2020届二轮复习（理）高难拉分攻坚特训(四)作业 练习

高难拉分攻坚特训(四)

1．设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且Sn＝1350.若a2<2，则n的最大值为(　　)

A．51  B．52  C．53  D．54

答案　A

解析　因为an＋1＋an＝2n＋1　　　　　　①，

所以an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3  ②，

②－①得an＋2－an＝2，且a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1，所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项，2为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以a2为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以4为公差的等差数列，

所以Sn＝

当n为偶数时，＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n为奇数时，＋(a1－1)＝1350，a1＝1351－，因为a2<2，所以3－a1<2，所以a1>1，所以1351－>1，所以n(n＋1)<2700，又n∈N*,51×52＝2652，所以n≤51，故选A.

2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．

答案　

解析　因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E点，设BC＝a，则BO＝a，

在Rt△EOB中，则有EO2＋OB2＝EB2，故EO＝ ，正四棱锥的高为2＋ ，正四棱锥的体积为V＝×a2×，令x＝ ，x∈(0,2)，则V(x)＝×(8－2x2)×(2＋x)，即V(x)＝×(－2x3－4x2＋8x＋16)，对V(x)求导得，V′(x)＝×(－6x2－8x＋8)，令V′(x)＝0，即－6x2－8x＋8＝0，解得x＝或x＝－2(舍去)，当x∈时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈时，V′(x)<0，V(x)单调递减，故当x＝时，V(x)max＝.

3．已知函数f(x)＝函数y＝f[f(x)＋1]－m(m∈R)恰有两个零点x1和x2.

(1)求函数f(x)的值域和实数m的最小值；

(2)若x1<x2，且ax1＋x2≥1恒成立，求实数a的取值范围．

解　(1)当x≤0时，f(x)＝e－x＋1≥2.

当x>0时，f(x)＝2>0.

∴f(x)的值域为(0，＋∞)．

令f[f(x)＋1]＝m，

∵f(x)＋1>1，∴f[f(x)＋1]>2，∴m>2.

又f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为(0，＋∞)．

设f(x)＋1＝t1，f(x)＋1＝t2，且t1<0，t2>1.

∴f(x)＝t1－1无解．

从而f(x)＝t2－1要有两个不同的根，应满足t2－1≥2，

∴t2≥3.

∴f(t2)＝f[f(x)＋1]≥2.即m≥2.

∴m的最小值为2.

(2)y＝f[f(x)＋1]－m有两个零点x1，x2且x1<x2，

设f(x)＝t，t∈[2，＋∞)，

∴e－x1＋1＝t，∴x1＝－ln (t－1)．

2＝t，∴x2＝.

∴－aln (t－1)＋≥1对t∈[2，＋∞)恒成立，

设h(t)＝－aln (t－1)＋－1，

h′(t)＝＋＝.

∵t∈[2，＋∞)，∴t2－t∈[2，＋∞)恒成立．

∴当2a≤2，即a≤1时，h′(t)≥0，

∴h(t)在[2，＋∞)上单调递增．

∴h(t)≥h(2)＝－aln 1＋1－1＝0成立．

当a>1时，设g(t)＝t2－t－2a.

由g(2)＝4－2－2a＝2－2a<0，t→＋∞时，g(t)→＋∞.

∴∃t0∈(2，＋∞)，使得g(t0)＝0.

且当t∈(2，t0)时，g(t)<0，t∈(t0，＋∞)时，g(t)>0.

∴当t∈(2，t0)时，h(t)单调递减，此时h(t)<h(2)＝0不符合题意．

综上，实数a的取值范围为a≤1.

4．已知F是抛物线C：x2＝2py，p>0的焦点，G，H是抛物线C上不同的两点，且|GF|＋|HF|＝3，线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4)，Q(0,8)，曲线D上的点M满足·＝0.

(1)求抛物线C和曲线D的方程；

(2)是否存在直线l：y＝kx＋m分别与抛物线C相交于点A，B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S，T(S在T的左侧)，使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

解　(1)由抛物线定义知＋＝，

得p＝，

故抛物线的方程为x2＝y.

由·＝0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆，

其方程为x2＋(y－6)2＝4.

(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|＝|BS|，

则|AS|＝|BT|，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)，

由＝(x3－x1，y3－y1)，＝(x2－x4，y2－y4)，

且＝得x3－x1＝x2－x4，即x1＋x2＝x4＋x3.

(ⅰ)当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝m，此时只需点(0，m)在圆D内即可，此时4<m<8.

(ⅱ)当直线l的斜率不为0时，

由方程组得x2－kx－m＝0，

因为直线l与抛物线交于A，B两点，

所以Δ＝k2＋4m>0，①

且x1＋x2＝k.

由方程组

得(1＋k2)x2＋2k(m－6)x＋(m－6)2－4＝0，

直线l与圆D交于S，T两点，所以圆心D(0,6)到直线l的距离

d＝<r＝2，

即(m－6)2<4(1＋k2)，②

且x3＋x4＝－.

因为x1＋x2＝x4＋x3，所以k＝－，k≠0，

化简得k2＝11－2m.

代入①②得解得－2<m<6.

又k2＝11－2m>0，∴－2<m<.

综上所述，实数m的取值范围为(－2,8)．