2019届二轮复习导数学案（全国通用）
展开第二讲 导数
一、知识方法拓展
1、导数定义：
函数,如果自变量在处有增量，那么函数相应地有增量，比值叫做函数在到之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数，记作或.
即 ==.
求导步骤：① 求函数的改变量；② 求平均变化率；③ 取极限，得导数=.
2、导数的几何意义和物理意义
① 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率. 相应地，切线方程为.
② 如果物体运动的规律是，在点处导数的意义是处的瞬时速度.
3、常见函数导数
（为常数）； ； ； ；
； ； ； .
4、导数的运算法则
① 导数的四则运算法则
； ；
② 复合函数求导
或
5、函数的单调性与最值
（1）求函数的单调区间的一般步骤：
① 求出的导数；
② 求出方程的根；
③ 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；的解集与定义域的交集的对应区间为减区间；
注：若，则为常值函数.
（2）求函数极值的步骤：(最好通过列表法)
① 求导数；
② 解方程的根；
③ 检查在方程的根左、右两侧的符号，判断极值.“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值.
注：若点是的极值点，则，反之不一定成立；如函数在时没有导数，但是，在处，函数有极小值. .
（3）函数最值
定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
求函数在[]上的最值的步骤：
① 求函数在（）内的极值；
② 将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
二、热身练习
【例1】（2007武大）函数的极小值、极大值分别为（ ）
A.极小值-3，极大值-1 B.极小值-4，极大值1
C.极小值-4，极大值0 D.极小值-3，极大值1
分析：对函数求导，，令是两个驻点。因为时，；时，；时，，所以对应极小值，对应极大值。时，；时，
答案：D
【例2】（2007武大）在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
分析：对函数求导，，所以过的切线斜率为，即所有曲线的切线构成的直线系为。又，故时斜率最小，此时，切线方程为，即
答案：C
【例3】（2011复旦）设为正数，，若在区间上大于0，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
分析：对函数求导，，则当时，，所以在区间上单调递减。若在区间上大于0，当且仅当，即，则
答案：A
三、真题精讲
【例1】（2010五校联考）的最大值为（ ）
A. B. C. D.
分析：令，则，，所以函数在上单调递增，在上单调递减。所以在时取得最大值，
答案：B
【例2】（2007清华）求的单调区间及极值.
分析：对函数求导，，则，当时，单调递减；时，单调递减；时，单调递增。所以在时取得最小值。
答案：在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增。有最小值
【例3】（2010五校联考）设，过点且平行于y轴的直线与曲线C：的交点为Q，曲线C过点Q的切线交轴于点R，则的面积的最小值是（ ）
A. 1 B. C. D.
分析：对函数求导，，由导数的几何意义可知在处切线的斜率为，故切线方程为。令，得R点坐标。所以，则，令，所以面积最小值为
答案：B
【例4】（2011华约）已知，过的直线与该函数图象相切，且不是切点，求直线斜率。
分析：设切点为。对函数求导，，则，又，联立之后可得，因为不是切点，所以，
答案：
【例5】（2010武大）已知是定义在区间上的可导函数，满足，且
（1）讨论函数的单调性
（2）设，比较函数与的大小
分析：（1）由于，所以在上单调递减
（2）当时，，由（1）得，即。
令，当时，有，
所以在上单调递减，故，即，
由此可得
答案：（1）在上单调递减
（2）当时，
四、重点总结
1、利用导数判定函数的单调性、极值点、最值
2、利用导数的几何意义解决曲线切线的斜率问题
五、强化训练
A组
1. 函数的极小值、极大值分别为（ ）
A.极小值0，极大值4 B.极小值-16，极大值4
C.极小值-1，极大值4 D.极小值0，极大值1
分析：对函数求导，，令是两个驻点。因为时，；时，；时，，所以对应极大值，对应极小值。时，；时，
答案：A
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
分析：由导数定义可得
答案：D
3. 函数的单调递减区间为____________
分析：对函数求导，，则时，；时，；时，，又函数的定义域为，所以的单调递减区间为
答案：
4. 若四次函数有四个根，则它的导函数有多少个根？
分析： 令的四个根为，且不妨设的最高次项系数大于0，则时。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的导函数有3个极值点，即有3个根
答案： 至多3个根
5. 若方程有3个不同实根，求实数的取值范围
分析：记，有3个不同实根，则应该有2个不同实根。设，令 ，则时，有极大值，所以
；时，有极小值，所以。所以
答案：
6. 已知三次方程只有一个实根是正的，求的取值范围
分析：令，则
(1） 恒成立与题设矛盾
（2）恒成立显然不可能
（3），因为，所以在上单调递增，在上
单调递减，在上单调递增，则
答案：
7. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围
分析：（1）对进行讨论，
为偶函数
，则，为非奇非偶函数
（2）由题意，在时，
所以
答案：（1）时为偶函数，时为非奇非偶函数；（2）
8. 已知三次曲线的图象关于点中心对称
（1）求常数
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程
分析：（1）由题意，若在曲线上，则也在曲线上，即
由于恒成立，所以
（2）由（1）知
令是的切点在该点的切线斜率为4
由，
又，所以，
，从而
答案：（1）；（2）
B组
1. 一元三次函数的三次项系数为，的解集为
（1）若有两个相等实根，求的解析式
（2）若在上单调递减，求的取值范围
分析：设，则，
。又因为的解集为，所以
，对比系数可得
（1），因为有两个相等
实根，所以
（2），要使得在上单调递减，只需在上恒成
立即可。所以
答案：（1）；（2）
2. 设三次函数，在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为
（1）求证：
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围
分析：（1），由题意可得
（2）由（1）可知的，所以方程有两
个不同实根。又。
所以，当或时，；当时，
所以，的单调递增区间是，即
答案：（1）略；（2）
3. 已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同
（1）若，求的值
（2）用表示，并求的最大值
分析：（1），设与在公共点处的切线
相同，由题意可知
（2），设与在公共点处的切
线相同，由题意可知
所以
令，则
当，即时，
当，即时，，
所以在的最大值为
答案：（1）；（2），最大值为
4. 已知函数.
（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）若函数的图像在处的切线的斜率为0，且，已知，求证：；
分析：（1）
要使函数在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0
当时，在内恒成立
当时，要使恒成立，则
当时，恒成立
所以综上所述，
（2）根据题意得
所以
用数学归纳法证明如下：
当时，，不等式成立
假设当时，不等式成立，即
则当时，
所以不等式也成立。综上所述，可得证。
答案：（1）；（2）略
六、参考答案
A组
1. 分析：对函数求导，，令是两个驻点。因为时，；时，；时，，所以对应极大值，对应极小值。时，；时，
答案：A
2. 分析：由导数定义可得
答案：D
3. 分析：对函数求导，，则时，；时，；时，，又函数的定义域为，所以的单调递减区间为
答案：
4. 分析： 令的四个根为，且不妨设的最高次项系数大于0，则时。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的导函数有3个极值点，即有3个根
答案： 至多3个根
5. 分析：记，有3个不同实根，则应该有2个不同实根。设，令 ，则时，有极大值，所以
；时，有极小值，所以。所以
答案：
6. 分析：令，则
(1） 恒成立与题设矛盾
（2）恒成立显然不可能
（3），因为，所以在上单调递增，在上
单调递减，在上单调递增，则
答案：
7. 分析：（1）对进行讨论，
为偶函数
，则，为非奇非偶函数
（2）由题意，在时，
所以
答案：（1）时为偶函数，时为非奇非偶函数；（2）
8. 分析：（1）由题意，若在曲线上，则也在曲线上，即
由于恒成立，所以
（2）由（1）知
令是的切点在该点的切线斜率为4
由，
又，所以，
，从而
答案：（1）；（2）
B组
1. 分析：设，则，
。又因为的解集为，所以
，对比系数可得
（1），因为有两个相等
实根，所以
（2），要使得在上单调递减，只需在上恒成
立即可。所以
答案：（1）；（2）
2. 分析：（1），由题意可得
（2）由（1）可知的，所以方程有两
个不同实根。又。
所以，当或时，；当时，
所以，的单调递增区间是，即
答案：（1）略；（2）
3. 分析：（1），设与在公共点处的切线
相同，由题意可知
（2），设与在公共点处的切
线相同，由题意可知
所以
令，则
当，即时，
当，即时，，
所以在的最大值为
答案：（1）；（2），最大值为
4. 分析：（1）
要使函数在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0
当时，在内恒成立
当时，要使恒成立，则
当时，恒成立
所以综上所述，
（2）根据题意得
所以
用数学归纳法证明如下：
当时，，不等式成立
假设当时，不等式成立，即
则当时，
所以不等式也成立。综上所述，可得证。
答案：（1）；（2）略
