2019届二轮复习等比数列及其前n项和学案（全国通用）

等比数列及其前n项和  学案

【考纲传真】

1.理解等比数列的概念．　

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．　

4.了解等比数列与指数函数的关系.

【知识扫描】

知识点1　等比数列的有关概念

1．定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，公比的表达式为＝q.

2．等比中项；如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

知识点2　等比数列的有关公式

1．通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.

2．前n项和公式：Sn＝

1．必会结论；等比数列的性质

(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a.

(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．

(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．

(5)若等比数列{an}共2k(k∈N )项，则＝q.

2．必清误区

(1)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，与等差数列不同．

(2)由an＋1＝qan(q≠0)并不能断言{an}是等比数列，还要验证a1≠0.

【学情自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列a，a，a，…(a∈R)必为等比数列．(　　)

(2)当q＜0时，等比数列{an}为递减数列．(　　)

(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)

(4)满足an＋1＝qan(n∈N ，q为常数)的数列{an}是等比数列．(　　)

2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)

A．－   B．－2 

C．2   D.

3．(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝        .

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝        .

5．(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．

(1)求an及Sn；

(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及

其前n项和Tn.

参考答案

1【解析】　(1)错误．a＝0时不能构成等比数列．

(2)错误．当q＜0时，{an}为摆动数列．

(3)错误．G2＝abDG为a，b的等比中项．

(4)错误．若a1＝0，则{an}不是等比数列．

【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2【解析】　由题意知q3＝＝，∴q＝.

【答案】　D

3【解析】　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.

【答案】　1

4【解析】　设等比数列{an}的公比为q，因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.

∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴＝·＝＝＝－11.

【答案】　－11

5【解】　(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.

故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.

(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，

所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，

所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．