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2020届二轮复习高考专题导数及其应用学案（全国通用）
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年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
导数及其应用
教学目的
教学内容
一、 知识网络
二、命题分析
导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都曾出现过，而且近几年有加强的趋势，预测2018年对本单元的考查为：
(1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的形式出现．
(2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行单纯考查，多与导数的应用综合，以考查函数的单调性、极值、最值问题，以大题形式出现．
(3)以实际应用为背景，考查导数在生活中的最优化问题的应用，以及与函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇命题，以大题形式出现．
(4)(理)定积分也是微积分的核心概念之一，它能解决自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所做的功等．实际上微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等科学领域中都有广泛而重要的应用，因此导数及其应用成为近几年高考的热点．
三、复习建议
1．重视对导数概念的理解，熟练掌握导数的计算公式和导数的几何意义，为导数的应用打下坚实的基础．
2．在复习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值．
3．导数的应用较为灵活，是高考中必考的一道解答题，难度为中档题，故复习时要重视求函数的解析式、求函数值域、解决单调性问题、求函数的极值(最值)、构造函数证明不等式等问题．函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便许多，因此在复习时一定要重视．此外，导数与解析几何或函数的图像的混合问题也是一种重要类型，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起重视．
四、知识讲解
第一节 导数及导数的运算
（一）高考目标
考纲解读
1．了解导数概念的实际背景．
2．理解导数的几何意义．
3．(文)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
(理)能根据导数定义，求函数y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
4．(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
考向预测
1．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中．
2．导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝处的导数
①定义：称函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=处的导数，记作f′(x0)或y′|x=，即f′(x0)= = 。
②几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 ．
(2)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈N*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的四则运算法则
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
③[]′＝(v(x)≠0)．
4.复合函数求导
复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系
为yx′＝f′(u)g′(x)．
（三）基础自测
1．(2018·新课标文)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x－1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.
2．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1
[答案] A
[解析] 先求f(x)的导函数，再代入验证．当f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)时，f′(x)＝3(x－1)2＋3且
f′(1)＝3(1－1)2＋3＝3.
3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
[答案] D
[解析] 直线2x－y＋4＝0的斜率为k＝2.
由y＝x2得y′＝2x，令2x＝2，得x＝1.所以切点为(1,1)，
斜率k＝2，则所求切线为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0为所求．
4．(文)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第二象限，则函数f ′(x)的图像是( )
[答案] C
[解析] 由题意可知在第二象限
⇒⇒b>0，又f ′(x)＝2x＋b，故选C.
(理)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]
[解析] ∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，
∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈.
∴sin∈，
∴f′(1)∈[，2]，故选D.
5．(2009·湖北理)已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
[答案] 1
[解析] 主要考查导数及函数的求值
f′(x)＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′sin＋cos，
f′＝，∴f′＝，
∴f＝f′cos＋sin＝·＋＝1.
6．(2018·辽宁重点高中联考)函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.
[答案]
[解析] ∵f(x)＝，f′(x)＝，切线斜率f′(x0)＝＝0，∴x0＝e，∴f(x0)＝f(e)＝.
7．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)．求过点P的切线方程．
[解析] 设切点为(x0，y0)，
则y0＝3x0－x03.又f′(x)＝3－3x2，
∴切线斜率k＝＝3－3x02，
即3x0－x03－2＝(x0－2)(3－3x02)
∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0，
解得x0＝1或x0＝1±，
相应的斜率k＝0或k＝－9±6.
∴切线方程为y＝2或y＝(－9±6)(x－2)＋2.
（四）典型例题
1.命题方向：导数的概念
[例1] (1)若f ′(x0)＝2，则 的值为________；
(2)若f ′(x0)＝A，则 ＝________.
[解析] (1)令－k＝Δx，则k＝－Δx，
∴原式＝ ＝－ ＝－f ′(x0)＝－1.
(2)原式＝ ＝ ＋ ＝A＋A＝2A.
跟踪练习1：
设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f ′(x0)的是 ( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法1：令x0－Δx＝x′0，则当Δx→0时，x′0→x0，
2.命题方向：导数公式及其运算法则
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋3x2＋； (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(3)y＝； (4)y＝3xex－2x＋e；
(5)y＝； (6)y＝xcosx－sinx.
(7)y＝(1＋sinx)2； (8)(理)y＝ln；
(9)(理)y＝cos32x＋ex； (10)(理)y＝lg.
[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．
(1)y′＝′－′＋(3x2)′＋()′＝x4－4x2＋6x.
(2)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，
∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，
或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(3)y′＝
＝＝
(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(5)y′＝
＝＝
(6)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
(7)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2cosx(1＋sinx)．
(8)(理)y′＝′＝··(x2＋1)′＝.
(9)(理)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.
(10)(理)y′＝′＝··(1－x2)′＝.
跟踪练习2
求下列函数的导数：
(1)y＝； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝－sin； (4)y＝＋；
(5)y＝.
[解析] (1)∵y＝＝x－＋x3＋x－2sinx，
∴y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－x－＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.
(2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝－sin＝sinx，
∴y′＝′＝cosx.
(4)y＝＋＝＝，
y′＝′＝＝.
(5)y′＝
＝＝
2.命题方向：导数公式及其运算法则
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋3x2＋； (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(3)y＝； (4)y＝3xex－2x＋e；
(5)y＝； (6)y＝xcosx－sinx.
(7)y＝(1＋sinx)2； (8)(理)y＝ln；
(9)(理)y＝cos32x＋ex； (10)(理)y＝lg.
[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．
(1)y′＝′－′＋(3x2)′＋()′＝x4－4x2＋6x.
(2)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，
∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(3)y′＝＝＝.
(4)y′＝(3xex)′–(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(5)y′＝＝＝.
(6)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
(7)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2cosx(1＋sinx)．
(8)(理)y′＝′＝··(x2＋1)′＝.
(9)(理)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.
(10)(理)y′＝′＝··(1－x2)′＝.
跟踪练习2
求下列函数的导数：
(1)y＝； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝－sin； (4)y＝＋；
(5)y＝.
[解析] (1)∵y＝＝x－＋x3＋x－2sinx，
∴y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－x－＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.
(2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝－sin＝sinx，
∴y′＝′＝cosx.
(4)y＝＋＝＝，
y′＝′＝＝.
(5)y′＝＝＝.
3.命题方向：导数的几何意义
[例3] 已知曲线方程为y＝x2，
(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；
(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．
[解析] (1)∵A(2,4)在y＝x2上，
由y＝x2得y′＝2x，∴y′＝4.
因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)方法1：设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.
由，得：x2－kx＋3k－5＝0.
Δ＝－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0，
∴k＝2或k＝10.
所求的直线方程为：2x－y－1＝0，或10x－y－25＝0.
方法2：设切点P的坐标为(，)，
由得y′=2x, y′=2 ,由已知=2，即=2，
将代入上式整理得： ＝1或＝5，
∴切点坐标为(1,1)，(5,25)，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.
[点评] (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(， )，然后求其切线斜率k＝f′()，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．
(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．
跟踪练习3.：
已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13x－32.
(2)解法1：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x02＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，
整理得，x03＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法2：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x02＋1，
∴＝3x02＋1，解之得，x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x02＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴，或，
∴切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
（五）思想方法点拨
1．根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)得导数f′(x0)＝ .
2．曲线的切线的求法
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3．函数在点x0处的导数，导函数、导数的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)
4．运用复合函数的求导法则y′x＝y′u·u′x，应注意以下几个问题：
(1)分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的系数，如(sin2x)′≠cos2x；
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略不写，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则．从最外层开始，由外及里逐层求导，即“层层剥皮”．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅱ文)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义．
y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
2．已知f0(x)＝cosx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，f3(x)＝f ′2(x)…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N＋，则f2018(x)＝( )
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
[答案] C
[解析] f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，
f4(x)＝cosx，f5(x)＝－sinx…，故fn(x)的周期为4，
∴f2018(x)＝f0(x)＝cosx.
3．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A. B．0 C．钝角 D．锐角
[答案] C
[解析] f′(x)＝exsinx＋excosx
＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．
f′(4)＝e4sin(4＋)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C.
4．若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)是 ( )
A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数
C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数
[答案] C
[解析] f′(x)＝2cos2x＋cosx－1，显然f′(x)是偶函数，又因为cosx∈[－1,1]，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．
5．设a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 因f(x)的导数为f ′(x)＝2ax＋b，又由已知y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，因此有0≤2ax0＋b≤1.而P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离为＝≤.
6．(文)(2018·安徽淮南模拟)若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为( )
A．2 B．－2 C．6 D．－6
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，
∴f′(x)＝x2－2f′(－1)x＋1，
∴f′(－1)＝(－1)2－2f′(－1)(－1)＋1，
解得f′(－1)＝－2.
∴f′(x)＝x2＋4x＋1，∴f′(1)＝6.
(理)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(－π<φ<0)，若f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ的值是( )
A. B. C．－ D．－
[答案] C
[解析] f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos，显然当φ＝－时，f(x)＋f′(x)＝2cosx是偶函数．
7．(文)(2018·新课标卷)曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本小题考查导数的运算，利用导数的几何意义求直线的斜率等．
∵点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
(理)(2009·安徽理)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
[答案] A
[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．
∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.
8．(文)若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的斜倾角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.∪ C. D.∪
[答案] B
[解析] y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－
∴tanα≥－ α∈(0，π)
∴α∈∪，故选B.
(理)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－100)，则f ′(0)＝( )
A．0 B．1002 C．200 D．100!
[答案] D
[解析] 解法1：f ′(0)＝ ＝
＝[(Δx－1)(Δx－2)…(Δx－100)]＝(－1)(－2)…(－100)＝100！.
解法2：∵f ′(x)＝[x(x－1)(x－2)…(x－100)]′
＝x′[(x－1)(x－2)…(x－100)]＋x[(x－1)(x－2)…(x－100)]′
＝(x－1)(x－2)…(x－100)＋x[(x－1)(x－2)…(x－100)]′，
∴f ′(0)＝(－1)(－2)…(－100)＋0＝100！.
解法3：由多项式展开式的性质知，f(x)＝a101x101＋a100x100＋…＋a2x2＋a1x＋a0，则
f ′(x)＝b100x100＋b99x99＋…＋b1x＋a1，∴f ′(0)＝a1.
又a1＝(－1)(－2)…(－100)＝100！，∴f ′(0)＝100！.
二、填空题
9．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
[答案] ln2－1
[解析] 由已知条件可得k＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标x＝2，切点坐标为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线y＝x＋b上可得b＝ln2－1.
10．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
[答案] (1，e) e
11．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
[答案]
[解析] 作直线y＝x－2的平行线使其与曲线y＝x2－lnx相切，则切点到直线y＝x－2的距离最小．
由y′＝2x－＝1，得x＝1，或x＝－(舍去)．
∴切点为(1,1)，它到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝＝.
三、解答题
12．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[分析] (1)在点P处的切线以点P为切点．
(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．
[解析] (1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，
则切线的斜率
∴切线方程为y－＝x02(x－x0)，
即y＝x02·x－x03＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x02－x03＋，
即x03－3x02＋4＝0.∴x03＋x02－4x02＋4＝0.
∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
13．(2018·广州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．
[解析] 设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x03)，
所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)，
即y＝3x02x－2x03，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，
当x0＝0时，
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以a＝－1或－.
14．已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝2x2＋b，它们的图像在x＝1处有相同的切线．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)如果F(x)＝f(x)－mg(x)在区间[，3]上是单调增函数，求实数m的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝4x，
由条件知，∴，∴
∴f(x)＝x3＋x，g(x)＝2x2.
(2)F(x)＝f(x)－mg(x)＝x3＋x－2mx2，
∴F′(x)＝3x2－4mx＋1，
若F(x)在区间[，3]上为增函数，则需F′(x)≥0，
即3x2－4mx＋1≥0，∴m≤.
令h(x)＝，x∈[，3]，则h(x)在区间[，3]上的最小值是h()＝，
因此，实数m的取值范围是m≤.
15．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t).
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的最大值.
[解析] (1)因为f ′(x)＝(e－x)′＝－e－x，
所以切线l的斜率为－e－t，
故切线l的方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，
即e－tx＋y－e－t(t＋1)＝0.
(2)令y＝0得x＝t＋1，
又令x＝0得y＝e－t(t＋1)，
∵t≥0，∴t＋1＞0，e－t(t＋1)＞0，
∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t，
从而S′(t)＝e－t(1－t)(1＋t)．
∵当t∈(0,1)时，S′(t)>0，当t∈(1，＋∞)时，S′(t)<0，所以S(t)的最大值为S(1)＝.
第二节 导数的应用
（一）高考目标
考纲解读
1．了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3．会利用导数解决某些实际问题．
考向预测
1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的最优化问题，已成为近几年高考炙手可热的考点.
2．选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)为 ；f′(x)≤0⇔f(x)为 ．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法:一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程 的根；
③检查f′(x)在方程 的根左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的 ；
②将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（三）基础自测
1．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
[答案] B
[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.
2．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0， C．－，0 D．0，－
[答案] A
[解析] f′(x)＝3x2－2px－q
由f′(1)＝0，f(1)＝0得
解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1
易得当x＝时f(x)取极大值
当x＝1时f(x)取极小值0.
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1 C．a≥－ D．a<－
[答案] A
[解析] y′＝ex＋a，由条件知，有解，
∴a＝－ex<－1.
4．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0
[答案] D
[解析] y′＝3ax2－1，
∵函数y＝ax3－x在R上是减函数，
∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.
5．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
[答案] (－1,11)
[解析] 本题主要考查求导公式和单调区间．
f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
由(x－11)(x＋1)<0得－1
6．(2018·江苏卷)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
[解析] 本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力．
如图，设AD＝x(0
又S△ADE＝x2，∴梯形的面积为－x2，
∴s＝×(0
令s′＝0，得x＝或3(舍去)，当x∈(0，)时，s′<0，s递减；当x∈(，1)时，s′>0，s递增；故当x＝时，s的最小值是.
7．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导．
∴x＝±1使方程f′(x)＝0，
即为3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x>1或x<－1时，f′(x)>0，
当－1
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
（四）典型例题
1.命题方向：用导数研究单调性
[例1] 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．
[分析] (1)求f′(x)转化成恒成立问题．
(2)假设存在a，求出a值进行检验．
[解析] (1)由已知f′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
故f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，则a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．
∵－1
在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：∵f(－1)＝a－2
跟踪练习1
(2010·辽宁理)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性．
[分析] 本题考查了导数的计算、导数的应用，体现了较强的分析能力、转化能力及应用能力，还体现了分类讨论思想．解题思路是求函数导数，讨论参数，确定导数的正负，判定函数的增减
[解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1
x∈时，f ′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减.
2.命题方向：用导数研究极值
[例2] 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)．如右图所示．
(1)求x0的值；
(2)求a，b，c的值．
[解析] (1)结合图像可得：
x
(－∞，1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
>0
0
<0
0
>0
f(x)
极大值
极小值
由上表可得f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
(2)解法1：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5得，
，解得a＝2，b＝－9，c＝12.
解法2：设f′(x)＝m(x－1)(x－2)＝mx2－3mx＋2m，
又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
所以a＝，b＝－m，c＝2m，
f(x)＝x3－mx2＋2mx.
∵f(1)＝5，∴－m＋2m＝5，∴m＝6，
∴a＝2，b＝－9，c＝12.
[点评] 本题要求学生善于随机应变，根据实际情况，读图像，列表格，翻译不等式，定极大值，很好的考查了学生思维的灵活性，将传统二次函数问题结合导数方式出现，很好的兼顾了基础与能力的要求、新旧内容的衔接，源于教材又不拘泥于教材，是一道训练读图识图能力，运用“数形结合”思想解决问题的好题．
跟踪练习2
设曲线y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)以原点为极小值点，且函数图像过点(1,1)，用a表示函数的极大值．
[分析] 按求极值的步骤，先求f′(x)，再由f′(x)＝0得到极值点，最后求出极大值．
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵f′(0)＝0，∴c＝0，∴f(x)＝ax3＋bx2＋d.
∵f(1)＝1，∴a＋b＋d＝1.
∵f(0)＝0，∴d＝0，∴a＋b＝1，
由f′(x)＝3ax2＋2(1－a)x＝0，得x＝0或x＝.
因为a<0，所以 >0.
所以f′(x)在(－∞，0)，上小于0，在上大于0，所以
y极大值＝f＝a·＋(1－a)·＝.
3.命题方向：利用导数研究最值
[例3] 已知函数f(x)＝ax2＋lnx(x>0)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[分析] 本题主要考查了函数的性质和利用导数研究函数的最值等知识，同时也考查了分类讨论的思想和函数与方程思想．
[解析] (1)∵f(x)＝－x2＋lnx(x>0)，
∴f′(x)＝－x＋＝－＝－.
令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝－2(舍去)，
当x∈[1,2]时，f′(x)≥0；当x∈[2，e]时，f′(x)≤0，
∴在区间[1，e]上，f(x)max＝f(2)＝－＋ln2.
(2)∵f(x)＝ax2＋lnx(x>0)，∴f′(x)＝ax＋＝(x>0)．
①当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的；
②当a<0时，
f′(x)＝＝，
由f′(x)>0得：x∈∪；
由f′(x)<0得：x∈∪.又x>0，∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
[点评] 近年来，函数与导数、不等式结合的问题成为高考考查的热点．这类问题或给出新的情景，理解起来有一定的难度，或需要较强的运算和构造能力，给我们整理式子和寻找问题的突破口带来困难．因此，我们在复习时需要对这类问题进行针对性的训练．
跟踪练习3
(2010·重庆文)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式：
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
[分析] 本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识．考查导数在函数中的应用，同时还考查综合分析问题和解决问题的能力．
[解析] (1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0.
因此f(x)的解析表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0.解得x1＝，x2＝，
则当x<－或x>时，g′(x)<0时，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；
当－0，从而g(x)在区间[－，]上是增函数，由单调性可知，在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，
最小值为g(2)＝.
4.命题方向：导数的综合应用
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)若以y＝F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
(3)是否存在实数m，使得函数y＝g＋m－1的图像与y＝f(1＋x2)的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
[解析] (1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋(x>0)，
F′(x)＝－＝(x>0)
∵a>0，由F′(x)>0⇒x∈(a，＋∞)，
∴F(x)在(a，＋∞)上单调递增．
由F′(x)<0⇒x∈(0，a)，
∴F(x)在(0，a)上单调递减．
∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)F′(x)＝(0
∴a≥，∴amin＝.
(3)若y＝g＋m－1＝x2＋m－的图像与y＝f(1＋x2)＝ln(x2＋1)的图像恰有四个不同交点，即x2＋m－＝ln(x2＋1)有四个不同的根，亦即m＝ln(x2＋1)－x2＋有四个不同的根．
令G(x)＝ln(x2＋1)－x2＋，
则G′(x)＝－x＝＝.
当x变化时G′(x)，G(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
(－1,0)
(0,1)
(1，＋∞)
G′(x)的符号
＋
－
＋
－
G(x)的单调性
由表格知：G(x)极小值＝G(0)＝，G(x)极大值＝G(1)＝G(－1)＝ln2>0.
画出草图可知，当m∈时，
y＝G(x)与y＝m恰有四个不同的交点，
∴当m∈时，y＝g＋m－1＝x2＋m－的图像与y＝f(1＋x2)＝ln(x2＋1)的图像恰有四个不同的交点．
（五）思想方法点拨
利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0[或f′(x)≤0]，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0[或f′(x)≤0]
恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a>－3 B．a<－3 C．a>－ D．a<－
[答案] B
[解析] 由y′＝(eax＋3x)′＝aeax＋3＝0得
x＝ln>0及a<0，
∴ln<0，∴0<－<1，∴a<－3.
2．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
[答案] C
[解析] f ′(x)＝1－cosx≥0
∴f(x)在上为增函数
∴f(x)的最大值为f(π)＝π－sinπ＝π，故选C.
3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
[答案] C
[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算．
∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，得x＝9时；当x∈(0,9)时，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0.y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C.
4．(2011·西安模拟)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3
[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2
A．m≥ B．m> C．m≤ D．m<
[答案] A
[解析] 由f ′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，
不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
6．当x≥2时，lnx与x－x2的关系为( )
A．lnx>x－x2 B．lnx
[解析] 构造函数F(x)＝lnx＋x2－x，
则F′(x)＝＋x－1＝.
∵x≥2，∴F′(x)>0，∴F(x)在[2，＋∞)上为增函数．
又∵F(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，
∴F(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，
∴即lnx＋x2－x>0，∴lnx>x－x2.
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为( )
A.cm B.cm C.cm D.cm
[答案] D
[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(400－x2) (0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0
所以当x＝时，V取最大值．
8．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时f ′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．f ′(x)>0，g′(x)>0 B．f ′(x)>0，g′(x)<0
C．f ′(x)<0，g′(x)>0 D．f ′(x)<0，g′(x)<0
[答案] B
[解析] f(x)是奇函数，g(x)为偶函数．x>0时，f(x)，g(x)都单调递增，x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)>0，g′(x)<0.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为____．
[答案] a≥1
[解析] 由已知得a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0 (x＞1)，
∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，
∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，
∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.
10．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f ′(1)＝________.
[答案] 2，－2
11．(2011·广州综测)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－2,2)
[解析] f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
当x<－1时，f′(x)>0；当－1
12．(文)已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)，若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在上的最大值和最小值．
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋1.
∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.
∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．
由f′(x)≥0，得x≤－1或x≥－；
由f′(x)≤0，得－1≤x≤－.
因此，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.
∴f(x)在x＝－1取得极大值f(－1)＝2，
f(x)在x＝－取得极小值f＝.
又∵f＝，f(1)＝6，且>，
∴f(x)在上的最大值为f(1)＝6，最小值为f＝.
(理)(2010·江西文)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[分析] 本题考查了导数的运算及应用，先求导，再由导函数确定a的值及范围．
[解析] (1)f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，令f′(x)＝0，
18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两根为x1，x2，
则x1x2＝＝1，∴a＝9.
(2)由f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，开口向上，
△＝36(a＋2)2－8×18a＝36(a2＋4)>0恒成立，
∴18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0有两不等根，故不存在a使f(x)单调，因为f(x)一定存在两个极值点．
13．若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
[分析] 先求函数的定义域，然后把问题转化为f′(x)<0在定义域上有解的问题来解决．
[解析] 函数f(x)存在单调递减区间，就是不等式f′(x)<0有解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以就是要求不等式f′(x)<0在(0，＋∞)上有解．
函数f(x)的导函数f′(x)＝－ax－2＝－.由题意知，f′(x)<0在定义域(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1>0在(0，＋∞)上有解．
(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1的图像是开口向上的抛物线，ax2＋2x－1>0总有x>0的解；
(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1的图像是开口向下的抛物线，且经过点(0，－1)，要使ax2＋2x－1>0总有x>0的解，
则有∴只要Δ＝4＋4a>0即可，
解得a>－1，∴－1
综上所述，实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
14．(文)(2010·北京文)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f′(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
∴(*)
(1)当a＝3时，由(*)式得，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解 得a∈[1,9]，
即a的取值范围[1,9]．
(理)(2010·北京理)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
[分析] 本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间．第(1)问可由导数求得切线斜率，从而求出切线方程．第(3)问要注意对参数k进行分类讨论．
[解析] (1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f ′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln2，f ′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－ln2＝(x－1)．即3x－2y＋2ln2－3＝0
(2)f ′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f ′(x)＝－.
因此在区间(－1,0)上，f ′(x)>0；
在区间(0，＋∞)上，f ′(x)<0；
所以f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋∞)；
当00；
因此，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f ′(x)>0；
在区间(0，)上，f ′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
当k＝1时，f ′(x)＝.f(x)的递增区间为(－1，＋∞)．
当k>1时，由f ′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝∈(－1，0)；
因此，在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f ′(x)>0，在区间(，0)上，f ′(x)<0.即函数f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为(，0)．
[点评] 利用导数求函数的单调区间需注意两个问题：一是先求函数的定义域；二是对参数进行讨论．
15．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[解析] (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，耗油×2.5＝17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为f(x)升．
依题意得f(x)＝·
＝x2＋－ (0
当x∈(0,80)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(80,120]时，f ′(x)>0，f(x)是增函数．
∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)．
因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
导数及其应用
教学目的
教学内容
一、 知识网络
二、命题分析
导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都曾出现过，而且近几年有加强的趋势，预测2018年对本单元的考查为：
(1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的形式出现．
(2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行单纯考查，多与导数的应用综合，以考查函数的单调性、极值、最值问题，以大题形式出现．
(3)以实际应用为背景，考查导数在生活中的最优化问题的应用，以及与函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇命题，以大题形式出现．
(4)(理)定积分也是微积分的核心概念之一，它能解决自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所做的功等．实际上微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等科学领域中都有广泛而重要的应用，因此导数及其应用成为近几年高考的热点．
三、复习建议
1．重视对导数概念的理解，熟练掌握导数的计算公式和导数的几何意义，为导数的应用打下坚实的基础．
2．在复习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值．
3．导数的应用较为灵活，是高考中必考的一道解答题，难度为中档题，故复习时要重视求函数的解析式、求函数值域、解决单调性问题、求函数的极值(最值)、构造函数证明不等式等问题．函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便许多，因此在复习时一定要重视．此外，导数与解析几何或函数的图像的混合问题也是一种重要类型，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起重视．
四、知识讲解
第一节 导数及导数的运算
（一）高考目标
考纲解读
1．了解导数概念的实际背景．
2．理解导数的几何意义．
3．(文)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
(理)能根据导数定义，求函数y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
4．(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
考向预测
1．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中．
2．导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝处的导数
①定义：称函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=处的导数，记作f′(x0)或y′|x=，即f′(x0)= = 。
②几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 ．
(2)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈N*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的四则运算法则
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
③[]′＝(v(x)≠0)．
4.复合函数求导
复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系
为yx′＝f′(u)g′(x)．
（三）基础自测
1．(2018·新课标文)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x－1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.
2．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1
[答案] A
[解析] 先求f(x)的导函数，再代入验证．当f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)时，f′(x)＝3(x－1)2＋3且
f′(1)＝3(1－1)2＋3＝3.
3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
[答案] D
[解析] 直线2x－y＋4＝0的斜率为k＝2.
由y＝x2得y′＝2x，令2x＝2，得x＝1.所以切点为(1,1)，
斜率k＝2，则所求切线为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0为所求．
4．(文)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第二象限，则函数f ′(x)的图像是( )
[答案] C
[解析] 由题意可知在第二象限
⇒⇒b>0，又f ′(x)＝2x＋b，故选C.
(理)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]
[解析] ∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，
∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈.
∴sin∈，
∴f′(1)∈[，2]，故选D.
5．(2009·湖北理)已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
[答案] 1
[解析] 主要考查导数及函数的求值
f′(x)＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′sin＋cos，
f′＝，∴f′＝，
∴f＝f′cos＋sin＝·＋＝1.
6．(2018·辽宁重点高中联考)函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.
[答案]
[解析] ∵f(x)＝，f′(x)＝，切线斜率f′(x0)＝＝0，∴x0＝e，∴f(x0)＝f(e)＝.
7．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)．求过点P的切线方程．
[解析] 设切点为(x0，y0)，
则y0＝3x0－x03.又f′(x)＝3－3x2，
∴切线斜率k＝＝3－3x02，
即3x0－x03－2＝(x0－2)(3－3x02)
∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0，
解得x0＝1或x0＝1±，
相应的斜率k＝0或k＝－9±6.
∴切线方程为y＝2或y＝(－9±6)(x－2)＋2.
（四）典型例题
1.命题方向：导数的概念
[例1] (1)若f ′(x0)＝2，则 的值为________；
(2)若f ′(x0)＝A，则 ＝________.
[解析] (1)令－k＝Δx，则k＝－Δx，
∴原式＝ ＝－ ＝－f ′(x0)＝－1.
(2)原式＝ ＝ ＋ ＝A＋A＝2A.
跟踪练习1：
设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f ′(x0)的是 ( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法1：令x0－Δx＝x′0，则当Δx→0时，x′0→x0，
2.命题方向：导数公式及其运算法则
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋3x2＋； (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(3)y＝； (4)y＝3xex－2x＋e；
(5)y＝； (6)y＝xcosx－sinx.
(7)y＝(1＋sinx)2； (8)(理)y＝ln；
(9)(理)y＝cos32x＋ex； (10)(理)y＝lg.
[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．
(1)y′＝′－′＋(3x2)′＋()′＝x4－4x2＋6x.
(2)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，
∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，
或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(3)y′＝
＝＝
(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(5)y′＝
＝＝
(6)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
(7)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2cosx(1＋sinx)．
(8)(理)y′＝′＝··(x2＋1)′＝.
(9)(理)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.
(10)(理)y′＝′＝··(1－x2)′＝.
跟踪练习2
求下列函数的导数：
(1)y＝； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝－sin； (4)y＝＋；
(5)y＝.
[解析] (1)∵y＝＝x－＋x3＋x－2sinx，
∴y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－x－＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.
(2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝－sin＝sinx，
∴y′＝′＝cosx.
(4)y＝＋＝＝，
y′＝′＝＝.
(5)y′＝
＝＝
2.命题方向：导数公式及其运算法则
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋3x2＋； (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(3)y＝； (4)y＝3xex－2x＋e；
(5)y＝； (6)y＝xcosx－sinx.
(7)y＝(1＋sinx)2； (8)(理)y＝ln；
(9)(理)y＝cos32x＋ex； (10)(理)y＝lg.
[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．
(1)y′＝′－′＋(3x2)′＋()′＝x4－4x2＋6x.
(2)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，
∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(3)y′＝＝＝.
(4)y′＝(3xex)′–(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(5)y′＝＝＝.
(6)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
(7)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2cosx(1＋sinx)．
(8)(理)y′＝′＝··(x2＋1)′＝.
(9)(理)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.
(10)(理)y′＝′＝··(1－x2)′＝.
跟踪练习2
求下列函数的导数：
(1)y＝； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝－sin； (4)y＝＋；
(5)y＝.
[解析] (1)∵y＝＝x－＋x3＋x－2sinx，
∴y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－x－＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.
(2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝－sin＝sinx，
∴y′＝′＝cosx.
(4)y＝＋＝＝，
y′＝′＝＝.
(5)y′＝＝＝.
3.命题方向：导数的几何意义
[例3] 已知曲线方程为y＝x2，
(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；
(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．
[解析] (1)∵A(2,4)在y＝x2上，
由y＝x2得y′＝2x，∴y′＝4.
因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)方法1：设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.
由，得：x2－kx＋3k－5＝0.
Δ＝－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0，
∴k＝2或k＝10.
所求的直线方程为：2x－y－1＝0，或10x－y－25＝0.
方法2：设切点P的坐标为(，)，
由得y′=2x, y′=2 ,由已知=2，即=2，
将代入上式整理得： ＝1或＝5，
∴切点坐标为(1,1)，(5,25)，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.
[点评] (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(， )，然后求其切线斜率k＝f′()，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．
(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．
跟踪练习3.：
已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13x－32.
(2)解法1：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x02＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，
整理得，x03＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法2：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x02＋1，
∴＝3x02＋1，解之得，x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x02＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴，或，
∴切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
（五）思想方法点拨
1．根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)得导数f′(x0)＝ .
2．曲线的切线的求法
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3．函数在点x0处的导数，导函数、导数的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)
4．运用复合函数的求导法则y′x＝y′u·u′x，应注意以下几个问题：
(1)分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的系数，如(sin2x)′≠cos2x；
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略不写，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则．从最外层开始，由外及里逐层求导，即“层层剥皮”．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅱ文)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义．
y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
2．已知f0(x)＝cosx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，f3(x)＝f ′2(x)…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N＋，则f2018(x)＝( )
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
[答案] C
[解析] f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，
f4(x)＝cosx，f5(x)＝－sinx…，故fn(x)的周期为4，
∴f2018(x)＝f0(x)＝cosx.
3．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A. B．0 C．钝角 D．锐角
[答案] C
[解析] f′(x)＝exsinx＋excosx
＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．
f′(4)＝e4sin(4＋)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C.
4．若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)是 ( )
A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数
C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数
[答案] C
[解析] f′(x)＝2cos2x＋cosx－1，显然f′(x)是偶函数，又因为cosx∈[－1,1]，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．
5．设a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 因f(x)的导数为f ′(x)＝2ax＋b，又由已知y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，因此有0≤2ax0＋b≤1.而P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离为＝≤.
6．(文)(2018·安徽淮南模拟)若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为( )
A．2 B．－2 C．6 D．－6
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，
∴f′(x)＝x2－2f′(－1)x＋1，
∴f′(－1)＝(－1)2－2f′(－1)(－1)＋1，
解得f′(－1)＝－2.
∴f′(x)＝x2＋4x＋1，∴f′(1)＝6.
(理)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(－π<φ<0)，若f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ的值是( )
A. B. C．－ D．－
[答案] C
[解析] f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos，显然当φ＝－时，f(x)＋f′(x)＝2cosx是偶函数．
7．(文)(2018·新课标卷)曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本小题考查导数的运算，利用导数的几何意义求直线的斜率等．
∵点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
(理)(2009·安徽理)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
[答案] A
[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．
∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.
8．(文)若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的斜倾角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.∪ C. D.∪
[答案] B
[解析] y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－
∴tanα≥－ α∈(0，π)
∴α∈∪，故选B.
(理)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－100)，则f ′(0)＝( )
A．0 B．1002 C．200 D．100!
[答案] D
[解析] 解法1：f ′(0)＝ ＝
＝[(Δx－1)(Δx－2)…(Δx－100)]＝(－1)(－2)…(－100)＝100！.
解法2：∵f ′(x)＝[x(x－1)(x－2)…(x－100)]′
＝x′[(x－1)(x－2)…(x－100)]＋x[(x－1)(x－2)…(x－100)]′
＝(x－1)(x－2)…(x－100)＋x[(x－1)(x－2)…(x－100)]′，
∴f ′(0)＝(－1)(－2)…(－100)＋0＝100！.
解法3：由多项式展开式的性质知，f(x)＝a101x101＋a100x100＋…＋a2x2＋a1x＋a0，则
f ′(x)＝b100x100＋b99x99＋…＋b1x＋a1，∴f ′(0)＝a1.
又a1＝(－1)(－2)…(－100)＝100！，∴f ′(0)＝100！.
二、填空题
9．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
[答案] ln2－1
[解析] 由已知条件可得k＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标x＝2，切点坐标为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线y＝x＋b上可得b＝ln2－1.
10．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
[答案] (1，e) e
11．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
[答案]
[解析] 作直线y＝x－2的平行线使其与曲线y＝x2－lnx相切，则切点到直线y＝x－2的距离最小．
由y′＝2x－＝1，得x＝1，或x＝－(舍去)．
∴切点为(1,1)，它到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝＝.
三、解答题
12．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[分析] (1)在点P处的切线以点P为切点．
(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．
[解析] (1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，
则切线的斜率
∴切线方程为y－＝x02(x－x0)，
即y＝x02·x－x03＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x02－x03＋，
即x03－3x02＋4＝0.∴x03＋x02－4x02＋4＝0.
∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
13．(2018·广州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．
[解析] 设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x03)，
所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)，
即y＝3x02x－2x03，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，
当x0＝0时，
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以a＝－1或－.
14．已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝2x2＋b，它们的图像在x＝1处有相同的切线．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)如果F(x)＝f(x)－mg(x)在区间[，3]上是单调增函数，求实数m的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝4x，
由条件知，∴，∴
∴f(x)＝x3＋x，g(x)＝2x2.
(2)F(x)＝f(x)－mg(x)＝x3＋x－2mx2，
∴F′(x)＝3x2－4mx＋1，
若F(x)在区间[，3]上为增函数，则需F′(x)≥0，
即3x2－4mx＋1≥0，∴m≤.
令h(x)＝，x∈[，3]，则h(x)在区间[，3]上的最小值是h()＝，
因此，实数m的取值范围是m≤.
15．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t).
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的最大值.
[解析] (1)因为f ′(x)＝(e－x)′＝－e－x，
所以切线l的斜率为－e－t，
故切线l的方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，
即e－tx＋y－e－t(t＋1)＝0.
(2)令y＝0得x＝t＋1，
又令x＝0得y＝e－t(t＋1)，
∵t≥0，∴t＋1＞0，e－t(t＋1)＞0，
∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t，
从而S′(t)＝e－t(1－t)(1＋t)．
∵当t∈(0,1)时，S′(t)>0，当t∈(1，＋∞)时，S′(t)<0，所以S(t)的最大值为S(1)＝.
第二节 导数的应用
（一）高考目标
考纲解读
1．了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3．会利用导数解决某些实际问题．
考向预测
1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的最优化问题，已成为近几年高考炙手可热的考点.
2．选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)为 ；f′(x)≤0⇔f(x)为 ．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法:一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程 的根；
③检查f′(x)在方程 的根左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的 ；
②将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（三）基础自测
1．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
[答案] B
[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.
2．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0， C．－，0 D．0，－
[答案] A
[解析] f′(x)＝3x2－2px－q
由f′(1)＝0，f(1)＝0得
解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1
易得当x＝时f(x)取极大值
当x＝1时f(x)取极小值0.
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1 C．a≥－ D．a<－
[答案] A
[解析] y′＝ex＋a，由条件知，有解，
∴a＝－ex<－1.
4．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0
[答案] D
[解析] y′＝3ax2－1，
∵函数y＝ax3－x在R上是减函数，
∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.
5．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
[答案] (－1,11)
[解析] 本题主要考查求导公式和单调区间．
f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
由(x－11)(x＋1)<0得－1
6．(2018·江苏卷)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
[解析] 本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力．
如图，设AD＝x(0
又S△ADE＝x2，∴梯形的面积为－x2，
∴s＝×(0
令s′＝0，得x＝或3(舍去)，当x∈(0，)时，s′<0，s递减；当x∈(，1)时，s′>0，s递增；故当x＝时，s的最小值是.
7．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导．
∴x＝±1使方程f′(x)＝0，
即为3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x>1或x<－1时，f′(x)>0，
当－1
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
（四）典型例题
1.命题方向：用导数研究单调性
[例1] 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．
[分析] (1)求f′(x)转化成恒成立问题．
(2)假设存在a，求出a值进行检验．
[解析] (1)由已知f′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
故f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，则a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．
∵－1
在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：∵f(－1)＝a－2
跟踪练习1
(2010·辽宁理)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性．
[分析] 本题考查了导数的计算、导数的应用，体现了较强的分析能力、转化能力及应用能力，还体现了分类讨论思想．解题思路是求函数导数，讨论参数，确定导数的正负，判定函数的增减
[解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1
x∈时，f ′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减.
2.命题方向：用导数研究极值
[例2] 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)．如右图所示．
(1)求x0的值；
(2)求a，b，c的值．
[解析] (1)结合图像可得：
x
(－∞，1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
>0
0
<0
0
>0
f(x)
极大值
极小值
由上表可得f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
(2)解法1：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5得，
，解得a＝2，b＝－9，c＝12.
解法2：设f′(x)＝m(x－1)(x－2)＝mx2－3mx＋2m，
又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
所以a＝，b＝－m，c＝2m，
f(x)＝x3－mx2＋2mx.
∵f(1)＝5，∴－m＋2m＝5，∴m＝6，
∴a＝2，b＝－9，c＝12.
[点评] 本题要求学生善于随机应变，根据实际情况，读图像，列表格，翻译不等式，定极大值，很好的考查了学生思维的灵活性，将传统二次函数问题结合导数方式出现，很好的兼顾了基础与能力的要求、新旧内容的衔接，源于教材又不拘泥于教材，是一道训练读图识图能力，运用“数形结合”思想解决问题的好题．
跟踪练习2
设曲线y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)以原点为极小值点，且函数图像过点(1,1)，用a表示函数的极大值．
[分析] 按求极值的步骤，先求f′(x)，再由f′(x)＝0得到极值点，最后求出极大值．
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵f′(0)＝0，∴c＝0，∴f(x)＝ax3＋bx2＋d.
∵f(1)＝1，∴a＋b＋d＝1.
∵f(0)＝0，∴d＝0，∴a＋b＝1，
由f′(x)＝3ax2＋2(1－a)x＝0，得x＝0或x＝.
因为a<0，所以 >0.
所以f′(x)在(－∞，0)，上小于0，在上大于0，所以
y极大值＝f＝a·＋(1－a)·＝.
3.命题方向：利用导数研究最值
[例3] 已知函数f(x)＝ax2＋lnx(x>0)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[分析] 本题主要考查了函数的性质和利用导数研究函数的最值等知识，同时也考查了分类讨论的思想和函数与方程思想．
[解析] (1)∵f(x)＝－x2＋lnx(x>0)，
∴f′(x)＝－x＋＝－＝－.
令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝－2(舍去)，
当x∈[1,2]时，f′(x)≥0；当x∈[2，e]时，f′(x)≤0，
∴在区间[1，e]上，f(x)max＝f(2)＝－＋ln2.
(2)∵f(x)＝ax2＋lnx(x>0)，∴f′(x)＝ax＋＝(x>0)．
①当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的；
②当a<0时，
f′(x)＝＝，
由f′(x)>0得：x∈∪；
由f′(x)<0得：x∈∪.又x>0，∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
[点评] 近年来，函数与导数、不等式结合的问题成为高考考查的热点．这类问题或给出新的情景，理解起来有一定的难度，或需要较强的运算和构造能力，给我们整理式子和寻找问题的突破口带来困难．因此，我们在复习时需要对这类问题进行针对性的训练．
跟踪练习3
(2010·重庆文)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式：
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
[分析] 本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识．考查导数在函数中的应用，同时还考查综合分析问题和解决问题的能力．
[解析] (1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0.
因此f(x)的解析表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0.解得x1＝，x2＝，
则当x<－或x>时，g′(x)<0时，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；
当－
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，
最小值为g(2)＝.
4.命题方向：导数的综合应用
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)若以y＝F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
(3)是否存在实数m，使得函数y＝g＋m－1的图像与y＝f(1＋x2)的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
[解析] (1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋(x>0)，
F′(x)＝－＝(x>0)
∵a>0，由F′(x)>0⇒x∈(a，＋∞)，
∴F(x)在(a，＋∞)上单调递增．
由F′(x)<0⇒x∈(0，a)，
∴F(x)在(0，a)上单调递减．
∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)F′(x)＝(0
∴a≥，∴amin＝.
(3)若y＝g＋m－1＝x2＋m－的图像与y＝f(1＋x2)＝ln(x2＋1)的图像恰有四个不同交点，即x2＋m－＝ln(x2＋1)有四个不同的根，亦即m＝ln(x2＋1)－x2＋有四个不同的根．
令G(x)＝ln(x2＋1)－x2＋，
则G′(x)＝－x＝＝.
当x变化时G′(x)，G(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
(－1,0)
(0,1)
(1，＋∞)
G′(x)的符号
＋
－
＋
－
G(x)的单调性
由表格知：G(x)极小值＝G(0)＝，G(x)极大值＝G(1)＝G(－1)＝ln2>0.
画出草图可知，当m∈时，
y＝G(x)与y＝m恰有四个不同的交点，
∴当m∈时，y＝g＋m－1＝x2＋m－的图像与y＝f(1＋x2)＝ln(x2＋1)的图像恰有四个不同的交点．
（五）思想方法点拨
利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0[或f′(x)≤0]，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0[或f′(x)≤0]
恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a>－3 B．a<－3 C．a>－ D．a<－
[答案] B
[解析] 由y′＝(eax＋3x)′＝aeax＋3＝0得
x＝ln>0及a<0，
∴ln<0，∴0<－<1，∴a<－3.
2．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
[答案] C
[解析] f ′(x)＝1－cosx≥0
∴f(x)在上为增函数
∴f(x)的最大值为f(π)＝π－sinπ＝π，故选C.
3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
[答案] C
[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算．
∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，得x＝9时；当x∈(0,9)时，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0.y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C.
4．(2011·西安模拟)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3
[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2
A．m≥ B．m> C．m≤ D．m<
[答案] A
[解析] 由f ′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，
不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
6．当x≥2时，lnx与x－x2的关系为( )
A．lnx>x－x2 B．lnx
[解析] 构造函数F(x)＝lnx＋x2－x，
则F′(x)＝＋x－1＝.
∵x≥2，∴F′(x)>0，∴F(x)在[2，＋∞)上为增函数．
又∵F(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，
∴F(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，
∴即lnx＋x2－x>0，∴lnx>x－x2.
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为( )
A.cm B.cm C.cm D.cm
[答案] D
[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(400－x2) (0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0
所以当x＝时，V取最大值．
8．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时f ′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．f ′(x)>0，g′(x)>0 B．f ′(x)>0，g′(x)<0
C．f ′(x)<0，g′(x)>0 D．f ′(x)<0，g′(x)<0
[答案] B
[解析] f(x)是奇函数，g(x)为偶函数．x>0时，f(x)，g(x)都单调递增，x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)>0，g′(x)<0.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为____．
[答案] a≥1
[解析] 由已知得a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0 (x＞1)，
∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，
∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，
∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.
10．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f ′(1)＝________.
[答案] 2，－2
11．(2011·广州综测)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－2,2)
[解析] f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
当x<－1时，f′(x)>0；当－1
12．(文)已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)，若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在上的最大值和最小值．
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋1.
∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.
∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．
由f′(x)≥0，得x≤－1或x≥－；
由f′(x)≤0，得－1≤x≤－.
因此，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.
∴f(x)在x＝－1取得极大值f(－1)＝2，
f(x)在x＝－取得极小值f＝.
又∵f＝，f(1)＝6，且>，
∴f(x)在上的最大值为f(1)＝6，最小值为f＝.
(理)(2010·江西文)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[分析] 本题考查了导数的运算及应用，先求导，再由导函数确定a的值及范围．
[解析] (1)f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，令f′(x)＝0，
18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两根为x1，x2，
则x1x2＝＝1，∴a＝9.
(2)由f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，开口向上，
△＝36(a＋2)2－8×18a＝36(a2＋4)>0恒成立，
∴18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0有两不等根，故不存在a使f(x)单调，因为f(x)一定存在两个极值点．
13．若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
[分析] 先求函数的定义域，然后把问题转化为f′(x)<0在定义域上有解的问题来解决．
[解析] 函数f(x)存在单调递减区间，就是不等式f′(x)<0有解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以就是要求不等式f′(x)<0在(0，＋∞)上有解．
函数f(x)的导函数f′(x)＝－ax－2＝－.由题意知，f′(x)<0在定义域(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1>0在(0，＋∞)上有解．
(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1的图像是开口向上的抛物线，ax2＋2x－1>0总有x>0的解；
(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1的图像是开口向下的抛物线，且经过点(0，－1)，要使ax2＋2x－1>0总有x>0的解，
则有∴只要Δ＝4＋4a>0即可，
解得a>－1，∴－1
综上所述，实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
14．(文)(2010·北京文)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f′(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
∴(*)
(1)当a＝3时，由(*)式得，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解 得a∈[1,9]，
即a的取值范围[1,9]．
(理)(2010·北京理)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
[分析] 本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间．第(1)问可由导数求得切线斜率，从而求出切线方程．第(3)问要注意对参数k进行分类讨论．
[解析] (1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f ′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln2，f ′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－ln2＝(x－1)．即3x－2y＋2ln2－3＝0
(2)f ′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f ′(x)＝－.
因此在区间(－1,0)上，f ′(x)>0；
在区间(0，＋∞)上，f ′(x)<0；
所以f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋∞)；
当0
因此，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f ′(x)>0；
在区间(0，)上，f ′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
当k＝1时，f ′(x)＝.f(x)的递增区间为(－1，＋∞)．
当k>1时，由f ′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝∈(－1，0)；
因此，在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f ′(x)>0，在区间(，0)上，f ′(x)<0.即函数f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为(，0)．
[点评] 利用导数求函数的单调区间需注意两个问题：一是先求函数的定义域；二是对参数进行讨论．
15．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[解析] (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，耗油×2.5＝17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为f(x)升．
依题意得f(x)＝·
＝x2＋－ (0
当x∈(0,80)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(80,120]时，f ′(x)>0，f(x)是增函数．
∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)．
因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
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