＝f(1)＝1.





9．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．


解析：因为f(x)＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，


当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．


又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.


[尖子生题库]


10．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，求函数y＝eq \f(1,x)＋eq \f(8,1－2x)的最小值．


解析：y＝eq \f(2,2x)＋eq \f(8,1－2x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2x)＋\f(8,1－2x)))·(2x＋1－2x)＝10＋2·eq \f(1－2x,2x)＋8·eq \f(2x,1－2x)，


而x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，2·eq \f(1－2x,2x)＋8·eq \f(2x,1－2x)≥2eq \r(16)＝8，


当且仅当2·eq \f(1－2x,2x)＝8·eq \f(2x,1－2x)，


即x＝eq \f(1,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时取到等号，则y≥18，


所以函数y＝eq \f(1,x)＋eq \f(8,1－2x)的最小值为18.