2019届二轮复习回扣一函数与导数学案（全国通用）

回扣一函数与导数

环节一　记牢概念公式，避免临场卡壳

1．函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：

若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．

2．函数零点的存在性

如果函数y＝f(x)在区间[a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．

3．导数运算

(1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n∈Q ，(cos x)′＝－sin x.

(2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.

环节二　巧用解题结论，考场快速抢分

抽象函数的周期性与对称性的结论

(1)函数的周期性

①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．

②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．

③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．

(2)函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．

③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．

环节三　明辨易错易混，警惕命题陷阱

1．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

2．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

3．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax＞0；对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件．

4．准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出．

5．考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．

环节四　适当保温训练，树立必胜信念

1．已知则(　　)

A．a＞b＞c　　　　 B．b＞c＞a

C．c＞b＞a D．b＞a＞c

解析：∵则0＜b＜1，c＝log2＜0，∴a＞b＞c.

答案：A

2．函数f(x)＝ln(x2＋2)的图象大致是(　　)

解析：由f(－x)＝f(x)可得函数f(x)为偶函数，又ln(x2＋2)≥ln 2，故选D.

答案：D

3．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　)

A．3　　　 B．2

C．1 D．0

解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 017)＝－f(2 017)，

因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6.

又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3，

故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝－2＋3＝1.故选C.

答案：C

4．函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为(　　)

A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0

C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0

解析：f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.

答案：C

5．已知函数f(x)定义在R上，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，f(－1)＝2，则f(2 013)＝(　　)

A．－2＋2 B．2＋2

C．2－2 D．2

解析：依题意得f(－1)＝2，f(x＋4)＋f(x)＝2，f(x＋8)＋f(x＋4)＝2，因此f(x＋8)＝f(x)．又2 013＝8×251＋5，故f(2 013)＝f(5)＝2－f(－1)＝2－2.

答案：A

6．已知函数f(x)＝cos x，g(x)＝2－ x－2 ，x∈[－2,6 ，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的所有零点之和为(　　)

A．6 B．8

C．10 D．12

解析：函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点之和可转化为f(x)＝g(x)的根之和，即转化为y1＝f(x)和y2＝g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g(x)＝2－ x－2 与f(x)的图象均关于x＝2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.

答案：D

7．若函数f(x)＝ln(x2＋ax＋1)是偶函数，则实数a的值为________．

解析：由题意知，f(x)＝ln(x2＋ax＋1)为偶函数，即ln(x2－ax＋1)＝ln(x2＋ax＋1)，即x2－ax＋1＝x2＋ax＋1，显然a＝0.

答案：0

8．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4 上单调递减，则实数a的值为________．

解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，

∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4 上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.

答案：－4

9．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．

解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，

由f′(1)＝0，得b＝1－a.

∴f′(x)＝－ax＋a－1＝＝－.

①若a≥0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

所以x＝1是f(x)的极大值点．

②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.

因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－＞1，解得－1＜a＜0.

综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)．

答案：(－1，＋∞)

10．已知函数f(x)＝其中[x 表示不超过x的最大整数．若直线y＝ (x＋1)( ＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数 的取值范围是________．

解析：根据[x 表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当 ≤x＜ ＋1时，f(x)＝x－ ， ∈ ，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝ (x＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故 ∈.

答案：

11．设函数f(x)＝－ ( 为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)当 ≤0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求 的取值范围．

解析：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝－

＝－

＝.

由 ≤0可得ex－ x＞0，

所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减，

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．

所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．

(2)由(1)知， ≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，

故f(x)在(0,2)内不存在极值点；

当 ＞0时，设函数g(x)＝ex－ x，x∈[0，＋∞)．

因为g′(x)＝ex－ ＝ex－eln  ，

当0＜ ≤1时，

当x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－ ＞0，y＝g(x)单调递增．

故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；

当 ＞1时，

得x∈(0，ln  )时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减；

x∈(ln  ，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增．

所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln  )＝ (1－ln  )．

函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当

解得e＜ ＜.

综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时， 的取值范围为.