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初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程评优课课件ppt
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程评优课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了导入新知，素养目标，你能解决这个问题吗，探究新知，巩固练习，答这个小组共9人，xx-1182，连接中考，课堂检测，基础巩固题等内容，欢迎下载使用。
列一元二次方程解应用题
传染病，一传十, 十传百… …
【想一想】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
列一元二次方程解决实际问题
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
第1轮传染后人数 x+1
第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1
【思考】不要忽视小明的二次传染
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下：
根据示意图，列表如下：
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=(1+x)2
列方程 x+1+x(x+1)=121化简得 x2+2x-120=0 (x-10)(x+12)=0 x1=10, x2=-12(舍)
列方程 x+1+x(x+1)=121提取公因式 (x+1)(x+1)=121 (x+1)2=121 x+1=±11一定要进行检验 x1=10, x2=-12(舍)
答:平均一个人传染了________个人.
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.
【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.
【思考】如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
(1+x)2+(1+x)2∙x=
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则 1+x+x2=91
即 x2+x-90=0
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
列一元二次方程解传播问题
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？
每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
依题意 6+6x+6x (1+x) =2400
6 (1+x)² =2400
例2 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
设这个小组共x人，根据题意列方程，得
x(x-1)=72
化简，得 x2-x-72=0
解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去）
列一元二次方程解相互类问题
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
解：全组有x名同学，根据题意，得
解得 x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）
答：全组有14名同学.
1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A．9人B．10人C．11人D．12人
2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)²=73
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？
A.10 B.9 C.8 D.7
1. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
2. 某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得 x2-x-12=0
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
3. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性.
数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【思考】有关增长/下降率问题，应该如何解答呢？
1. 能正确列出关于增长率问题的一元二次方程.
2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
有关增长/下降率的问题
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【思考】下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
【分析】甲种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.
(5000-3000)÷2=1000(元)
(6000-3600)÷2=1200(元)
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,
依题意得 ：5000（1-x）² =3000
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%.
设乙种药品成本的年平均下降率为y,一年后乙种药品成本为 元，两年后乙种药品成本为 元依题意得， ，解方程得 ，
6000（1-y）2=3600
答:乙种药品成本的年平均下降率约为 .
y1≈0.225,y1≈-1.775
【思考】为什么选择22.5％作为答案？比较两种药品成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
答：经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 .成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为
其中增长取“+”,降低取“－”
例4 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
列一元二次方程解答增长率问题
某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
36（1- x ）2=25
答：平均每次约降价16.7%.
1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
2.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ） A．2% B．4.4% C．20% D．44%
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
2（1+x）+2（1+x）2=8
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计：2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.（1）求该企业从2014年到2016年的平均增长率.（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
解：（1）设年平均增长率为x，依题意得：2(1+x)2=2.88.
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
(2)该企业2017年的利润为2.88×（1+20%）=3.456（亿元）. 因为3.456＞3.4.
所以该企业从2014年到2016年的平均增长率为20%.
某电脑公司2001年的各项经营，一月份的营业额为200万元，一、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
分析：设这个增长率为x，一月份的营业额200万元，二月份的营业额是 万元、三月份的营业额 万元，由三月份的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x,得
200 + 200(1+x) + 200(1+x)2 = 950
200x2 + 600x = 350
解得 x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去）
答:这个增长率是50%.
基数为a,平均增长/下降率为x
几何图形与一元二次方程问题
【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？
步骤：①审题；②设元；③列式；④解答；⑤验根；⑥答案.
【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm²，问剪去的小正方形的边长应是多少?
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 ； 整理得：x²-17x+52=0；解方程，得：（x-13）（x-4）=0；解得：x1=4，x2=13（舍去）；因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.
2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
几何图形的面积问题
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____．
(21-14x)
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，列方程得： 解得 x 2.6上、下的边衬的宽为（27-9 2.6） 0.5=1.8cm左、右的边衬的宽为（21-7 2.6） 0.5=1.4cm
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3 整理方程得：2x²+9x-9=0 解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去） 因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺） 台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺） 即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
利用一元二次方程解答一般面积问题
要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？
解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得 整理得8x2+204x-319=0,解得 . ∴x1= ,x2= (不合题意，舍去). ∴x= ≈1.5. 答：镜框的宽度约为1.5cm.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.
点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等于总长.
（3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由。
2.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
整理，得 x2-13x+40=0
解方程，得 （x-5）（x-8）=0 即： x1=5 , x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）;当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
解：设道路的宽为x米，依题意得
例3 如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？
20×32-32x-20x+x2=540
解：设道路的宽为 x 米
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0解方程，得（x-50)(x-2）=0
即 x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？
如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？
(32-2x)(20-x)=540
如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？
(32-2x)(20-2x)=540
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= ×20×30
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出结果，至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.
3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
整理得，x2-36x+35=0
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
（32-2x）（20-x）=570
解方程，得（x-35）（x-1）=0
即：x1=35，x2=1
公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm，依题意得：
5(2x-10)(x-10)=3000； 整理得：x2-15x-250=0；解方程，得：（x-25）（x+10）=0；即： x1=25 x2=-10(舍去）；所以 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
解：设AB长是x m，依题意得： (100-4x)x=400 整理得：x2-25x+100=0 解方程得：（x-20）（x-5）=0 即 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=20<25 ； x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去) 答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
4.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得： (20-6x)(30-4x)=400整理得： 6x2-65x+50=0解方程得：
常见几何图形面积是等量关系.
常采用图形平移能聚零为整关系一同了解，从而列方程
列一元二次方程解应用题
传染病，一传十, 十传百… …
【想一想】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
列一元二次方程解决实际问题
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
第1轮传染后人数 x+1
第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1
【思考】不要忽视小明的二次传染
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下：
根据示意图，列表如下：
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=(1+x)2
列方程 x+1+x(x+1)=121化简得 x2+2x-120=0 (x-10)(x+12)=0 x1=10, x2=-12(舍)
列方程 x+1+x(x+1)=121提取公因式 (x+1)(x+1)=121 (x+1)2=121 x+1=±11一定要进行检验 x1=10, x2=-12(舍)
答:平均一个人传染了________个人.
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.
【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.
【思考】如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
(1+x)2+(1+x)2∙x=
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则 1+x+x2=91
即 x2+x-90=0
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
列一元二次方程解传播问题
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？
每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
依题意 6+6x+6x (1+x) =2400
6 (1+x)² =2400
例2 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
设这个小组共x人，根据题意列方程，得
x(x-1)=72
化简，得 x2-x-72=0
解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去）
列一元二次方程解相互类问题
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
解：全组有x名同学，根据题意，得
解得 x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）
答：全组有14名同学.
1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A．9人B．10人C．11人D．12人
2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)²=73
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？
A.10 B.9 C.8 D.7
1. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
2. 某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得 x2-x-12=0
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
3. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性.
数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【思考】有关增长/下降率问题，应该如何解答呢？
1. 能正确列出关于增长率问题的一元二次方程.
2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
有关增长/下降率的问题
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【思考】下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
【分析】甲种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.
(5000-3000)÷2=1000(元)
(6000-3600)÷2=1200(元)
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,
依题意得 ：5000（1-x）² =3000
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%.
设乙种药品成本的年平均下降率为y,一年后乙种药品成本为 元，两年后乙种药品成本为 元依题意得， ，解方程得 ，
6000（1-y）2=3600
答:乙种药品成本的年平均下降率约为 .
y1≈0.225,y1≈-1.775
【思考】为什么选择22.5％作为答案？比较两种药品成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
答：经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 .成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为
其中增长取“+”,降低取“－”
例4 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
列一元二次方程解答增长率问题
某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
36（1- x ）2=25
答：平均每次约降价16.7%.
1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
2.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ） A．2% B．4.4% C．20% D．44%
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
2（1+x）+2（1+x）2=8
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计：2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.（1）求该企业从2014年到2016年的平均增长率.（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
解：（1）设年平均增长率为x，依题意得：2(1+x)2=2.88.
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
(2)该企业2017年的利润为2.88×（1+20%）=3.456（亿元）. 因为3.456＞3.4.
所以该企业从2014年到2016年的平均增长率为20%.
某电脑公司2001年的各项经营，一月份的营业额为200万元，一、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
分析：设这个增长率为x，一月份的营业额200万元，二月份的营业额是 万元、三月份的营业额 万元，由三月份的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x,得
200 + 200(1+x) + 200(1+x)2 = 950
200x2 + 600x = 350
解得 x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去）
答:这个增长率是50%.
基数为a,平均增长/下降率为x
几何图形与一元二次方程问题
【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？
步骤：①审题；②设元；③列式；④解答；⑤验根；⑥答案.
【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm²，问剪去的小正方形的边长应是多少?
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 ； 整理得：x²-17x+52=0；解方程，得：（x-13）（x-4）=0；解得：x1=4，x2=13（舍去）；因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.
2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
几何图形的面积问题
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____．
(21-14x)
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，列方程得： 解得 x 2.6上、下的边衬的宽为（27-9 2.6） 0.5=1.8cm左、右的边衬的宽为（21-7 2.6） 0.5=1.4cm
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3 整理方程得：2x²+9x-9=0 解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去） 因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺） 台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺） 即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
利用一元二次方程解答一般面积问题
要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？
解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得 整理得8x2+204x-319=0,解得 . ∴x1= ,x2= (不合题意，舍去). ∴x= ≈1.5. 答：镜框的宽度约为1.5cm.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.
点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等于总长.
（3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由。
2.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
整理，得 x2-13x+40=0
解方程，得 （x-5）（x-8）=0 即： x1=5 , x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）;当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
解：设道路的宽为x米，依题意得
例3 如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？
20×32-32x-20x+x2=540
解：设道路的宽为 x 米
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0解方程，得（x-50)(x-2）=0
即 x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？
如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？
(32-2x)(20-x)=540
如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？
(32-2x)(20-2x)=540
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= ×20×30
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出结果，至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.
3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
整理得，x2-36x+35=0
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
（32-2x）（20-x）=570
解方程，得（x-35）（x-1）=0
即：x1=35，x2=1
公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm，依题意得：
5(2x-10)(x-10)=3000； 整理得：x2-15x-250=0；解方程，得：（x-25）（x+10）=0；即： x1=25 x2=-10(舍去）；所以 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
解：设AB长是x m，依题意得： (100-4x)x=400 整理得：x2-25x+100=0 解方程得：（x-20）（x-5）=0 即 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=20<25 ； x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去) 答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
4.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得： (20-6x)(30-4x)=400整理得： 6x2-65x+50=0解方程得：
常见几何图形面积是等量关系.
常采用图形平移能聚零为整关系一同了解，从而列方程
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