2019届二轮复习（理）导数的综合运用学案（全国通用）




【母题原题1】【2018新课标1，理21】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．

（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
【母题原题2】【2017新课标1，理21】已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.


【母题原题3】【2016新课标1，理21】已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

(ⅲ)设a<0　,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
若a≥-　,则ln(-2a)≤1,
故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
因此f(x)在(1,+∞)单调递增.
又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
若a<-　,则ln(-2a)>1,
故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;
当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,
在(ln(-2a),+∞)单调递增.
又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
(Ⅱ)不妨设x1 所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2)　,
即f(2-x2)<0.
由于f(2-x2)=-x2+a(x2-1)2,
而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,
所以f(2-x2)=-x2-(x2-2).
设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,
则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).
所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,
故当x>1时,g(x)<0.
从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

【命题意图】考查导数的概念、导数公式求导法则导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．
【命题规律】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路：
第一步：牢记求导法则，正确求导.在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域．学-
第二步：研究（1）（2）问的关系，注意利用第(1)问的结果.在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决．
第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论.高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论．
第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．
【方法总结】
1.导数法证明函数在内的单调性的步骤
(1)求；
(2)确认在内的符号；
(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．
2.图象法确定函数在内的单调性：导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．
3.已知函数单调性，求参数范围的两个方法：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
4.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
【温馨提醒】导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y＝x3)，还要保证该零点为变号零点．
6.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【温馨提醒】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．极值与最值的区别
(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．
(2)从个数上看，最值若存在，则必定是惟一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．
(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值．
7. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：
(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
8.关于最值问题： 学 ]
①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；
②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式≤（≥）（ 是自变量，是参数）恒成立问题，≥（≤），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.

1．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟考试】已知函数在点处的切线方程是.
(1)求的值及函数的最大值；
(2)若实数满足.
(i)证明：；
(ii)若，证明：.

（Ⅱ）证明：
（ⅰ），
由（Ⅰ）知，所以，即.
又因为（过程略），所以，故.
（ⅱ）法一：


点睛：该题所考查的是有关导数的综合应用，首先是应用导数的几何意义以及切点在切线上，建立相应的等量关系式，求得参数的值，以确定函数的解析式，从而利用导数来研究函数的单调性，从而确定出函数的最值，之后在证明不等式的时候，利用导数研究函数并构造新函数求得结果.
2．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷】已知函数.
（Ⅰ）若函数为单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明：.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由题意可得，原问题等价于恒成立或恒成立，构造函数令，得，结合讨论可得不可能恒成立，则得恒成立.据此计算可得.

当时，时，；
当时，时，；
不可能恒成立，归纳得恒成立.
又，
所以.
令，
，
得在单调递增，在单调递减，
，即，
所以，即.
（Ⅱ）令，
(1)当时，，
所以，.
因为，所以即；
因为，可知函数在处取最小值即，即.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
3．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知
(1)求的单调区间;
(2)设，为函数的两个零点，求证：.
【解析】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；
（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.
详解：（1）∵，∴
当时，∴，
即的单调递增区间为，无减区间；
当时，∴，

而，∴
知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可知
欲证，只需证，即证，
考虑到在上递增，只需证
由知，只需证
令 ，
则
，
所以为增函数，又，
结合知，即成立，
即成立.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷】已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）求函数在区间上零点的个数.

②当时，令，







+
0
-
0
+

↗

↘

↗
即在和上单调递增；
在上单调递减；
综上：当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增；
在上单调递减；
（2）由（1）知，
当时，在单调递增，，此时在区间上有一个零点；
当时，且，∴在单调递增；，此时在区间上有一个零点；
当时，令（负值舍去）
①当即时，在单调递增，，此时在区间上有一个零点；
②当即时， 学 .

点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
5．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】函数，.
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）若，是函数的两个不同零点，求证：①；②.

详解：（1）定义域：
令，则，令，则
∴在递减，递增
∴，无极大值
（2）由（1）知时，；时，
要使有两个不同零点，则即
不妨设，
①证明：令，则
在递增而，∴
∴即
∵，∴
∵且在递减
∴，即

点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查转化与化归等数学思想，属于难题．解题的关键是构造新函数，通过新函数的单调性过渡到原函数的单调性，转化与化归思想在这里有着充分的体现．
6．【广东省中山市第一中学2019届高三入门考试】设函数，，．
（1）若函数有两个零点，试求的取值范围；
（2）证明．
【解析】试题分析：（1）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可；（2）设h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定义域为（1，+∞），只需证明h（x）≥0即可，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论.
详解：（1）函数的定义域为，由已知得．
①当时，函数只有一个零点；
②当，因为， 当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．又，，
因为，所以，所以，
所以，取，显然且
所以，．
由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．
③当时，由，得或．
当，则．当变化时，，变化情况如下表：


0





0
－
0



－1



注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意．
当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意．
若，则．当变化时，，变化情况如下表：




0



0
－
0




]
－1


又因为，所以函数在上单增．
所以有唯一的实根，且．
当时，；当时，．所以函数的最小值为．
所以．
所以．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
7．【四川省双流中学2018届高三考前第二次模拟考试】已知函数，.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)求证：.

设，则，
∴在上单调递增，又，，在上图象是不间断的，
∴存在唯一的实数，使得，∴当时，，，在上递减，当时，，，在上递增，
∴当时，有极小值，即为最小值，，
又，所以，所以.
又，∴，∴，
所以，，即.
②当时，设，则，
∴在上单调递减，∴，
所以，
综上所述，.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式;（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
8．【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】已知函数，（为实数）.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值；
（3）若存在两个不等实数，使方程成立，求实数的取值范围.






-

+

单调递减
极小值（最小值）
单调递增
当时，在区间上，为增函数，所以，当时，在区间内，为减函数，在区间上，为增函数，所以.
（3）由，可得，则，令，
则.





-

+

单调递减
极小值（最小值）
单调递增
因为，，，所以，
∴，所以实数的取值范围为.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现，同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．
9．【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试】已知函数，其中；
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值，
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于的不等式，当时恒成立，求的值.
（Ⅲ）令，若关于的方程在内至少有两个解，求出实数的取值范围.
【解析】分析: （Ⅰ）函数在处取得极值，当时，，即可求实数的值，
（Ⅱ）当时，，整理得得，求出右边的最小值，即可求的值；

则，
所以，即
∴
（Ⅲ）
令 构造函数
即方程在区间上只少有两个解
又，所以方程在区间上有解

当时，，即函数在上是增函数，且，
所以此时方程在区间上无解 ]
当时，，同上方程无解
当时，函数在上递增，在上递减，且
要使方程在区间上有解，则，即
所以此时

点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
10．【山东省实验中学2015级第二次模拟考试】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）求证：.
【解析】分析：（1）由函数的解析式可得，则函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；
（2）令，则，，而，据此可得.
（3）原不等式等价于.由（1）得，令，则，据此即可证得题中的结论.
详解：（1）函数定义域为，；
在区间上，为增函数；
在区间上，为减函数；
（2）令，
在区间，为，为减函数；
在区间，为，为增函数；
，
由（1）得，
若关于的方程有实数解等价于.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
11．【河北省石家庄二中2018届高三三模】设函数，其中.
（Ⅰ） 讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若，成立，求的取值范围.
【解析】分析：（1）求函数的导数，再换元，令，对与分类讨论①②③④，即可得出函数的极值的情况.
（2）由（1）可知：当时，函数在为增函数，又所以满足条件；当时，因换元满足题意需在此区间，即；最后得到的取值范围.
详解：
（Ⅰ），设，则，
当时，，函数在为增函数，无极值点.
当时，，

（Ⅱ）对于， 学 .
由（Ⅰ）知当时函数在上为增函数，由，所以成立.
若，设的两个不相等的正实数根，，
且，，∴.则若，成立，则要求，
即解得.此时在为增函数，，成立
若当时
令，显然不恒成立.
综上所述，的取值范围是.
点睛：函数的导数或换元后的导数为二次函数题型，求函数的单调性或极值点个数的解题步骤为：（1）确定定义域；（2）二次项系数；（3）；（4），再讨论，两个根的大小关系。
12．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试】已知函数，.
(I)若恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅱ)当取(I)中的最小值时，求证: .

不合题意.
③若，结合与的图象可知显然不合题意.
综上可知， 的取值范围是
(Ⅱ)证明当取(I)中的最小值为1时，
.
设，
则.
令，
则，
所以在上单调递减，此时 ，
即.
所以在上单调递减.
所以
则.
所以，当取(Ⅰ)中的最小值时， .
点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，根据题意构造合适的函数，分析所构造函数的单调性、最值进而求出其取值范围或证明不等式，高考中常考压轴题，属于难题。
13．【辽宁省凌源二中2018届高考三模】已知函数.
(1)若,曲线在点处的切线在两坐标轴上的截距之和为2,求的值
(2)若对于任意的及任意的总有成立.求的取值范围.

又因为切点坐标为，所以切线方程为.
令，得；令，得.
由，化简得.
解得或，又，所以.
（2）不防设，由（1）知，
所以等价于.

点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
14．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】已知函数.
(1)若,曲线在点处的切线在两坐标轴上的截距之和为,求的值；
(2)若对于任意的及任意的,总有成立,求的取值范围.
【解析】分析：(1)利用导数的几何意义求得切线方程为，由截距之和为可得，从而可得结果；（2）等价于，.设,则,所以在上为单调递增函数，利用导数研究函数的单调性，只需, 对于恒成立，从而可得结果.
详解：(1)因为,
所以,.
又因为切点坐标为,所以切线方程为.

点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
15．【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】已知函数.
(1)若函数在内有极值，求实数的取值范围；
(2)在(1)的条件下，对任意，，求证: .

又，
只需，即，②
联立①②可得: .
(2)证明:由(I)知，当 ，，单调递减，
时， ，单调递增，
在上有最小值，
即，都有.
又当，，单调递增，当，
单调递减，
在上有最大值即对，都有.
又，，，.


设 ， ]
，
在上单调递增， .
.
：（1）本题主要考查利用导数求极值最值和利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是求出 ，其二是设 ，证明.