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    2020届二轮复习函数A学案(全国通用)

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    2020高中数学精讲精练 第二章 函数A

    【知识导读

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    法点拨】

    函数是中学数学中最重要,最基础的内容之一,是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数,指数函数,对数函数和三角函数的概念,性质和图像为主要研究对象,适当研究分段函数,含绝对值的函数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解.

    1.活用定义法解题.定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点.利用定义,可直接判断所给的对应是否满足函数的条件,证明或判断函数的单调性和奇偶性等.

    2.重视数形结合思想渗透.数缺形时少直观,形缺数时难入微.当你所研究的问题较为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建议:画个图像!利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题.

    3.强化分类讨论思想应用.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是不漏不重

    4.掌握函数与方程思想.函数与方程思想是最重要,最基本的数学思想方法之一,它在整个高中数学中的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题,转化问题和解决问题.

     

     

     

    第1课  函数的概念

    考点导读

    1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上,通过集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.

    2.准确理解函数的概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数.

    【基础练习

    1.设有函数组:.其中表示同一个函数的有___②④⑤___

    2.设集合,从有四种对应如图所示:

     

     

     

     

     

     

     

    其中能表示为的函数关系的有_____②③____

    3.写出下列函数定义域:

    (1) 的定义域为______________;  (2) 的定义域为______________;

    (3) 的定义域为______________; (4) 的定义域为_________________

    4.已知三个函数:(1)(2)(3).写出使各函数式有意义时,的约束条件:

     (1)______________________ (2)______________________  (3)______________________________

    5.写出下列函数值域:

    (1) ;值域是

    (2) ; 值域是

    (3)   值域是

     

    范例解析

    1.设有函数组:

    .其中表示同一个函数的有③④

    分析:判断两个函数是否为同一函数,关键看函数的三要素是否相同

    解:在中,的定义域为的定义域为,故不是同一函数;中,的定义域为的定义域为,故不是同一函数;③④是同一函数.

    点评:两个函数当它们的三要素完全相同时,才能表示同一函数.而当一个函数定义域和对应法则确定时,它的值域也就确定,故判断两个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可.

    2.求下列函数的定义域:    

    解:(1 由题意得:解得

    故定义域为

    由题意得:,解得,故定义域为

    3.求下列函数的值域:

    1

    2

    3

    分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域.

    1              解:函数的值域为

    2              解法一:由,则,故函数值域为

    解法二:由,则,故函数值域为

    3)解:令,则

    时,故函数值域为

    点评:二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围

     

     

     

     

     

     

    【反馈演练

    1.函数f(x)的定义域是___________

    2.函数的定义域为_________________

    3. 函数的值域为________________

    4. 函数的值域为_____________

    5.函数的定义域为_____________________

    6.记函数f(x)=的定义域为Ag(x)=lg[(xa1)(2ax)](a<1) 的定义域为B

    (1) A

    (2) BA求实数a的取值范围

    (1)2≥0≥0x<1x≥1  A=(1)∪[1+ ∞)

    (2) (xa1)(2ax)>0(xa1)(x2a)<0

    a<1a+1>2a∴B=(2aa+1)

    ∵BA ∴2a≥1a+1≤1aa2a<1

    a<1a2故当BA 实数a的取值范围是(∞,2]∪[,1)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    第2课  函数的表示方法

    考点导读

    1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数

    2.求解析式一般有四种情况:(1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式;(2)给出函数特征,利用待定系数法求解析式;(3)换元法求解析式;(4)解方程组法求解析式

    【基础练习

    1.设函数,则___________________

    2.设函数,_____3_______

    3.已知函数是一次函数,且,__15___

    4.f(x),则f[f()]=_____________

    5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________

    范例解析

    1.已知二次函数的最小值等于4,且,求的解析式

    分析:给出函数特征,可用待定系数法求解

    解法一:设,则解得

    故所求的解析式为

    解法二:抛物线有对称轴.故可设

    将点代入解得故所求的解析式为

    解法三:设,由,知有两个根02

    可设

    将点代入解得故所求的解析式为

    点评:三种解法均是待定系数法,也是求二次函数解析式常用的三种形式:一般式,顶点式,零点式.

    2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km,甲10时出发前往乙家.如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程ykm)与时间x(分)的关系.试写出的函数解析式.

     

     

     

     

     

     

    分析:理解题意,根据图像待定系数法求解析式

    解:当时,直线方程为,当时,直线方程为

    点评:建立函数的解析式是解决实际问题的关键,把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达.要注意求出解析式后,一定要写出其定义域.

    【反馈演练

    1.若,则  D 

      A.      B.    C.  D.

    2.已知,且,则m等于________

    3. 已知函数f(x)g(x)的图象关于原点对称,且f(x)x22x.求函数g(x)的解析式

    解:设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为

    在函数的图象上

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    第3课  函数的单调性

    考点导读

    1.理解函数单调性,最大(小)值及其几何意义;

    2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性

    【基础练习

    1.下列函数中:

           

    其中,在区间(02)上是递增函数的序号有______

    2.函数的递增区间是___ R ___

    3.函数的递减区间是__________

    4.已知函数在定义域R上是单调减函数,且,则实数a的取值范围__________

    5.已知下列命题:

    定义在上的函数满足,则函数上的增函数;

    定义在上的函数满足,则函数上不是减函数;

    定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数上是增函数;

    定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数上是增函数.

    其中正确命题的序号有___________

    范例解析

    . 求证:(1)函数在区间上是单调递增函数;

    2)函数在区间上都是单调递增函数.

    分析:利用单调性的定义证明函数的单调性,注意符号的确定.

    证明:(1)对于区间内的任意两个值,且

    因为

    ,则,得

    ,即,即

    所以,函数在区间上是单调增函数.

    2)对于区间内的任意两个值,且

    因为

    ,则得,

    ,即,即

    所以,函数在区间上是单调增函数.

    同理,对于区间,函数是单调增函数;

    所以,函数在区间上都是单调增函数.

    点评:利用单调性定义证明函数的单调性,一般分三步骤:(1)在给定区间内任意取两值;(2)作差,化成因式的乘积并判断符号;(3)给出结论.

    2.确定函数的单调性.

    分析:作差后,符号的确定是关键.

    解:由,得定义域为.对于区间内的任意两个值,且

    ,即

    所以,区间上是增函数.

    点评:运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定.

     

     

    【反馈演练

    1.已知函数,则该函数在上单调递____,(填”“)值域为_________

    2.已知函数上是减函数,在上是增函数,则__25___.

    3. 函数的单调递增区间为.

    4. 函数的单调递减区间为

    5. 已知函数在区间上是增函数,求实数a的取值范围.

    解:设对于区间内的任意两个值,且

    得,,即

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    第4课  函数的奇偶性

    考点导读

    1.了解函数奇偶性的含义,能利用定义判断一些简单函数的奇偶性;

    2.定义域对奇偶性的影响:定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件;不具备上述对称性的,既不是奇函数,也不是偶函数.

    【基础练习

    1.给出4个函数:

    其中奇函数的有______;偶函数的有________;既不是奇函数也不是偶函数的有________

    2. 设函数为奇函数,则实数     1    

    3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(  A  

    A.      B.      C.     D.

    范例解析

    1.判断下列函数的奇偶性:

    1                   2

    3                4

    5                6

    分析:判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再利用定义判断

    解:(1)定义域为,关于原点对称;,

    所以为偶函数

    2)定义域为,关于原点对称;

    ,故为奇函数

    3)定义域为,关于原点对称;

    所以既为奇函数又为偶函数

    4)定义域为,不关于原点对称;故既不是奇函数也不是偶函数

    5)定义域为,关于原点对称;,则,故既不是奇函数也不是偶函数

    6)定义域为,关于原点对称;

    ,故为奇函数

    点评:判断函数的奇偶性,应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次,利用定义即判断,注意定义的等价形式

    2. 已知定义在上的函数是奇函数,且当时,,求函数的解析式,并指出它的单调区间

    分析:奇函数若在原点有定义,则

    解:设,则

    是奇函数,

    时,

    综上,的解析式为

    作出的图像,可得增区间为,减区间为

    点评:(1)求解析式时的情况不能漏;(2)两个单调区间之间一般不用连接;(3)利用奇偶性求解析式一般是通过实现转化;(4)根据图像写单调区间

     

     

     

     

     

     

     

    【反馈演练

    1已知定义域为R的函数在区间上为减函数,且函数为偶函数,则(  D 

    A        B        C        D

    2. 上定义的函数是偶函数,且,若在区间是减函数,则函数   B  

    A.在区间上是增函数,区间上是增函数

    B.在区间上是增函数,区间上是减函数

    C.在区间上是减函数,区间上是增函数

    D.在区间上是减函数,区间上是减函数

    3. ,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____13 ___.

    4.设函数为奇函数,________

    5.若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得x的取

    值范围是(-22 

    6. 已知函数是奇函数.又,abc的值;

    解:由,得,得.又,得

    ,得,解得.又1

    ,则,应舍去;若,则

    所以,

    综上,可知的值域为

     

     

     

     

    第5 课  函数的图像

    考点导读

    1.掌握基本初等函数的图像特征,学会运用函数的图像理解和研究函数的性质;

    2.掌握画图像的基本方法:描点法和图像变换法.

    【基础练习

    1.根据下列各函数式的变换,在箭头上填写对应函数图像的变换:

    1                                     

    2                                         

    2.作出下列各个函数图像的示意图:

    1            2          3

    解:(1)将的图像向下平移1个单位,可得的图像.图略;

    2)将的图像向右平移2个单位,可得的图像.图略;

    3)由,将的图像先向右平移1个单位,得的图像,再向下平移1个单位,可得的图像.如下图所示:

     

     

     

     

    3.作出下列各个函数图像的示意图:

    1  2  3  4

    解:(1)作的图像关于y轴的对称图像,如图1所示;

    2)作的图像关于x轴的对称图像,如图2所示;

    3)作的图像及它关于y轴的对称图像,如图3所示;

    4)作的图像,并将x轴下方的部分翻折到x轴上方,如图4所示.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    4. 函数的图象是    B 

     

     

     

     

     

    范例解析

    1.作出函数的图像

    分析:根据图像变换得到相应函数的图像

    解:的图像关于y轴对称;

    的图像关于x轴对称;

    的图像向左平移2个单位得到的图像;

    保留的图像在x轴上方的部分,将x轴下方的部分关于x轴翻折上去,并去掉原下方的部分;

    的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分,并保留y轴右边部分.图略.

    点评:图像变换的类型主要有平移变换,对称变换两种.平移变换:左+,上+;对称变换:的图像关于y轴对称;

    的图像关于x轴对称;的图像关于原点对称;

    保留的图像在x轴上方的部分,将x轴下方的部分关于x轴翻折上去,并去掉原下方的部分;

    的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分,并保留y轴右边部分

    2.设函数.

    1)在区间上画出函数的图像;

    2)设集合. 试判断集合之间的关系,并给出证明.

    分析:根据图像变换得到的图像,第(3)问实质是恒成立问题.

    解:(1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2)方程的解分别是,由于上单调递减,在上单调递增,因此.

    由于.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【反馈演练

    1函数的图象是( B 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2. 为了得到函数的图象,可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到.

    3.已知函数的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则=

    4f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f (x)的图象关于直线对称,则

    f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____

    5. 作出下列函数的简图:

    1  2  3

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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