2020届二轮复习集合学案（全国通用）


年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
集合与简易逻辑
教学目的

教学内容
1. 知识网络
1、集合



2、简易逻辑


二、命题分析
1．高考对集合的考查主要有两种形式：一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算；另一种是以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的命题趋势，预计2018年高考仍会采用选择题或填空题的方式进行考查，且难度不大．
2．高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况．命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2018年这里出解答题的可能性不大．

三、复习建议
1．重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用．提高以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分率．
2．重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平．
3．对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，认真体会其中涉及的化归思想和等价转化思想．
4．全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位、判断要准确，表达要合乎逻辑．
5．充分条件、必要条件及充要条件的复习，要把握好“若p则q”的命题中条件与结论之间的逻辑关系，真正弄懂并善于应用它去分析和解决问题．

四、知识讲解
第一节 集合的概念及其运算
（一）高考目标
考纲解读
1）．了解集合的含义，元素与集合的属于关系．
2）．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3）．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4）．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5）．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6）．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7）．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
考向预测
1）．从考查内容上看，高考题仍以考查集合的概念和集合的运算为主．
2）．从能力要求上看，注重基础知识和基本技能的考查，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等式关系、不等式的解集相联系．
3）．从考查形式上看，多以选择题、填空题的形式出现．
（二）课前自主预习
知识梳理
1）．元素与集合
①集合中元素的三个特性： 、 、 。
②集合中元素与集合的关系
文字语言
符号语言
属于

不属于
 
③常见集合的符号表示：
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
④集合的表示法： 、Venn图法
2）．集合间的基本关系
表示关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中所有元素都相同

子集
A中任意一个元素均为B中的元素

真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，B中至少有一个元素不是A中的元素

注意：
①空集是任何非空集合的真子集，即 ．
②任何集合都是它本身的子集，即 .
③子集、真子集都有传递性，即若A⊆B，B⊆C，则 ；
④n个元素组成的集合的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．
3）．集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示



意义



4）.集合的运算性质
(1)交集：①A∩B＝ ；②A∩A＝ ；③A∩∅＝ ；
④A∩B⊆ ，A∩B⊆ ；⑤A∩B＝A⇔A B.
(2)并集：①A∪B＝ ；②A∪A＝ ；③A∪∅＝ ；
④A∪B⊇ ，A∪B⊇ ；⑤A∪B＝B⇔A B.
(3)交集、并集、补集的关系：
①A∩∁UA＝ ；A∪∁UA＝ ；
②∁U(A∩B)＝ ∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩ ．

（三）基础自测
1．(2018·全国卷Ⅰ文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁UM) (　　)
A．{1,3}　　　　B．{1,5} C．{3,5} D．{4,5}
[答案]　C
[解析]　该题考查集合的交集和补集运算，注意基础知识的考查．
∁UM＝{2,3,5}，∴N∩(∁UM)＝{3,5}，∴选C.
2．(2018·江西卷)若集合A＝{x}，B＝|y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅
[答案]　C
[解析]　集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，故A∩B＝{x|0≤x≤1}．选C.
3．(2018·潍坊摸拟)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
[答案]　D
[解析]　本小题主要考查了集合的并集运算．
∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴∴a＝4.故选D.
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是______．
[答案]　a≤1
5．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.
[答案]　1
[解析]　若B⊆A，则m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，显然B⊆A.

（四）典型例题
1.命题方向：元素与集合之间的关系
[例1]　设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　A　)
A．m>－1且n<5 B．m<－1且n<5 C．m>－1且n>5 D．m<－1且n>5
[解析]　∵P∈A，∴m>－1，
又∁UB＝{(x，y)|x＋y－n>0}，P∈∁UB，
∴n<5，故选A.
[点评]　一般地，若a∈A，则元素a一定满足集合A中元素的共同属性．
跟踪练习1：设a，b∈R，集合＝{a2，a＋b,0}，求a2018＋b2018的值．
[解析]　由已知得a≠0，∴＝0，即b＝0.
又a≠1，∴a2＝1，∴a＝－1.
∴a2018＋b2018＝＝1.

2.命题方向：集合间的关系
[例2]　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．
(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
[分析]　集合间的包含、相等关系，关键是搞清A、B两集合谁是谁的子集，B⊆A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况．同样A⊆B，说明A是B的子集，此时注意B是不是∅，A＝B，说明两集合元素完全相同．
[解析]　(1)由A＝{x|x2－3x－10≤0}，
得A＝{x|－2≤x≤5}，∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，
即m＜2，此时满足B⊆A.
②若B≠∅，则.解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A＝B，则必有，方程组无解，
即不存在m使得A＝B.
(3)若A⊆B，则依题意应有.解得，故3≤m≤4，
∴m的取值范围是[3,4]．
[点评]　解决这类问题时要注意空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，解题时不要漏掉这一点，同时解决两个集合的关系时，避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解，这也是数与形的完美结合之所在．

跟踪练习2
(2018·安徽阜阳模拟)设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4a2＋4a＋2，a∈R}，则下列关系正确的是(　　)
A．M＝N B．M N C．M N D．M⊆N
[分析]　根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解．
[答案]　A
[解析]　由x＝5－4a＋a2(a∈R)，
得x＝(a－2)2＋1≥1，故M＝{x|x≥1}．
由y＝4a2＋4a＋2(a∈R)，得y＝(2a＋1)2＋1≥1.
故N＝{y|y≥1}，故M＝N.故选A.
[点评]　一般地，对于两个或两个以上集合，要判断它们之间的关系，应先将集合进行化简，弄清每一个集合中的元素的个数或范围，然后判断集合间的关系.

3.命题方向：集合的运算
[例3]　(2018·广东中山质检)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[分析]　对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，而后根据已知条件求参数．
[解析]　由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
(1)∵A∩B＝{2}，
∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；
当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；
综上，a的值为－1或－3；
(2)对于集合B，
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得⇒，矛盾；
综上，a的取值范围是a≤－3.
[点评]　(1)在解答过程中易出现求得a值后不验证是否适合题意或在B⊆A中漏掉B＝∅的情况，导致此种错误的原因是：没有熟练掌握集合的概念或集合与空集之间的关系；
(2)解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类整合、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．

跟踪练习3
若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．
(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)；
(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)由x2－2x－8<0，得－2 当m＝3时，由x－m<0，得x<3，∴B＝{x|x<3}，
∴U＝A∪B＝{x|x<4}，
∁UB＝{x|3≤x<4}．
∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}．
(2)∵A＝{x|－2 又 A∩B＝∅，∴m≤－2.
(3)∵A＝{x|－2 由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.
（五）思想方法点拨：
1．做集合的运算题时要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；④对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．
2．在集合运算过程中应力求做到“三化”：
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集．
(2)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来．
(3)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简单形式．

（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·广东文)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}
[答案]　A
[解析]　由集合的元素的互异性及集合的关系可知A正确．
2．(2018·湖北理)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
[答案]　A
[解析]　结合椭圆＋＝1的图像及y＝3x的图像可知，共有两个交点，故A∩B子集的个数为4.
3．(文)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则(∁UA)∩B等于(　　)
A．[－1,4) B．(2,3) C．(2,3] D．(－1,4)
[答案]　C
[解析]　解法1：A＝{x|x>3或x<－1}，B＝{x|2 解法2：验证排除法，取x＝0，x∉B，故排除A、D.取x＝3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁UA)∩B.排除B.
(理)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于
(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|－1 [答案]　B
[解析]　M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－1 4．已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝(　　)
A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1} C．[0,1] D．[0，]
[答案]　D
[解析]　∵M＝[0，＋∞)，N＝[－，]，∴M∩N＝[0，]，故选D.
[点评]　本题特别易错的地方是将数集误认为点集．
5．(文)(2018·湖北文)设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝(　　)
A．{2,4} B．{1,2,4} C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}
[答案]　C
[解析]　本题主要考查集合知识．
由题易知N＝{x|x＝2k，k∈Z}，又M＝{1,2,4,8}
∴M∩N＝{2,4,8}．
(理)(2018·安徽理)若集合A＝，则∁RA＝(　　)
A．(－∞，0]∪ B.
C．(－∞，0]∪ D.
[答案]　A
[解析]　logx≥，∴0 ∁RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)，故选A.
6．P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝(　　)
A．{1，－2} B．{(－13，－23)} C．{(1，－2)} D．{(－23，－13)}
[答案]　B
[解析]　α＝(m－1,2m＋1)，β＝(2n＋1,3n－2)，
令α＝β得，　∴
∴P∩Q＝{(－13，－23)}．
7．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有(　　)
A．A⊆C B．C⊆A C．A≠C D．A＝∅
[答案]　A
[解析]　考查集合的基本概念及运算．
∵B∩C⊆B⊆A∪B，A∪B＝B∩C⊆B，
∴A∪B＝B，B∩C＝B，∴A⊆B，B⊆C，∴A⊆C，选A.
8．(2018·济南高三期中)设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a A．－3－1
[答案]　A
[解析]　S＝{x|x>5或x<－1}，
∵S∪T＝R，∴，∴－3 二、填空题
9．A＝{(x，y)|x2＝y2}，B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝______.
[答案]　{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析]　A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
10．已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(2,3)
[解析]　B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.
又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.
∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2 11．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}．定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B中最大的元素是________；集合A*B的所有子集的个数为________．
[答案]　5,16
[解析]　本题考查考生的综合应用能力．由定义知：A*B＝{2,3,4,5}，则其中最大元素为5，
所有子集个数为24＝16.

第二节 命题及其关系，充要条件
（一）高考目标
考纲解读
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
考向预测
1．充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点．
2．多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属中、低档题目．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．命题的概念
可以 ，用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若┓p，则┓q
逆否命题
若┓q，则┓p
(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的 ．
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 ．
4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论．
（三）基础自测
1．(2018·江西文)对于实数a，b，c，“a>b”是“>”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　本题考查了充要条件的判定及不等式的性质，难度不大，> ⇒a>b(已认可>0)成立，
而a>b⇒>，∵c＝0，不适合，故选B.
2．(2018·天津理)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
[答案]　B
[解析]　“若p则q”的否命题为“若¬p则¬q”，故选B.
3．(2018·银川模拟)关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是 (　 　)
A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真
[答案]　D
[解析]　本题考查四种命题之间的关系及真假判断．
对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题，故选D.
4．(2018·广东文)“x＞0”是“＞0”成立的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件
[答案]　A
[解析]　本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出＞0，
而＞0⇔|x|>0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.

（四）典型例题
1.命题方向：四种命题
[例1]　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)正三角形的三内角相等；
(2)全等三角形的面积相等；
(3)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
[分析]　先找出原命题的条件p和结论q，然后根据四种命题之间的关系直接写出．
[解析]　(1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形)．
(2)原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等”．
逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等(或写成：面积相等的三角形全等)．
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的三角形面积不相等)．
逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等．
(3)原命题即是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．其中“已知a，b，c，d是实数”是大前提，“a与b，c与d都相等”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q，所以
逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.
[点评]　已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把原命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其他命题．
逆命题：“若q，则p”；否命题：“若綈p，则綈q”；
逆否命题：“若綈q，则綈p”，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动．
跟踪练习1
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)设a、b为实数，若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x、y全为零．
[解析]　(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，逆命题为真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，否命题为真命题．
逆否命题：若x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，逆否命题为真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，逆命题为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，否命题为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，逆否命题为真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，逆命题为真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，否命题为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，逆否命题为真命题．
2.命题方向：充分条件与必要条件的判定
[例2]　指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，
p：l∥α，q：l∥m；
(4)设α∈，β∈，
p：α<β，q：tanα
[解析]　(1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，
故p是q的充分不必要条件．
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立；
反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.
当x≤－1时，|x|＝－x≠x，
因此，p是q的充分不必要条件．
(3)∵l∥α⇒ l∥m，但l∥m⇒l∥α，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵x∈时，
正切函数y＝tanx是单调递增的，
∴当α∈，β∈，且α<β时，tanα ∴p是q的充要条件．
[点评]　充分条件与必要条件的判断方法有：
1．利用定义判断
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)若p⇒q且q⇒ p，则p是q的充分不必要条件；
(5)若p⇒ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(6)若p⇒ q，且q⇒ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．利用集合判断
记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若A⊆B，则p是q的充分条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件
跟踪练习2
(1)(2018·陕西文)“a>0”是“|a|>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　本题考查充要条件的概念．
a>0⇒|a|>0，但|a|>0⇒ a>0，故“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．
(2)(2018·温州一模)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件．
[答案]　B
[解析]　本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念．
由a－c>b－d变形为a－b>c－d，
因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，
∴a－c>b－d⇒a>b.
而a>b并不能推出a－c>b－d.
所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．故选B.
（五）思想方法点拨
1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．
3．对“四种命题”的理解
由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”．
要注意：否命题与命题的否定是不同的．
4．“充分条件”和“必要条件”是数学中重要的概念，它讨论“若p则q”的命题中的条件和结论的逻辑关系．因此，必须真正弄懂它并善于应用它去分析和解决有关问题．
5．由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化应用该命题的逆否命题进行判断．
6．判断命题充要条件的三种方法是：
①定义法．
②等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法；
③利用集合间的包含关系判断，若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·广东理)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　)
A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
[答案]　A
[解析]　一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，∴m≤，故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的充分不必要条件．
2．(2009·重庆文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案]　B
[解析]　考查命题与它的逆命题之间的关系．
原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.
3．(2018·临沂模拟)“sinα＝”是“cos2α＝”的(　　)
A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　本题主要考查充要条件和三角公式．
∵cos2α＝1－2sin2α＝，∴sinα＝±，
∴sinα＝⇒cos2α＝，但cos2α＝ ⇒ sinα＝，
∴“sinα＝”是“cos2α＝”的充分而不必要条件．
4．(2018·安庆模拟)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　考查平面向量平行的条件．
∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.
反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A.
5．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．
其中真命题是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
[答案]　C
[解析]　写出相应命题并判定真假．①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”为真命题；④“若A⊉B，则A∪B≠B”为假命题．
6．命题“若a>0，则a2>0”的否命题是 (　 　)
A．若a2>0，则a>0 B．若a<0，则a2<0
C．若a≤0，则a2≤0 D．若a≤0，则a2≥0
[答案]　C
[解析]　否命题是将原命题的条件与结论分别否定，作为条件和结论得到的，即“若a≤0，则a2≤0”．
7．命题甲：x、21－x、2x2成等比数列；命题乙：lgx、lg(x＋1)、lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
[答案]　B
[解析]　甲：x·2x2＝(21－x)2，∴x＝1或－2
乙：lgx＋lg(x＋3)＝2lg(x＋1)，∴x＝1，
∴甲⇒ 乙，而乙⇒甲．
8．(2018·山东文)设{an} 是首项大于零的等比数列，则“a1 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　本题考查了等比数列性质及充要条件的判定，∵a1>0，已知，a2>a1⇒q>1⇒{an}递增，在a1>0的条件下{an}递增⇒q >1⇒a2>a1，故选C.
二、填空题
9．有下列判断：①命题“若q则p”与命题“若綈p则綈q”互为逆否命题；②“am2 其中正确命题的序号为________．
[答案]　①④
[解析]　①两个命题的条件与结论互逆且否定，故正确；
②am20，∴可以推出a 但反之不能(如m＝0)．故错误；
③命题“平行四边形的对角相等”的否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则它的对角不相等”是假命题．
④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确．
10．“若a∉M或a∉P，则a∉M∩P”的逆否命题是________．
[答案]　若a∈M∩P，则a∈M且a∈P
[解析]　命题“若p则q”的逆否命题是“若綈q则綈p”，本题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”．
11．已知命题p：|2x－3|>1，命题q：lg(x－2)<0，则命题p是命题q的________条件．
[答案]　必要不充分
[解析]　p：x>2或x<1，q：2
第三节 全称量词与尊在量词、逻辑连接词
（一）高考目标
考纲解读
1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
考向预测
1．主要考查全称命题、特称命题的否定及判断．
2．多以选择题、填空题的形式考查，一般不会出现在解答题中．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．命题中的“ ”、“ ”、“ ”叫做逻辑联结词．
2．用来判断复合命题的真假的真值表：
p
q
¬p
¬q
p∨q
p∧q
¬ (p∨q)
(¬p∧q)
¬p∨¬q
¬p∧¬q
真
真
假
假

真

假

假
真
假
假
真




真
假
假
真
真
假

假

真

假
假
假
真
真
假

真

真

3.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任何一个”、“所有”等．
(2)常见的存在量词有：“存在”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．
4．全称命题与特称命题
(1) 的命题叫全称命题．
(2) 的命题叫特称命题．
5．命题的否定
(1)全称命题的否定是 命题；特称命题的否定是 命题．
(2)p或q的否定为： ；p且q的否定为： .
6．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，P(x)
 
∃x0∈M，P(x0)
∀x∈M，¬P(x)
（三）基础自测
1．(2018·湖南文)下列命题中的假命题是(　　)
A．∃x∈R，lgx＝0　　　 B．∃x∈R，tanx＝1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0
[答案]　C
[解析]　本题主要考查全称命题和特称性命题真假的判断．
对于选项C，当x≤0时，x3≤0，故C是假命题
2．(2018·天津文)下列命题中，真命题是(　　)
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
[答案]　A
[解析]　本题考查了函数的奇偶性和对特称命题和全称命题的判断．
当m＝0时，f(x)＝x2显然为偶函数，故选A.
3．给出如下几个结论：
①命题“存在x∈R，sinx＋cosx＝2”的否定是“存在x∈R，sinx＋cosx≠2”；
②命题“任意x∈R，sinx＋≥2”的否定是“存在x∈R，sinx＋<2”；
③对于任意x∈，tanx＋≥2；
④存在x∈R，使sinx＋cosx＝.
其中正确的为(　　)
A．③　　　 B．③④ C．②③④　　　 D．①②③④
[分析]　根据特称命题和全称命题的特点以及三角函数、不等式的有关知识分析判断．
[答案]　C
[解析]　根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sinx＋cosx＝sin∈[－，]知④正确．
4.分别写出下列各命题的“p∨q”、“p∧q”和“¬p”的形式，并判断它们的真假．
(1)p：是无理数，q：是实数；
(2)p：4>6，q：4＋6≤10；
(3)p：8是30的约数，q：6是30的约数；
(4)p：矩形的对角线互相垂直，q：矩形的对角线互相平分．
[解析]　(1)p∨q：是无理数或实数(真)；p∧q：是无理数且是实数(真)；
¬p：不是无理数(假)；
(2)p∨q：4>6或4＋6≤10(真)；
p∧q：4>6且4＋6≤10(假)；¬p：4≤6(真)；
(3)p∨q：8或6是30的约数(真)；
p∧q：8是30的约数且6也是30的约数(假)；
¬p：8不是30的约数(真)；
(4)p∨q：矩形的对角线相互垂直或相互平分(真)；
p∧q：矩形的对角线相互垂直且相互平分(假)；
¬p：存在矩形的对角线不能相互垂直(真)．
（四）典型例题
命题方向：复合命题的改写与判断
[例1]　分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；
(3)p：π是有理数，q：π是无理数．
[分析]　由含逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的形式及其真值表直接判断．
[解析]　(1)p或q：3是9的约数或18的约数．真；
p且q：3是9的约数且是18的约数．真；
非p：3不是9的约数．假.
(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直．真；
p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直．假；
非p：菱形的对角线不一定相等．真.
(3)p或q：π是有理数或是无理数．真；
p且q：π是有理数且是无理数．假；
非p：π不是有理数．真.
[点评]　恰当利用真值表判断新命题的真假．
跟踪练习
分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．
(1)5或6是30的约数；
(2)菱形的对角线互相垂直平分；
(3)方程x2－2x＋3＝0没有实数根．
[解析]　(1)p或q，p：5是30的约数(真)，q：6是30的约数(真)．为真命题．
(2)p且q，p：菱形的对角线互相垂直(真)，q：菱形的对角线互相平分(真)．为真命题．
(3)非p，p：x2－2x＋3＝0有实根(假)．为真命题.

（五）思想方法点拨
1．对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解
在集合部分中学习的“并集”、“交集”、“补集”与逻辑联结词中的“或”、“且”、“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”很有用处．
(1)“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有．对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“x∈A且x∉B”，也可以是“x∉A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的．
(2)对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B.
(3)对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集∁UP；对于“非”的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思．
2．全称命题与特称命题的真假判断
要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题；
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
3．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.
命题
全称命题“任意x∈A，p(x)”
特称命题“存在x∈A，使p(x)”
表述方法
①对所有的x∈A，p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立
②对一切x∈A，p(x)成立
②至少有一个x∈A，使p(x)成立
③对每一个x∈A，p(x)成立
③对有些x∈A，使p(x)成立
④任选一个x∈A，有p(x)成立
④对某个x∈A，使p(x)成立
⑤凡x∈A，都有p(x)成立
⑤有一个x∈A，使p(x)成立
4.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语
等于(＝)
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
一定
…
否定词语
至少有两个
一个也没有
某个
某些
一定不
…
另外：p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定．在对一个全称命题进行否定时，要特别注意有些命题可能省略了全称量词．
例如：实数的绝对值是正数，它的否定应是：存在一个实数，它的绝对值不是正数，而不能写成：实数的绝对值不是正数．

（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·湖南理)下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
[答案]　B
[解析]　对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0，故不正确．
2．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的(　　)
A．充要条件　　　　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[分析]　近几年高考中，简易逻辑试题是以考查基本概念、基本关系与其他知识相结合为主的客观题形式出现的，难度低，重基础．学习中，只要夯实基础，把握逻辑联结词的含义、充要关系的意义、四种命题及其相互关系，应用不同的求解策略，就能适应高考的考查要求．
[答案]　C
[解析]　若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．
3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
[答案]　C
[解析]　“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”等价于关于x的不等式x3－x2＋1≤0恒成立，其否定为：x3－x2＋1≤0不恒成立，即存在x∈R，使得x3－x2＋1>0成立．
4．下列各组命题中，满足“p或q为真”，且“非p为真”的是(　　)
A．p：0＝∅；q：0∈∅
B．p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sinx在第一象限是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：椭圆＋＝1的离心率为e＝
[答案]　C
[解析]　A中，p、q均为假，故“p或q为假”，排除A；B中，cos2A＝cos2B⇔1－2sin2A＝1－2sin2B⇔sin2A－sin2B＝0⇔(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝0⇒A－B＝0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q为真，从而“p或q”为真；D中，p为真，故p为假．
5．(2018·重庆模拟)下列四个命题中，其中为真命题的是(　　)
A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1
C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3
[答案]　C
[解析]　由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命题；
由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，故B为假命题；
由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，故C为真命题；
由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，
因此没有任何一个有理数的平方能等于3，故D是假命题．故选C.
6．给出下列结论：
①命题“若p，则q或r”的否命题是“若p，则q且r”；
②命题“若p，则q”的逆否命题是“若p，则q”；
③命题“存在n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否命题是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；
④命题“任意x，x2－2x＋3>0”的否命题是“∃x，x2－2x＋3<0”．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1　　　　　 B．2　　　　　C．3　　　 D．4
[分析]　根据原命题的否命题和逆否命题的规律以及对含有量词的命题进行否定的知识对各结论逐个作出判断．
[答案]　B
[解析]　由于否命题是把原命题的否定了的条件作条件、否定了的结论作结论得到的命题，故①正确；由于逆否命题是把原命题的否定了的结论作条件、否定了的条件作结论得到的命题，故②不正确；特称命题的否命题是全称命题，故③正确；虽然全称命题的否命题是特称命题，但对结论的否定错误，故④不正确．
7．(2018·新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命题是(　　)
A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
[答案]　C
[解析]　本小题考查了命题的相关知识，结合指数函数的单调性，综合考查了含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题真假．
p1是真命题，则p1为假命题；p2是假命题，则p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4，故选C.
8．(2009·海南理)有四个关于三角函数的命题：
p1：存在x∈R，sin2＋cos2＝
p2：存在x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny
p3：任意x∈[0，π]，＝sinx
p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝
其中假命题的是(　　)
A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p3，p4
[答案]　A
[解析]　本题主要考查了命题的真假．
p1是假命题，∵任意x∈R，sin2＋cos2＝1，
p2是真命题，例如：当x＝y＝时，
sin(x－y)＝sinx－siny＝0.
p3是真命题，∵任意x∈[0，π]，sinx>0，
∴＝|sinx|＝sinx.
p4是假命题，例如：sin＝cosπ⇒/ x＋y＝.
二、填空题
9．(2018·安徽文)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案]　对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
[解析]　该题考查命题的否定．注意特称命题的否定是全称命题．
10．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
[答案]　若a≤b，则2a≤2b－1.
11．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－lnx－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，－4]∪
[解析]　命题p：a≤x2－lnx在[1,2]上恒成立，
令f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝x－＝，
当10，∴f(x)min＝f(1)＝，
∴a≤.命题q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4，综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪.