2019届二轮复习等差数列及其前n项和学案（全国通用）

5.2  等差数列及其前n项和

考向1等差数列的基本运算

1．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)

A．－1   B．0 

C．1   D．6

【解析】　∵{an}为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，

即a6＝2×2－4＝0.【答案】　B

2．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为          ．

【解析】　设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5.

【答案】　5

1．等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

2．等差数列前n项和公式的应用方法

根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d，若已知通项公式，则使用公式Sn＝.

考向2等差数列的判定与证明

　(1)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N )，则下列命题中不正确的是(　　)

A．{an＋1－an}是等差数列   B．{bn＋1－bn}是等差数列

C．{an－bn}是等差数列   D．{an＋bn}是等差数列

(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

①证明：an＋2－an＝λ；

②是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

【解析】　(1)对于A，∵an＝(n＋1)2，∴an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，

∴cn＋1－cn＝2.∴{an＋1－an}是等差数列．故A正确．

对于B，∵bn＝n2－n(n∈N )，∴bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，∴cn＋1－cn＝2，

∴{bn＋1－bn}是等差数列．故B正确．对于C，∵an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N )，

∴an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝an－bn＝3n＋1，

∴cn＋1－cn＝3，∴{an－bn}是等差数列．故C正确．对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，

cn＋1－cn不是常数．故D错误．

【答案】　D

(2)①证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，

两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

②由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，

可得a2＝λ－1.由①知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.

故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．

等差数列的四个判定方法

1．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．

2．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．

3．通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．

4．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

[变式训练]

(2014·大纲全国卷)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

【解】　(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，

即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.

于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.

考向3等差数列性质的应用

(1)(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝        .

(2)(2016·郑州模拟)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝        .

(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.

【解析】　(1)因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.

(2)∵a2＋a4＝2a3＝4，∴a3＝2，又a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5，

∴d＝a4－a3＝3，又a3＝a1＋2d＝2，∴a1＝－4，S10＝10×(－4)＋×3＝95.

【答案】　(1)10　(2)95

(3)由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，

又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.

即a1＋a18＝36，

从而a9＋a10＝a1＋a18＝36.

等差数列性质的应用技巧

1．本例中主要使用了等差数列中两项和的性质，即若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.

2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．

[变式训练]

1．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项和是        ．

【解析】　3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝3×2a4＋2×3a10＝6a4＋6a10＝24，

∴a4＋a10＝4，∴a1＋a13＝4.S13＝＝26.

【答案】　26

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝        .

【解析】　∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，∴S20－S10＝20，

∴S30－S20＝2×20－10＝30，∴S30＝60.

【答案】　60

考向4等差数列的前n项和

●命题角度1　等差数列前n项和的最值

1．(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝        时，{an}的前n项和最大．

【解析】　∵a7＋a8＋a9＝3a8＞0，∴a8＞0.

∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜－a8＜0.

∴数列的前8项和最大，即n＝8.

【答案】　8

2．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？

【解】　法一　由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，

又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．

法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．

法三　由方法一可知，d＝－a1.要使Sn最大，则有即

解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．

法四　由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，

故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．

●命题角度2　求数列{|an|}的前n项和

3．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．

(1)求d，an；

(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

【解】　(1)由题意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，即a1·5(a1＋2d)＝[2(a1＋d)＋2]2，

整理得d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.

当d＝－1时，an＝－n＋11，当d＝4时，an＝4n＋6.

总上知d＝－1，an＝－n＋11(n∈N )或d＝4，an＝4n＋6(n∈N )．

(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.

令an≥0，即－n＋11≥0得n≤11，从而当n≤11时，an≥0，当n≥12时，an<0.

所以当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n；

当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋a13＋…＋an)

＝2S11－Sn＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|

＝

1．求等差数列前n项和最值的方法

(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N .

(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．

(3)项的符号法：当a1＞0，d＜0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1＜0，d＞0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．

2．求数列{|an|}前n项和的方法

(1)先求an，令an≥0(an≤0)找出an≥0与an<0的项．

(2)根据n的取值范围，分类讨论求和．