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    初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程评优课课件ppt

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    这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程评优课课件ppt,共60页。PPT课件主要包含了导入新知,素养目标,你能解决这个问题吗,探究新知,巩固练习,答这个小组共9人,xx-1182,连接中考,课堂检测,基础巩固题等内容,欢迎下载使用。

    列一元二次方程解应用题
    传染病,一传十, 十传百… …
    【想一想】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
    1.能根据实际问题中的数量关系,正确列出一元二次方程.
    2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用,经历将实际问题转化为数学问题的过程,提高数学应用意识.
    列一元二次方程解决实际问题
    有一人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
    第1轮传染后人数 x+1
    第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1
    【思考】不要忽视小明的二次传染
    【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明,其传染示意图如下:
    根据示意图,列表如下:
    解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
    1+x+x(1+x)=(1+x)2
    列方程 x+1+x(x+1)=121化简得 x2+2x-120=0 (x-10)(x+12)=0 x1=10, x2=-12(舍)
    列方程 x+1+x(x+1)=121提取公因式 (x+1)(x+1)=121 (x+1)2=121 x+1=±11一定要进行检验 x1=10, x2=-12(舍)
    答:平均一个人传染了________个人.
    注意:一元二次方程的解有可能不符合题意,所以舍去.
    【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
    第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.
    第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.
    【思考】如果按这样的传染速度,n轮后传染后有多少人患了流感?
    经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
    (1+x)2+(1+x)2∙x=
    例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
    解:设每个支干长出x个小分支,
    则 1+x+x2=91
    即 x2+x-90=0
    x1=9,x2=-10(不合题意,舍去)
    答:每个支干长出9个小分支.
    列一元二次方程解传播问题
    1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别?
    每个树枝只分裂一次,每名患者每轮都传染.
    2.解决这类传播问题有什么经验和方法?
    (1)审题,设元,列方程,解方程,检验,作答;(2)可利用表格梳理数量关系;(3)关注起始值、新增数量,找出变化规律.
    运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些?
    电脑勒索病毒的传播非常快,如果开始有6台电脑被感染,经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
    解:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
    答:每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
    依题意 6+6x+6x (1+x) =2400
    6 (1+x)² =2400
    例2 一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共多少人?
    设这个小组共x人,根据题意列方程,得
    x(x-1)=72
    化简,得 x2-x-72=0
    解方程,得 x1=9, x2=-8(舍去)
    列一元二次方程解相互类问题
    生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,求全组有多少名同学?
    解:全组有x名同学,根据题意,得
    解得 x1=14,x2=-13(不合题意,舍去)
    答:全组有14名同学.
    1.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为(  )A.9人B.10人C.11人D.12人
    2.某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?(  )A.4 B.5 C.6 D.7
    1.元旦将至,九年级一班全体学生互赠贺卡,共赠贺卡1980张,问九年级一班共有多少名学生?设九年级一班共有x名学生,那么所列方程为( ) A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
    2.有一根月季,它的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支,主干、枝干、小分支的总数是73,设每个枝干长出x个小分支,根据题意可列方程为( ) A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)²=73
    3.早期,甲肝流行,传染性很强,曾有2人同时患上甲肝.在一天内,一人平均能传染x人,经过两天传染后128人患上甲肝,则x的值为( )?
    A.10 B.9 C.8 D.7
    1. 为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有111个人参与了传播活动,则n=______.
    2. 某校初三各班进行篮球比赛(单循环制),每两班之间共比赛了6场,求初三有几个班?
    解:初三有x个班,根据题意列方程,得
    化简,得 x2-x-12=0
    解方程,得 x1=4, x2=-3(舍去)
    分析:设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
    3. 某生物实验室需培育一群有益菌,现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后共有多少个有益菌?
    解:设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
    60+60x+60(1+x)x=24000
    x1=19,x2=-21(舍去)
    因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
    三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
    与列一元一次方程解决实际问题基本相同:审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性.
    数量关系:第一轮传播后的量=传播前的量×(1+传播速度)第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+传播速度)=传播前的量×(1+传播速度)2
    关键要设数位上的数字,要准确地表示出原数.
    甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行,所以总数要除以2.
    甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片,故总数不要除以2.
    两年前生产1t甲种药品的成本是5000元,生产1t乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元,生产1t乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
    【思考】有关增长/下降率问题,应该如何解答呢?
    1. 能正确列出关于增长率问题的一元二次方程.
    2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用,经历将实际问题转化为数学问题的过程,提高数学应用意识.
    有关增长/下降率的问题
    两年前生产1t甲种药品的成本是5000元,生产1t乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元,生产1t乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
    【思考】下降率是什么意思?它与原成本、终成本之间有何数量关系?
    【分析】甲种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.
    (5000-3000)÷2=1000(元)
    (6000-3600)÷2=1200(元)
    解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,
    依题意得 :5000(1-x)² =3000
    答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%.
    设乙种药品成本的年平均下降率为y,一年后乙种药品成本为 元,两年后乙种药品成本为 元依题意得, ,解方程得 ,
    6000(1-y)2=3600
    答:乙种药品成本的年平均下降率约为 .
    y1≈0.225,y1≈-1.775
    【思考】为什么选择22.5%作为答案?比较两种药品成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
    答:经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 .成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
    类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.
    若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为
    其中增长取“+”,降低取“-”
    例4 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%)
    解:设原价为1个单位,每次降价的百分率为 x.根据题意,得
    答:每次降价的百分率为29.3%.
    列一元二次方程解答增长率问题
    某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率?
    解:设平均每次降价的百分率为x,根据题意得:
    36(1- x )2=25
    答:平均每次约降价16.7%.
    1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,求蔬菜产量的年平均增长率,设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为(  )A.80(1+x)2=100 B.100(1﹣x)2=80C.80(1+2x)=100 D.80(1+x2)=100
    2.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为(  ) A.2% B.4.4% C.20% D.44%
    1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
    2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
    2(1+x)+2(1+x)2=8
    受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计:2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.(1)求该企业从2014年到2016年的平均增长率.(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?
    解:(1)设年平均增长率为x,依题意得:2(1+x)2=2.88.
    所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
    (2)该企业2017年的利润为2.88×(1+20%)=3.456(亿元). 因为3.456>3.4.
    所以该企业从2014年到2016年的平均增长率为20%.
    某电脑公司2001年的各项经营,一月份的营业额为200万元,一、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率。
    分析:设这个增长率为x,一月份的营业额200万元,二月份的营业额是 万元、三月份的营业额 万元,由三月份的总营业额列出等量关系.
    解:设平均增长率为x,得
    200 + 200(1+x) + 200(1+x)2 = 950
    200x2 + 600x = 350
    解得 x1≈0.5,x2≈-3.5(舍去)
    答:这个增长率是50%.
    基数为a,平均增长/下降率为x
    几何图形与一元二次方程问题
    【思考】通过上节课的学习,请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的?关键是什么?
    步骤:①审题;②设元;③列式;④解答;⑤验根;⑥答案.
    【思考】现有长19cm,宽为15cm长方形硬纸片,将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后,再折成一个无盖的长方形纸盒,要使纸盒的底面积为77cm²,问剪去的小正方形的边长应是多少?
    解:设剪去的小正方形的边长为xcm,则纸盒的长为(19-2x),宽为(15-2x)cm,依题意得(19-2x)(15-2x)=77 ; 整理得:x²-17x+52=0;解方程,得:(x-13)(x-4)=0;解得:x1=4,x2=13(舍去);因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
    1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.
    2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用,经历将实际问题转化为数学问题的过程,提高数学应用意识.
    几何图形的面积问题
    如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
    解法一:依据题意知,中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意得:中央矩形的长为 cm,宽为 cm.因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____.
    (21-14x)
    解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm,列方程得: 解得 x 2.6上、下的边衬的宽为(27-9 2.6) 0.5=1.8cm左、右的边衬的宽为(21-7 2.6) 0.5=1.4cm
    例1 有一张长6尺,宽3尺的长方形桌子,现用一块长方形台布铺在桌面上,如果台布的面积是桌面面积的2倍,且四周垂下的长度相同,试求这块台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)
    解:设四周垂下的宽度为x尺时,则台布的长为(2x+6)尺,宽为(2x+3)尺,依题意得:(6+2x)(3+2x)=2×6×3 整理方程得:2x²+9x-9=0 解得:x1≈0.84,x2≈-5.3(不合题意,舍去) 因此:台布的长为:2×0.84+6≈7.7(尺) 台布的宽为:2×0.84+3≈4.7(尺) 即这块台布的长约为7.7尺,宽约为4.7尺.
    利用一元二次方程解答一般面积问题
    要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)?
    解:设镜框的宽为xcm,根据题意,得 整理得8x2+204x-319=0,解得 . ∴x1= ,x2= (不合题意,舍去). ∴x= ≈1.5. 答:镜框的宽度约为1.5cm.
    例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙,另三边用竹篱笆围成,且竹篱笆总长为35m.(1)若所围的面积为150m²,试求此长方形鸡场的长和宽;
    (2)如果墙长为18m,则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少?
    解:当墙长为18m时,显然BC=20m时,所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口,不合题意,应舍去,此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.
    点拨:在寻找关系式时,切记三边之和等于总长,而不是四边之和等于总长.
    (3)能围成面积为160m²的长方形鸡场吗?说说你的理由。
    2.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80平方米?
    解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,
    由题意得 x(25-2x+1)=80
    整理,得 x2-13x+40=0
    解方程,得 (x-5)(x-8)=0 即: x1=5 , x2=8
    当x=5时,26-2x=16>12 (舍去);当x=8时,26-2x=10<12
    故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
    则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
    解:设道路的宽为x米,依题意得
    例3 如图,在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少?
    20×32-32x-20x+x2=540
    解:设道路的宽为 x 米
    (32-x)(20-x)=540
    整理,得x2-52x+100=0解方程,得(x-50)(x-2)=0
    即 x1=2,x2=50
    当x=50时,32-x=-18,不合题意,舍去.
    在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少?
    如图,在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少?
    (32-2x)(20-x)=540
    如图,在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少?
    (32-2x)(20-2x)=540
    在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪,如果横、纵小路的宽度比为3:2,且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少?
    小路所占面积是矩形面积的四分之一
    剩余面积是矩形面积的四分之三
    解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x, 于是可列方程
    (30-4x)(20-6x)= ×20×30
    我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的性质,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出结果,至于实际施工,仍可按原图的位置进行).
    3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
    整理得,x2-36x+35=0
    其中的 x=35超出了原矩形的宽,应舍去.
    (32-2x)(20-x)=570
    解方程,得(x-35)(x-1)=0
    即:x1=35,x2=1
    公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为(  )A.(x+1)(x+2)=18 B.x2﹣3x+16=0 C.(x﹣1)(x﹣2)=18 D.x2+3x+16=0
    1. 在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
    2.一块长方形铁板,长是宽的2倍,如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形,然后把四边折起来,做成一个没有盖的盒子,盒子的容积是3000 cm3,求铁板的长和宽.
    解:设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm,依题意得:
    5(2x-10)(x-10)=3000; 整理得:x2-15x-250=0;解方程,得:(x-25)(x+10)=0;即: x1=25 x2=-10(舍去);所以 2x=50
    答:铁板的长50cm,宽为25cm.
    解:设AB长是x m,依题意得: (100-4x)x=400 整理得:x2-25x+100=0 解方程得:(x-20)(x-5)=0 即 x1=5,x2=20 x=20,100-4x=20<25 ; x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去) 答:羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
    如图:要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米?
    4.如图,要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案,其中有两横两竖彩条,横竖彩条的宽度之比为2∶3 ,若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
    解:设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm,依题意得: (20-6x)(30-4x)=400整理得: 6x2-65x+50=0解方程得:
    常见几何图形面积是等量关系.
    常采用图形平移能聚零为整关系一同了解,从而列方程
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