2020届二轮复习导数专题讲义分类讨论学案（全国通用）

                                 导数中的分类讨论

探究1：设函数，．

求函数的单调增区间；

解析：. 因为，

所以（），    ……………6分

①当时，由，解得；

②当时，由，解得；

③当时，由，解得；

④当时，由，解得；

⑤当时，由，解得.

综上所述，当时，的增区间为；

当时，的增区间为；

时，的增区间为.              

变式1：已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）求函数在区间上的最大值

探究2：已知函数.

求函数的单调区间；

（2）由于，．

   （ⅰ）当时，则，，

   令，得（负根舍去），

    且当时，；当时，，

    所以在上单调减，在上单调增.……4分

（ⅱ）当时，

①当时， ,

  令，得（舍），

若，即, 则，所以在上单调增；

若，即, 则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增.                         ………………………………………………………6分

②当时, ,

令，得，记，

若，即, 则，故在上单调减；

若，即,

则由得，且，

当时，；当时，；当 时，，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减.    …………………………………………8分

综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间

是；

当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是

；

当时, 单调递减区间是(0, )和，

单调的递增区间是和.

探究3：已知为正的常数，函数；

设，求函数在区间上的最小值；

拓展1：设函数．

（1）当时，求证：为单调增函数；

（2）当时，的最小值为4，求的值．

解：（1）当时，，所以，

所以为单调增函数．             

（2）．        

①当时，在区间上是单调增函数，最小值为，

由，得（舍去）．    

②当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数，最小值为，

由，得或（舍去）．    

③当时，在区间上是减函数，最小值为，由，得（舍）

综上所述，．         

变式：已知函数f (x)＝(m－3)x3 + 9x.

（1）若函数f (x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m的取值范围；

（2）若函数f (x)在区间［1，2］上的最大值为4，求m的值．

【解】（1）因为(0)＝9 > 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数．由(x)＝3(m－3)x2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．故m的取值范围是［3，+∞) ．

（2）当m≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max＝f (2)＝8(m－3)＋18＝4,

解得m＝<3，不合题意，舍去．

当m＜3时，(x)＝3(m－3) x2 + 9=0，得．

所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减．

①当，即时，，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，[f (x)] max ＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足题设要求．

②当，即0＜m＜时，[f (x)] max舍去．

③当，即m≤0时，则，所以f (x)在区间［1，2］上单调减，[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m＝－2.综上所述：m＝－2．

拓展2：已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋lnx ，m∈R．

（1）当m＝0时，求函数f(x)的单调增区间；

（2）当m＞0时，若曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点，求实数m的值．

解（1）由题意知，f(x)＝－2x＋3＋lnx，所以f′(x)＝－2＋＝ (x＞0)．   … 2分

由f′(x)＞0得x∈(0，) ．  所以函数f(x)的单调增区间为(0，)．……… 4分

（2）由f′(x)＝mx－m－2＋，得f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2．…………………… 6分

由题意得，关于x的方程f(x)＝－x＋2有且只有一个解，

即关于x的方程m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0有且只有一个解． 

令g(x)＝m(x－1) 2－x＋1＋lnx(x＞0)．

则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝＝(x＞0)． …………… 8分

①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由g′(x)＜0得1＜x＜，

所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．

故0＜m＜1不合题意．                               ……………………… 10分

②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．

③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由g′(x)＜0得＜x＜1，

所以函数g(x)在(0，) 为增函数，在(，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．

故m＞1不合题意．综上，实数m的值为m＝1．        

[来源:Z_xx_k.Com]

变式：已知函数，．

（1）若函数在其定义域内是单调增函数，求的取值范围；[来源:学.科.网]

（2）设函数的图象被点分成的两部分为（点除外），该函数图象在点处的切线为，且分别完全位于直线的两侧，试求所有满足条件的的值．

解：（1），只需要，

即，所以．

（2）因为．所以切线的方程为．

令，则．

．

若，则，

当时，；当时，，

所以，在直线同侧，不合题意；

若，，

若，，是单调增函数，

当时，；当时，，符合题意；…10分

若，当时，，，

当时，，，不合题意；

若，当时，，，

当时，，，不合题意；

若，当时，，，

当时，，，不合题意．

故只有符合题意．

拓展3：已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）设，证明：当时，；

（3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：

．

解：（1）

   （i）若单调增加.

   （ii）若且当

所以单调增加，在单调减少.

（2）设函数则

当.

故当，  

（3）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得从而

由（I）知，

拓展4：已知函数．

   （1）若a＝1，求函数对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程；

   （2）直接写出（不需给出演算步骤）函数的单调递增区间；

   （3）如果存在，使函数，，在处取得最小值，试求b的取值范围．

解：（1）由题意知，，

由，得.                 

当时，；当时，．

∴所求切线方程为和．              

（2）当时，不存在增区间；

当时，增区间为；

当时，增区间为；

当时，增区间为．                 

（3），由题意知，在区间上恒成立，

即在区间上恒成立． 

 当时，上式显然成立，∴；                   

当时，可转化为在区间上恒成立，

令，由于二次函数的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又，

所以只要，即关于a的不等式在上有解，

即在上有解，所以，

即，解得，

又，∴．                      

综上可得，所求b的取值范围为．  

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？