2019届二轮复习（理）导数研究函数的性质学案（全国通用）

【母题 一】【2018高考新课标1理数16】

【母题原题】已知函数，则的最小值是             ．

【答案】

点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.

【母题 二】【2016高考新课标1理数7】

【母题原题】函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【命题意图】

1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).

2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．   

【命题规律】

1、求函数的极值

（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。

（2）求函数的极值的一般步骤

先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。

一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。

（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。

（6）求函数的极值一定要列表。]

2、用导数求函数的最值

（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：

①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；

②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。

【方法总结】

1.求函数f(x)极值的步骤

①确定函数的定义域；

②求导数f′(x)；

③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．

2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

3.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

4.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．

②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

5.利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略

研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．

1．【河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研考试】已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 (　　)．

A． [2－，2＋]    B． (2－，2＋)

C． [1,3]    D． (1,3)     

【答案】B

【解析】

试题分析：由题可知f（x）＝ex－1>－1，g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1，若有f（a）＝g（b），则g（b）∈（－1,1]．即－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋．

考点：函数性质    

2．【辽宁省部分重点高中2019届高三9月联考】已知偶函数满足，且，则的解集为（   ）

A．     B．

C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

【点睛】

利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

3．【贵州省遵义航天高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试】设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

点睛：本题将导数的几何意义与函数的切线的斜率有解地整合在一起，旨在考查导数的几何意义、全称命题与特称命题的真假判定等有关知识的综合运用。求解时先对函数进行求导，再运用导数的几何意义分别求出两条切线的斜率，再借助题设条件得到方程，充分借助“任意”、“存在”等量词的含义建立不等式，从而使得问题简捷、巧妙获解。

4．【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】设函数，则使得成立的的取值范围是（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

为上的偶函数，利用导数可判断出在上为增函数，从而得到，两边平方后解一元二次不等式可得的取值范围.

【详解】

，所以，为上的偶函数，

又，当时，，故在上为增函数.

因，由 得到，

故，或，选D.

【点睛】

已知函数值的大小，考虑自变量的大小关系时，应该考虑函数的单调性，该性质可以通过导数或基本初等函数的单调性得到，注意利用函数的奇偶性讨论一侧的单调性即可.   

5．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试】已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是(　　)

A． ，    B． ，

C． ，    D． ，

【答案】A

【解析】

【分析】

【点睛】

本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.

6．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

所以

故选A．

【点睛】

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

7．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

【点睛】

本题考查利用导数求公切线的斜率，属难题.   

8．【山东省日照市2018届高三5月校际联考】已知（e为自然对数的底数），，直线l是的公切线，则直线l的方程为

A．     B．

C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设直线与的切点为，与的切点为，根据公切线可得的方程组，解出可得公切线方程.

【详解】

设直线与的切点为，与的切点为，则，消去得到，

故或者，

所以切线方程为：或，故选C.

【点睛】

解决曲线的切线问题，核心是设出切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.

9．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八）】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（   ）

A．     B．

C．     D．

【答案】B

【解析】

【分析】

即实数的取值范围为.

本题选择B选项.

【点睛】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

10．【广东省广州市仲元中学2018届高三七校联合体考前冲刺交流考】已知都是定义域为的连续函数．已知：满足：①当时，恒成立；②都有．满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

∵x∈[﹣，]时，f（x）=x3﹣3x，   

求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣，0），（0，0），（，0），

且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，

【点睛】

本题主要考查不等式的解法，利用条件求出函数的奇偶性和单调性，以及周期性是解决本题的关键，考查导数的综合应用，综合性较强，难度较大．

11．【江苏省高邮市2018届高三上学期期初考试】已知函数，，对一切，恒成立，则实数的取值范围为        .

【答案】

【解析】

【分析】

通过分离参数，得到关于x的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围。

【详解】

因为，代入解析式可得

分离参数a可得

【点睛】

本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题。

12．【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟考试】已知函数，

① 当时，有最大值；

② 对于任意的，函数是上的增函数；

③ 对于任意的，函数一定存在最小值；

④ 对于任意的，都有．

其中正确结论的序号是         ．（写出所有正确结论的序号）

【答案】② ③

【解析】

【分析】

由题意利用导函数研究函数的性质即可.

【详解】

由函数的解析式可得：，

当时，，，

单调递增，且，

据此可知当时， 单调递增，函数没有最大值，说法①错误；

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13．【山东省日照市2018届高三5月校际联考】若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题：

①内单调递增；

②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；

③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是；

④之间存在唯一的“隔离直线”．

其中真命题的序号为          ．(请填写正确命题的序号)

【答案】①②④

【解析】

【分析】

由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.

【详解】

结合题意逐一考查所给命题的真假：

下面证明：

令，则，

当时,G′(x)=0,当时,G′(x)<0,当时,G′(x)>0，

则当时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.

所以,则当x>0时恒成立.

∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线，故④正确.

故答案为：①②④.   

【点睛】

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

14．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】已知函数有两个极值，则实数的取值范围为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

将原问题转化为函数有两个交点的问题，考查临界条件，利用导函数研究函数的切线方程即可求得最终结果.

【详解】

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数 的最小值是，则       ．

【答案】5   |  |X|X|K]

【解析】

【分析】

由条件可得直线与相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得的方程，再由函数 的单调性，可得的最小值，化简变形即可得到 的关系式，可得所求值．   

【详解】 学  ]

可得或，
由，可得，
即
故答案为：5．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，以及导数的概念和应用，考查函数的最值的求法，以及运算能力，属于中档题．