2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(六)作业 练习

中难提分突破特训(六)

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且(b2＋c2－a2)＝4S.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，当b＋2c取得最大值时，求cosB.

解　(1)由已知(b2＋c2－a2)＝4S＝2bcsinA，

由余弦定理得2bccosA＝2bcsinA，所以tanA＝，

因为A∈(0，π)，故A＝.

(2)由正弦定理得＝＝，

即b＝2sinB，c＝2sinC，

因此b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2＝4sinB＋2cosB＝2sin(B＋φ)，

其中φ∈，tanφ＝，则sinφ＝＝，

故b＋2c≤2，当且仅当B＋φ＝，即B＝－φ时取等号，

故此时cosB＝sinφ＝.

2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点．

(1)若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；

(2)在(1)的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45°，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．

解　(1)如图，取AB的中点M，连接CM，MD，有MD∥AB1，

因为AC＝BC，所以CM⊥AB，

又因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，

所以平面ABC⊥平面ABB1A1，

又因为平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，

所以CM⊥平面ABB1A1，

又因为DE⊂平面ABB1A1，

所以CM⊥DE，

又因为DE⊥CD，CD∩CM＝C，CD⊂平面CMD，CM⊂平面CMD，

所以DE⊥平面CMD，又因为MD⊂平面CMD，

所以DE⊥MD，

因为MD∥AB1，所以DE⊥AB1，

连接A1B，设A1B∩AB1＝O，因为ABB1A1为正方形，

所以A1B⊥AB1，

又因为DE⊂平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，

所以DE∥A1B，

又因为D为BB1的中点，所以E为OB1的中点，

所以＝.

(2)如图，以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

设AB＝2a，由题意可知∠CDM＝45°，

所以AB1＝2a，

所以DM＝CM＝a，

所以A(a,0,0)，B1(－a,2a,0)，C1(0,2a，a)，D(－a，a,0)，E，

所以＝(－2a,2a,0)，＝(a,0，a)，

＝，

设平面AB1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

得平面AB1C1的一个法向量为n＝(，，－1)．

所以cos〈，n〉＝＝＝.

所以直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值为.

3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)经过点A，且点F(0，－1)为其一个焦点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2与椭圆E的另外两个交点分别为M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．

解　(1)根据题意可得解得

∴椭圆E的方程为＋＝1.

(2)证明：不妨设A1(0,2)，A2(0，－2)．

P(x0,4)为直线y＝4上一点(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

直线PA1的方程为y＝x＋2，直线PA2的方程为y＝x－2.

点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组

可得

点N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐标满足方程组可得

即M，N.

直线MN的方程为y－＝－，

即y＝－x＋1.

故直线MN恒过定点B(0,1)．

又∵F(0，－1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，

∴△FMN的周长＝|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8.

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直线l：(t为参数)．

(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；

(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

解　(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)两边同乘以ρ得，

曲线C：y2＝2ax，由直线l：(t为参数)，消去t，得直线l：x－y＋2＝0.

(2)将代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，

由Δ>0得a>4，

设M，N，

则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，

∴|t1－t2|2＝|t1t2|，

∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.

5．已知函数f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|.

(1)当a＝1，b＝0时，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集；

(2)若a>0，b>0，且函数f(x)的最小值为2，求3a＋b的值．

解　(1)当a＝1，b＝0时，由f(x)≥3|x|＋1，得2|x＋1|≥1，

所以|x＋1|≥，解得x≤－或x≥－，

所以所求不等式的解集为∪.

(2)解法一：因为f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|

＝

所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，所以当x＝时，函数f(x)取得最小值，为f＝2＝2.

因为a>0，b>0，所以3a＋b＝3.

解法二：f(x)＝2＋≥2＋，等号在－a≤x≤时成立，

因为当x＝时，的最小值为0，

所以f(x)＝2＋≥2，等号在x＝时成立，

所以f(x)的最小值为2，从而2＝2.

因为a>0，b>0，所以3a＋b＝3.