2019届二轮复习（文）等比数列及其前n项和学案（全国通用）

 5.3 等比数列及其前n项和
一、知识梳理：
1．等比数列的定义
如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示．
用符号语言表示为：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N ，q为非零常数)．
2．等比中项
若 ，那么G叫做a与b的等比中项．
3．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝ ．
通项公式的推广：an＝am· (n，m∈N )．
4．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝ ；
当q≠1时，Sn＝ ;
5．等比数列的常用性质
(1)若{an}，{bn}(项数同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N )，则 .
(3)若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公比为 的等比数列．
(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 .
【思考辨析】：判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N ，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( 　)
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab. ( 　)
(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． ( 　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． ( 　)
(5)等比数列{an}的首项为a，公比为－1，前n项和为Sn，则S2n＝0，S2n－1＝a. ( 　)
(6)1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝. ( 　)
二、基础自测：
1. （2017年江苏，9T）等比数列的各项均为实数，其前n项的和为，已知，则 .
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为(　　)
A．1 B．2 C. D．3
3.(2018·临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为
(　　)
A. B. C. D.

4．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12 B．10 C． 8 D．2＋log35
5．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝ (　　)
A．2 B. C. D．1或2
三、典例分析：
题型一　等比数列基本量的计算
[例1] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝(　　)
A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1








[变式1] 已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝ .






题型二　等比数列的性质及应用
[例2] 已知已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝ (　　)
A．5 B．7 C．6 D．4





[变式2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝ .






[变式3] 设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.










题型三　等比数列的判定与证明
[例3] 设已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.
(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.



















[变式4] 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N .
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．











5.3 等比数列及其前n项和 跟踪练习
一、选择题
1．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于 (　　)
A．3 B．－3 C．－1 D．1
2．(2017年全国Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　　)
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
3．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N ，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为A．－2 B．2 C．－3 D．3 (　　)

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为 (　　)
A. B．－ C. D．－
5． 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于 (　　)
A．80 B．30 C．26 D．16
6．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于 (　　)
A．6 B．5 C．4 D．3

7．在公比为的等比数列{an}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是 (　　)
A. B. C. D.
8．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是 (　　)
A. B. C．2 D.
9．(2018·衡水模拟)已知正数组成的等比数列{an}，若a1·a20＝100，那么a7＋a14的最小值为A．20　　　 B．25 C．50　　　 D．不存在 (　　)
10．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为 A. B. C. D. (　　)

二、填空题
11．若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．


12．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为 ．


13．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝ ，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝ ．


14． (2018·河北武邑中学二模)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N )，则m＋n的值是 ．


15．(2018·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝ .


16．已知数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N )，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝ .



5.3 等比数列及其前n项和 跟踪练习答题卷
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案










二、填空题
11、 12、 13、 14、 15、 16、
三、解答题
17．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81。
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn。












18．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．












19．（2017年全国Ｉ，17T）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。










20．（2018年全国Ｉ，17T）已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．












5.3 等比数列及其前n项和 答案
一、 知识梳理：
1．从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)； 公比； q；
2．G2＝a·b(ab≠0)； 3．a1·qn－1；·qn－m；
4．na1；＝； 5． ak·al＝am·an； qm； qn.
【思考辨析】××××√×
二、基础自测：
1. 32 2．【答案】D
3.【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{an}是等比数列,所以a+=,所以a=-. 4．【答案】B 5．【答案】B
三、典例分析：
[例1] 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为q，由题意，
得解得
则an＝a1·n－1＝，Sn＝＝，所以＝2n－1.故选D
[变式1] 【答案】128
[例2] 【答案】A【解析】(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a＝50，a4a5a6＝a＝5.选A.
[变式2] 【答案】31【解析】a3a5＝a2a6＝64，因为a3＋a5＝20，所以a3和a5为方程x2－20x＋64＝0的两根，因为an>0，q>1，所以a3 [变式3] 【答案】A 【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.故选A.
[例3]

[变式4] (1)证明　b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1，∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．
(2)解　由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋n－2＝1＋＝1＋＝－n－1.
∴an＝－n-1(n∈N )．
跟踪练习
一、选择题
1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．C 7．B
8．【答案】D【解析】由题意可设三角形的三边分别为，a，aq，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有＋a＞aq，即q2－q－1＜0(q＞1)，解得1＜q＜，所以q的一个可能值是，故选D。

9．[答案]　A[解析]　(a7＋a14)2＝a＋a＋2a7·a14≥4a7a14＝4a1a20＝400.∴a7＋a14≥20.
10．【答案】D【解析】由a3＝a2＋2a1得q2＝q＋2，∴q＝2(q＝－1舍去)，

二、填空题
11．【答案】1 12．【答案】. 13．2n,
14．[答案]　9[解析]　a＝a2a11⇒(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，(d≠0)整理得a1＝2d，a11＝2(Sm－Sn)，可得a1＋10d＝2，
化简得(m2－n2)＋3(m－n)＝12，即(m－n)(m＋n＋3)＝12，
因为m>n>0，m，n∈N ，所以m＝5，n＝4，所以m＋n＝9，故填：9.
15．[答案]　14[解析]　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，
可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.
16．100
三、解答题
17．【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得
解得因此，an＝3n－1。
(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝。
18．(1)证明　因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.
(2)解　bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以bn＝－.
19．解：
（1）设的公比为，由题设可得
解得
故的通项公式为
（2）由（1）可得
由于
故成等差数列
20．解：（1）由条件可得an+1=．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．