2019届二轮复习（文）等差数列及其前n项和学案（全国通用）

 5.2 等差数列及其前n项和
一、 知识梳理：
1．等差数列的定义
如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是
通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N )．
3．等差中项：如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则 .
引申：S2n－1＝(2n－1)an.若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 .
若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为 的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn= ．
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n., ⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值．
二、 基础自测：
1.若数列{an}的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列 (　　)
A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列
C.是公差为5的等差数列 D.不是等差数列
2．(2018·银川二模)在等差数列{an}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为 (　　)
A．15 B．20 C．25 D．15或25
3．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 (　　)
A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4
4．（2017年浙江，6T）已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“d>0”是“”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.（2018年上海，4T）记等差数列的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 。
6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大．
三、 典例分析：
题型一　等差数列基本量的计算
[例1] （2017年全国Ⅰ理，6T）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为A．1 B．2 C．4 D．8 (　　)


[变式1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝ (　　)
A．28 B．21 C．14 D．7


题型二　等差数列的性质及应用
[例2] 等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是 (　　)学 ]
A．14 B．15 C．16 D．17



[变式2] 已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A．10 B．20 C．30 D．40 (　　)



[变式3] 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝ (　　)
A. B. C. D.


[变式4] 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＝ .




题型三　等差数列的判定与证明
[例3] 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.证明：数列是等差数列；










[变式5] 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝2－，设bn＝，数列{bn}的前n项和是Sn.
证明数列{bn}是等差数列，并求Sn．











题型四 等差数列中的最值问题　
[例4] 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？









[变式6] 已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n值是 ．









[变式7] 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ．






5.2 等差数列及其前n项和 跟踪练习
一、 选择题
1．(2016年全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝ (　　)
A．100　　　　　　　　 B．99
C．98 D．97
2． (2017年全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为A．－24 B．－3 C．3 D．8 (　　)
3．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是 (　　)
A．13 B． 26 C．52 D．156
4．在等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为(　　)
A．297 B．144 C．99 D．66
5．已知Sn表示等差数列{an}的前n项和，且＝，那么等于 (　　)
A. B. C. D.
6．在等差数列{an}中，a1＝2 018，其前n项和为Sn，若－＝－2 008，则S2 018的值等于A．2 017 B．－2 018 C．2 018 D．－2 019 (　　)
7．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　)
A．4 B. C．－4 D．－[
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为A．6 B．7 C．12 D．13 (　　)
9．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是 (　　)
A．24　　　 B．48　　　
C．60　　　 D．84

10．若数列{an}满足－＝d(n∈N ，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝ (　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
二、填空题
11．在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝ .


12．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10＝ .[


13． 在等差数列{an}中，若a1＜0，Sn为其前n项之和，且S7＝S17，则Sn为最小时的n的值为 ．


14．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为 ．


15．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝ .


16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1,0＜a6＜3，则S9的取值范围是 ．


5.2 等差数列及其前n项和 跟踪练习答题卷
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案










二、填空题
11、 12、 13、 14、 15、 16、
三、 解答题
17． （2018年全国II，17T）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．







18. 已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式．









19．已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2)2.
(1)求证：{an}为等差数列．
(2)若bn＝an－30.求数列{bn}的前n项和的最小值．







20.（2018年北京，15T）设{an}是等差数列，且.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求.













5.2 等差数列及其前n项和 答案
一、 知识梳理：
1．从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数；公差；d；
2．an＝a1＋(n－1)d；(n－m)d；4．ak＋al＝am＋an；2d，md；5．或Sn＝na1＋d.
7．大；小
二、 基础自测：1.A. 2．D 3．B 4．C； 5.14 6．8；
三、典例分析：[例1] 【答案】C [变式1] 【答案】D
[例2] 【答案】C 【解析】因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.
[变式2] 【答案】A【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.故选A.
[变式3] 【答案】A
【解析】令S3＝1，则S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.S12＝S9＋4＝10，∴＝.故选A.
[变式4] 【答案】 【解析】＝＝＝＝＝.
[例3]


[变式5] 解　证明：∵bn＝，an＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}是公差为1的等差数列．

[例4] 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解　解法一：由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.
又a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．
解法二：由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由解法一可知a＝－<0，故当n＝7时，Sn最大．
[变式6] 【答案】20 【解析】a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.
[变式7] 【答案】【解析】∵当且仅当n＝8时Sn取得最大值，
∴即解得－1 跟踪练习
1．C 2．A. 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A.
8．【答案】C【解析】∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.故选C.
9．[答案]　C [解析]　由题意a1>0，a10·a11<0，得d<0，a10>0，a11<0，所以a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…>a18>…，
所以T18＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＋|a11|＋|a12|＋…＋|a18|＝a1＋a2＋…＋a10－(a11＋a12＋…＋a18)＝2S10－S18＝2×36－12＝60.
10．

11．[答案]　－110
12．【答案】 13．【答案】12。
14．[答案]　[解析]　∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
15．【答案】5【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
16．【答案】(－3,21)
17．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
18. (1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．
由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，
又∵a1＝，不适合上式，∴an＝
19．(1)证明：当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋2)2，∴(a1－2)2＝0，∴a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，∴an－an－1＝4，
∴{an}为等差数列．
(2)由(1)知：an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，由bn＝an－30＝2n－31≤0得n≤.
∴{bn}的前15项之和最小，且最小值为－225.
20．解：（I）设等差数列的公差为，
∵，∴，又，∴.
∴.
（II）由（I）知，
∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴

.
∴.