2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(二)作业 练习

中难提分突破特训(二)

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值为－9.

(1)确定k的值，并求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.

解　(1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，

因为k∈N*，当n＝k时，(Sn)min＝－k2＝－9，

故k＝3.所以Sn＝n2－6n.

因为Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)，

所以an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]，

得an＝2n－7(n≥2)．

当n＝1时，S1＝－5＝a1，综上，an＝2n－7.

(2)依题意，bn＝(－1)n·an＝(－1)n(2n－7)，

所以T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n－7)＋

2．已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示：

(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并估计当x＝20时，y的值；

(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．

参考公式：＝，＝－ .

解　(1)散点图如图所示．

(2)依题意，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，

＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，

＝4＋16＋36＋64＋100＝220，

iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，

＝＝＝＝1.1，

∴＝7.6－1.1×6＝1，

∴线性回归方程为＝1.1x＋1，故当x＝20时，＝23.

(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点满足2x－y－4>0，

故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3，

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，故ξ的分布列为

故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝＝.

3．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2，AA1＝4，点M为C1D1的中点．

(1)求证：平面AB1D1∥平面BDM；

(2)求直线CD1与平面AB1D1所成角的正弦值．

解　(1)证明：由题意得，DD1∥BB1，DD1＝BB1，

故四边形DD1B1B为平行四边形，所以D1B1∥DB，

由D1B1⊂平面AB1D1，DB⊄平面AB1D1，故DB∥平面AB1D1，

由题意可知AB∥DC，D1C1∥DC，所以，AB∥D1C1.

因为M为D1C1的中点，所以D1M＝AB＝1，

所以四边形ABMD1为平行四边形，所以BM∥AD1，

由AD1⊂平面AB1D1，BM⊄平面AB1D1，

所以BM∥平面AB1D1，

又由于BM，BD相交于点B，BM，BD⊂平面BDM，

所以平面BDM∥平面AB1D1.

(2)由题意，以D为坐标原点，分别以D，D，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则点D1(0,0,4)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B1(1,1,4)，

＝(－1,0,4)，＝(0,1,4)，

设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

有即

令z＝1，则n＝(4，－4,1)，＝(0，－2,4)，

令θ为直线CD1与平面AB1D1所成的角，

则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.

4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cosθ＝0.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．

解　(1)由ρ－2cosθ＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0.

∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1.

设曲线C1上的动点M(3cosθ，2sinθ)，

由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.

∵|MC2|＝

＝，

∴当cosθ＝时，|MC2|min＝，

∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.

5．已知不等式|2x－3|<x与不等式x2－mx＋n<0(m，n∈R)的解集相同且非空．

(1)求m－n；

(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a2＋b2＋c2的最小值．

解　(1)当x≤0时，不等式|2x－3|<x的解集为空集，不符合题意；

当x>0时，|2x－3|<x⇒－x<2x－3<x⇒1<x<3，

∴1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，

∴∴∴m－n＝1.

(2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1，

∵≥ab，≥bc，≥ac，

∴a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋bc＋ac＝1.

∴a2＋b2＋c2的最小值是1.