2019届二轮复习 等差数列及其前n项和 学案 （全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

一．等差数列的有关概念

1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.

2.等差数列的通项公式：；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.

3.等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .

，，成等差数列.

4.等差数列的前和的求和公式：.

5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

对点练习：

已知为等差数列的前项和, , 则等于 （   ）

A．               B．                C．                D．

【答案】B

二．等差数列的相关性质

1.等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，  如：，，，，……；，，，，……；

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.

（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.

（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．

（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．

2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.

3.,则,.

4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．

5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.

6．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．

对点练习：

1.在等差数列中，已知，则= （   ）

A．10       B．18        C．20       D．28

【答案】C

2.已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（    ）

A．     B．     C．      D．

【答案】B

【解析】由,得,由知,,所以最大，故B正确.

【考点深度剖析】

等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考．经常以选择题、填空题形式出现．

【重点难点突破】

考点1  等差数列的定义、通项公式、基本运算

【1-1】【2017全国卷1（理）】记为等差数列的前项和．若，，则的公

差为（   ）.

A．1    B．2     C．4       D．8

【答案】C

【解析】，，

联立求得，得，即，所以.故选C.

【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列的前项和为，，，则          ．

【答案】

【1-3】【2018新课标I】设为等差数列的前项和，若，，则

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】设该等差数列的公差为，

根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B.

【领悟技法】

   1．等差数列的四种判断方法

(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；

(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;

(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;

(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;

(5)是等差数列⇔是等差数列.

2．活用方程思想和化归思想

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．

3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.

4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．

5.等差数列的前n项和公式

若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.

【触类旁通】

【变式一】【四川省高2019届高三第一次诊断性测试】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前10项的和为（    ）

A． 10    B． 8    C． 6    D． -8

【答案】A

【变式二】【安徽省合肥市2018届高三调研性检测】数列满足.

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）若数列满足，求的前项和.

【答案】（Ⅰ）证明见解析   （Ⅱ）

解：（Ⅰ）若，则，这与矛盾，

∴，

由已知得，

∴，

故数列是以为首项，2为公差的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，

由可知.又

∴ ∴，

∴，

则，

∴，

∴

考点2  等差数列的性质

【2-1】【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第一次模拟考试数学（文）】在等差数列中， 为其前项和，若，则（   ）

A. 60    B. 75    C. 90    D. 105

【答案】B

【解析】 ，即 ，而 ，故选B.

【2-2】【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】在数列中， ， ，且

（），则的值是（   ）

A. -10    B. 10    C. 50    D. 70

【答案】C

【2-3】【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】已知数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：

①；②；③；④．

其中一定正确的结论是（     ）

A． ①②    B． ①③④    C． ①③    D． ①②④

【答案】B

【领悟技法】

1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．

2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．

3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式．

4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.  

【触类旁通】

【变式一】【河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（三）】已知直线

与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且

，令，则的值为

A． 60.    B． 52    C． 44    D． 36

【答案】B

【解析】由两直线平行得，由两平行直线间距离公式得

得或 ，

故选：B．

【变式二】【广东省揭阳市惠来县第一中学2018届高三上学期第一次阶段考试（月考）（文）】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（    ）

A. 13    B. 14    C. 15    D. 16

【答案】C

考点3  等差数列的前项和公式的综合应用，等差数列最值

【3-1】【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟考】等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时,的值为（  ）

A． 23    B． 25    C． 23或24    D． 23或25

【答案】D

【解析】，

等差数列的公差，

且

则，且，

由，

知从到的值都大于零，时达到最大，

而与是绝对值相等，符号相反，相加为零，

，之后越来越小，

所以数列的前项和取得最大值时,的值为，故选D.

【3-2】【河南省新乡市2018届高三第三次模拟测试】已知等差数列中，，，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【3-3】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试】数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为          ．

【答案】或

【解析】当时，恒成立，当时：

当数列的公差时，即，

据此可得，则，

当数列的公差时，由题意有：，，

两式作差可得：，

整理可得：，即：，①

则，②

②-①整理可得：恒成立，

由于，故，据此可得：，

综上可得：的值为或.

【领悟技法】

求等差数列前项和的最值，常用的方法：

1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.

2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；

3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.

4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.  

【触类旁通】

【变式一】【2018届湖北省武汉市高三联考】设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（   ）

A.            B.           C.            D.

【答案】C

【变式二】【2018届山西大学附中月考】设等差数列满足， ，且有最小值，则这个最小值为          ．

【答案】-12

三、易错试题常警惕

易错典例：在等差数列中，已知a1＝20，前n项和为，且S10＝S15，求当n取何值时，有最大值，并求出它的最大值．

【错解一】　设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d.得d＝－，an＝20－(n－1)·.

当an＞0时，20－(n－1)·＞0，∴n＜13.∴n＝12时，Sn最大，S12＝12×20＋×＝130.

当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.

【错解二】　由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－，令

由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，Sn有最大值S12＝130.

易错分析：　错解一中仅解不等式an＞0不能保证Sn最大，也可能an＋1＞0，应有an≥0且an＋1≤0.

错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．

正确解析：　解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d.∴d＝－.

∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.

温馨提醒：1.解决等差数列前n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a1＞0，d＜0时，Sn最大⇔；②当a1＜0，d＞0时，Sn最小⇔.

2.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．

3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．

四、学 素养提升之思想方法篇

函数思想在数列求最值问题中的应用

数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题

1．等差数列的前n项和与函数的关系

等差数列的前n项和公式为可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.

当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．

2．等差数列前n项和的最值

(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足

(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足

3．求等差数列前n项和的最值的方法

(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N .

(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．

(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．

【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中月考】已知数列是一个等差数列，且，.

（Ⅰ）求的通项；

（Ⅱ）求前n项和的最大值．

【答案】（1）；（2）的最大值为4.

试题解析：（1），

所以；

（2），

当时，前项和取得最大值，最大值为4.