数学人教版第二十七章 相似综合与测试练习题

这是一份数学人教版第二十七章 相似综合与测试练习题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（40分）


1．下列多边形一定相似的是（ ）


A．两个平行四边形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形


2．下列图形中不是位似图形的为（ ）


A． B． C． D．


3．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）


A．B．C．D．


4．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则AC的长为（ ）


A．2.5B．4.5C．6.5D．7.5


5．在下列四个三角形中，与是位似图形且为位似中心的是（ ）


A．①B．②C．③D．④





6．如图，为的边上一点，，，则的长为（ ）


A．B．C．D．


7．如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）


A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7


8．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（ ）


A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF C． D．＝


9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（ ）


A．B．2C．D．


10．如图，已知反比例函数在第一象限经过的顶点A，且点B在轴上，过点B作轴的垂线交反比例函数图像于点C，连结OC交AB于点D，已知，，则的值为（ ）


A．6B．8C．D．





二、填空题（24分）


11．若，则______．


12．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是_____．


13．如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形对应边上的高之比为_______．


14．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形， 点O为位似中心，相似比


为1：， 点A的坐标为（0，4），则点E的坐标是


15．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，过F作FG∥CD交AE于点G，连接DG．若AG＝3，FG＝5，则AE的长为_____．


16．如图，为半⊙O的直径，，是半圆上的三等分点，，与半⊙O相切于点，点为弧AM上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）


①；②的长为；③；④；⑤为定值．


三、解答题（86分）


（8分）17．已知AB∥CD，AD、BC交于点O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．





（8分）18．如图，已知，，，．


（1）求证：；（4分）


（2）若，求的长．（4分）





（8分）19．已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(4，5)，C(3，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度)


（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的，并直接写出点的坐标；（4分）


（2）以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为2∶1，并直接写出的面积．（4分）





（8分）20．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？











（8分）21．如图，在中，，，．


（1）用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹）；（4分）


（2）在（1）的条件下，求的长度．（4分）





（10分）22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数）的图象经过点．


（1）求的值；（4分）


（2）如图，过点作直线与函数的图象交于点，与轴交于点，且，求点，的坐标．（6分）








（10分）23．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，点是⊙外一点，连接．


（1）求证：是⊙的切线；（4分）


（2）连接，交于点，若，且，⊙的半径为，求的长．（6分）

















（12分）24．在中，，平分．


（1）如图1，若，，求的长．（3分）


（2）如图2，过分别作交于，于．


①求证：（4分）；②求的值．（5分）
































（14分）25．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．


（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（3分）


（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；（5分）


（3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值．（6分）





参考答案


1．D


【解析】


【分析】


利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．


【详解】


解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，


两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，


两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，


两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，


故选D．


【点睛】


本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．


2．B


【解析】


【分析】





根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．


【详解】





解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．


根据位似图形的概念，A三个图形中的两个图形是位似图形；故A不符合题意，


B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故B符合题意，


根据位似图形的概念，C三个图形中的两个图形是位似图形；故C不符合题意，


根据位似图形的概念，D三个图形中的两个图形是位似图形；故D不符合题意，


故选：B．


【点睛】





本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．


3．B


【解析】


【分析】


根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．


【详解】


解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．


A、∵ = = ，对应边 = = ， ≠，


故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；


B、∵ = ，对应边 = ，即： = ，∠C=∠C，


故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；


C、∵ = ，对应边 = =， ≠ ，


故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；


D、∵ = = ，


= ， ≠，


故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误.


故选B．


【点睛】


本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．


4．D


【解析】


【分析】


根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC，计算即可．


【详解】


∵l1∥l2∥l3，


∴，


即，


∴BC＝2.5，


∴AC＝AB+BC＝5+2.5＝7.5，


故选：D．


【点睛】


本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．


5．B


【解析】


【分析】


根据位似图形的概念判断即可．


【详解】


解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，


∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，


故选：B．


【点睛】


本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．


6．A


【解析】


【分析】


根据已知证明△ADB∽△ABC,利用代值求解即可．


【详解】


∵，


∴∠A=∠C，∠DBC=∠BDC，


∵∠DBC=2∠A，


∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，


∴∠ABD=∠A=∠C，


∴△ADB∽△ABC，AD=BD


∴，


设BD=AD=x，则，即，


解得：（不符题意，舍去），


∴，


故选：A．


【点睛】


本题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．


7．B


【解析】


【分析】


过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．


【详解】


解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，


∴NM∥AG，


∵DE是△ABC的中位线，


∴DE∥BC，


∴AG＝PG，


∵M是DE的中点，


∴DM＝ME＝DE，


∵NM∥AG，AN＝DN，


∴＝＝，


∴NM＝AG＝PG，


∵DM＝ME，


∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．


故选：B．





【点睛】


本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．


8．C


【解析】


【分析】


依据∠ADC＝∠CFB＝90°，∠CAD＝∠BCF，即可得到△ADC∽△CFB；过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，得出DM垂直平分AF，即可得到DF＝DA；设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，由△ADC∽△CFB，可得＝，可得b＝a，依据即可得出,根据E是CD边的中点，可得CE：AB＝1：2，再根据△CEF∽△ABF，即可得到＝（）2＝．


【详解】


解：∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，


∴∠CAD＝∠BCF，


∵BE⊥AC，


∴∠CFB＝90°，


∴∠ADC＝∠CFB，


∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；


如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，


∵DE∥BM，BE∥DM，


∴四边形BMDE是平行四边形，


∴BM＝DE＝DC，


∴BM＝AM，


∴AN＝NF，


∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，


∴DN⊥AF，


∴DM垂直平分AF，


∴DF＝DA，故B选项正确；


设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，


由△ADC∽△ECB，可得＝，


即b＝a，


∴


∴,故C选项错误；


∵E是CD边的中点，


∴CE：AB＝1：2，


又∵CE∥AB，


∴△CEF∽△ABF，


∴＝（）2＝．


故选D选项正确；


故选C．





【点睛】


本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．


9．A


【解析】


【分析】


过作于，则，根据矩形的性质得，，根据旋转的性质得到，，，，推出△为等腰直角三角形，得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．


【详解】


解：过作于，





则，


，，


，


四边形是矩形，


，，


将绕点顺时针方向旋转后得△，


，，，，


△△，


，


△为等腰三角形，


△为等腰直角三角形，


，


设，则，，


，


，


（负值舍去），


，


，


，


，


故选：．


【点睛】


本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．


10．C


【解析】


【分析】


过A向OB作垂线，垂足为F，交OC于E，根据AF∥BC，得出，设，则AF=tBC，得，又，可推导出，求出t的值，得出AF=2BC，OB=2OF进一步导出OA=3OF，在Rt△AOF中，AF=,，在Rt△OBC中，即可求出OF的长，求出k的值．


【详解】


解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，


∴AF∥BC，


∴△AED∽△BCD，


∴，


∴，


设，则AF=tBC，


∴


又OF×AF=OB×BC，


∴，


又EF∥BC，


∴△OEF∽△OCB


∴，


∴，


解得t=2，


∴AF=2BC，OB=2OF


又∵，


∴，


∴OA=3OF，


在Rt△AOF中，勾股定理可得AF=，


∴，


在Rt△OBC中，，


∴，


解得OF= 或﹣（舍去）


∴AF==4，


∴k=OF×AF=，


故选：C．





【点睛】


本题考查了反比例函数与相似三角形结合的综合性题目，主要涉及到反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，线段之间比例关系的转化，解题关键在于做出辅助线，设出线段比例关系，通过不断转化得出线段等量关系，最后求出k值．


11．


【解析】


【分析】


由，根据比例的性质，即可求得的值．


【详解】


解：，


．


故答案为：．


【点睛】


本题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形．


12．


【解析】


【分析】


由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．


【详解】


解：∵DE∥AC，


∴DB：AB=BE：BC，


∵DB=4，AB=6，BE=3，


∴4：6=3：BC，


解得：BC=，


∴EC=BC﹣BE=﹣3=．


故答案为．


【点睛】


考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．


13．3：2


【解析】


【分析】


根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．


【详解】


解：∵两个相似三角形的面积之比为9：4，


∴相似比是3：2，


又∵相似三角形对应高的比等于相似比，


∴对应边上高的比为 3：2．


故答案为：3：2．


【点睛】


本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．


14．


【解析】


由题意得，OA:OD=1:，OA=4，


OD=,


.


15．5


【解析】


【分析】


连接DF，交AE于点O．先证明四边形DEFG为菱形，再由菱形的性质可知GE⊥DF，OG＝OE＝GE，接下来，证明△DOE∽△ADE，由相似三角形的性质可证明DE2＝EO•AE，于是可得到GF、AE、EG的数量关系，进而代值计算．


【详解】


证明：如图，连接DF，交AE于点O，





由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠AED＝∠AEF，


∵FG∥CD，


∴∠AED＝∠FGE，


∴∠AEF＝∠FGE，


∴FG＝FE，


∴DG＝GF＝EF＝DE，


∴四边形DEFG为菱形，


∴∴GE⊥DF，OG＝OE＝GE．


∵∠DOE＝∠ADE＝90°，∠OED＝∠DEA，


∴△DOE∽△ADE，


∴，即DE2＝EO•AF．


∵EO＝GE，DE＝FG，


∴FG2＝GE•AF，


∵AG＝3，FG＝5，


∴25＝，


∴AF＝5，


故答案为：5．


【点睛】


本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质得到DE2＝EO•AE是解题答问题的关键．


16．②⑤


【解析】


【分析】


①先根据圆的切线的性质可得，再根据半圆上的三等分点可得，然后根据圆周角定理可得，最后假设，根据角的和差、三角形的外角性质可得，这与点为上一动点相矛盾，由此即可得；


②根据弧长公式即可得；


③先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差即可得；


④先根据三角形的外角性质可得，从而可得对应角与不可能相等，由此即可得；⑤先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，由此即可得．


【详解】


如图，连接OP


与半⊙O相切于点





是半圆上的三等分点








是等边三角形


由圆周角定理得：


假设，则








又点为上一动点


不是一个定值，与相矛盾


即PB与PD不一定相等，结论①错误








则的长为，结论②正确


是等边三角形，





，则结论③错误


，即对应角与不可能相等


与不相似，则结论④错误


在和中，





，即


又是等边三角形，








即为定值，结论⑤正确


综上，结论正确的是②⑤


故答案为：②⑤．





【点睛】


本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的题①，先假设结论成立，再推出矛盾点是解题关键．


17．．


【解析】


【分析】


根据已知条件证明△AOB∽△DOC，再根据相似三角形的对应边成比例的性质列出等式，从而求得AB的长．


【详解】


∵AB∥CD，


∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，


∴△AOB∽△DOC，


∴，


即，


∴AB＝．


【点睛】


本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握有两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的三边对应成比例是关键．


18．（1）见解析；（2）12


【解析】


【分析】


（1）先证，再证即可得到结论；


（2）由得到，再求出BC的长，再求EC的长即可.


【详解】


（1）证明：∵


∴


∵


∴


∴


（2）解：∵，，


∴在中，


∵


∴


∴


∴


∴


【点睛】


此题主要考查了相似三角形的性质，正确的运用相似三角形的性质是解决问题的关键.


19．（1）如图， 即为所求，；（2）如图，即为所求，的面积为20 ．


【解析】


【分析】


（1）根据点平移的坐标变换规律写出点的坐标，然后描点即可；


（2）延长BA到使=2BA，延长BC到使=2BC，从而得到；先计算出的面积，然后把的面积乘以4得到面积．


【详解】


解：（1）如图， 即为所求，．


（2）如图，延长BA到使，延长BC到使，则即为所求，











的面积





【点睛】


本题考查了平移变换，位似变换的作图，掌握作图时最关键的是确定关键点的对应点，再顺次连接各对应点．


20．1.05里


【解析】


【分析】


首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．


【详解】


∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，


∴FA∥EG，EA∥FH，


∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，


∴△GEA∽△AFH，


∴．


∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，


∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，


∴，


∴FH＝1.05里．


【点睛】


此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.


21．（1）如图，为的垂直平分线；见解析；（2）．


【解析】


【分析】


（1）根据垂直平分线的作法即可求解；


（2）先利用勾股定理求出BC,可证明，列出比例式即可求解．


【详解】


（1）如图，为的垂直平分线；





（2）∵为的垂直平分线


∴，


∵在中，，


∴


∵，


∴


∴，


即


∴．


【点睛】


此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的作法及相似三角形的性质．


22．（1）；（2），


【解析】


【分析】


（1）把B点代入反比例函数解析式即可求出a值；


（2）分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，过点作，垂足为点，交轴与点，可得，可得，根据现有条件可推出和，可得点的坐标，再求出GF和BF，即可求出CN，由此可求得OC即可求出点C的坐标．


【详解】


解：（1）∵反比例函数（为常数）的图象经过点，


∴，


解得；


（2）分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，过点作，垂足为点，交轴与点，





∴，


∴，


∵点的坐标为，


∴，，


∴，


∴，


∴点的纵坐标为8，


∵点在反比例函数的图象上，


∴，解得，


∴点的坐标为；


∴，，


∴，


∴，


∴点的坐标为．


【点睛】


本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的性质与判定，第（2）题的关键是应用相似三角形求出A点的纵坐标．


23．（1）见解析；（2）


【解析】


【分析】


（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；


（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．


【详解】


解：（1）证明：连接OB，如图所示：


∵AC是⊙O的直径，


∴∠ABC=90°，


∴∠C+∠BAC=90°，


∵OA=OB，


∴∠BAC=∠OBA，


∵∠PBA=∠C，


∴∠PBA+∠OBA=90°，


即PB⊥OB，


∴PB是⊙O的切线；


（2）解：∵⊙O的半径为2，


∴OB=2，AC=4，


∵OP∥BC，


∴∠CBO=∠BOP，


∵OC=OB，


∴∠C=∠CBO，


∴∠C=∠BOP，


又∵∠ABC=∠PBO=90°，


∴△ABC∽△PBO，


，即


∴．





【点睛】


本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．


24．（1）；（2）①见解析；②


【解析】


【分析】


（1）由已知易证，利用可求得AD的长；


（2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证．


【详解】


解：（1）∵在中，，平分，


∴，又∠A=∠A，


∴，


∴，


∵，，


∴；


（2）①∵交于，于，


∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，


∴，


∴，


∵，，


∴；


②过作，与的延长线交于，


∵，


∴，


∴、和均为等腰三角形，


∴，


∵在等腰中，于，


∴，即，


∴的值为．





【点睛】


本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键．


25．（1）证明见解析；（2）；（3）9．


【解析】


【分析】


（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC，再判断出AE=DE，即可得出结论；


（2）利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB，得出BP=BF，证明∽，得出比例式建立方程求解即可得出，再判断出，进而求出PB，即可得出结论；


（3）判断出，得出，即可得出结论．


【详解】


解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，


∵E是AD中点，


∴AE＝DE，


在△AEB和△DEC中，


，


∴△AEB≌△DEC（SAS）；


（2）在矩形ABCD，∠ABC＝90°，


∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，


∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，


∵BE⊥CG，


∴BE∥PG，


∴∠GPF＝∠PFB，


∴∠BPF＝∠BFP，


∴BP＝BF；


∵∠BEC＝90°，


∴∠AEB+∠CED＝90°，


∵∠AEB+∠ABE＝90°，


∴∠CED＝∠ABE，


∵∠A＝∠D＝90°，


∴△ABE∽△DEC，


∴，


设AE＝x，


∴DE＝25﹣x，


∴，


∴x＝9或x＝16，


∵AE＜DE，


∴AE＝9，DE＝16，


∴CE＝20，BE＝15，


由折叠得，BP＝PG，


∴BP＝BF＝PG，


∵BE∥PG，


∴△ECF∽△GCP，


∴，


设BP＝BF＝PG＝y，


∴，


∴y＝，


∴BP＝，


∴EF＝BE﹣BF＝15﹣，


∴．


（3）如图，连接FG，





∵∠GEF＝∠PGC＝90°，


∴∠GEF+∠PGC＝180°，


∴BF∥PG


∵BF＝PG，


∴▱BPGF是菱形，


∴BP∥GF，


∴∠GFE＝∠ABE，


∴△GEF∽△EAB，


∴，


∴BE•EF＝AB•GF，


∵BE•EF＝108，AB＝12，


∴GF＝9，


∴BP＝GF＝9．


【点睛】


本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，利用方程思想解决问题是本题的关键．