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2019届二轮复习集合与简单逻辑学案(全国通用)
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集合知识一般以一个选择题的形式出现,其中以集合知识为载体,集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点,难度为中、低档;对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现,以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体,考查充要条件或命题的真假判断等,难度一般不大.
1.集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法:列举法,描述法,图示法.
(2)集合的运算:
①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
③补集:∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
(3)集合的关系:子集,真子集,集合相等.
(4)需要特别注意的运算性质和结论.
①A∪∅=A,A∩∅=∅;
②A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U.
A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A
2.四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论,¬p和¬q分别表示条件和结论的否定,那么若原命题:若p则q;则逆命题:若q则p;否命题:若¬p则¬q;逆否命题:若¬q则¬p.
(2)四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真;原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假.
3.充要条件
(1)若p⇒q,则p是q成立的充分条件,q是p成立的必要条件.
(2)若p⇒q且q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(3)若p⇔q,则p是q的充分必要条件.
4.简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作“p∧q”;
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作“p∨q”;
对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作“¬p”.
5.全称量词与存在量词
(1)全称命题p:∀x∈M,p(x).
它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0).
(2)特称命题(存在性命题)p:∃x0∈M,p(x0).
它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).
高频考点一 集合的概念及运算
例1、(2018年全国I卷) 已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征,可以求得,故选A.
【变式探究】【2017课标1,文1】已知集合A=,B=,则
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
【解析】由得,所以,选A.
【变式探究】设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A. B.
C. D.
解析:通解:(直接法)解x2-4x+3<0,即(x-1)(x-3)<0,得1<x<3,故A={x|1<x<3};
解2x-3>0,得x>,所以B={x|x>}.
如图,用数轴表示两个集合A,B.
由图可得A∩B={x|<x<3},选D.
优解:(排除法)观察选项可知A,B两项对应集合中含有负数,C,D两项对应集合中的元素均为正数.
当x=-1时,2x-3=2×(-1)-3=-5<0,故-1∉B,所以-1∉A∩B,故排除A,B两项;
当x=2时,2x-3=2×2-3=1>0,x2-4x+3=22-4×2+3=-1<0,所以2∈A,2∈B,所以2∈A∩B,故可排除C项.
综上,选D.
答案:D
【变式探究】 (1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{-1,0} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
(2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
解析:基本法:用列举法把集合B中的元素一一列举出来.
当x=0,y=0时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;
当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;
当x=1,y=1时,x-y=0;当x=1,y=2时,x-y=-1;
当x=2,y=0时,x-y=2;当x=2,y=1时,x-y=1;学 -
当x=2,y=2时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.故选C.
速解法一:排除法:估算x-y值的可能性,排除不可能的结果.
∵x∈A,y∈A,∴x-y=±1,x-y=±2.
B中至少有四个元素,排除A、B,而D选项是9个元素.
即3×3更不可能.故选C.
速解法二:当x=y时,x-y=0;
当x≠y时,x与y可以相差1,也可以相差2,即x-y=±1,x-y=±2.
故B中共有5个元素,B={0,±1,±2}.故选C.
答案:C
高频考点二 充分、必要条件
例2、(2018年浙江卷)已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以根据线面平行的判定定理得,由不能得出与内任一直线平行,所以是的充分不必要条件,故选A.
【变式探究】【2017天津,文2】设,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,则,,则, ,据此可知:“”是“”的的必要的必要不充分条件,本题选择B选项.
【变式探究】设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:通解:(画出可行域,数形结合求解)
如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.
优解:q:满足条件的三个边界点分别是A(0,1),B(2,1),C(1,0)都适合p;而p中的点O(0,0),不适合q,
故p是q的必要不充分条件,选A.
答案:A
【变式探究】(1) 函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解析:基本法:利用命题和逆命题的真假来判断充要条件,注意判断为假命题时,可以采用反例法.
当f′(x0)=0时,x=x0不一定是f(x)的极值点,
比如,y=x3在x=0时,f′(0)=0,但在x=0的左右两侧f′(x)的符号相同,因而x=0不是y=x3的极值点.
由极值的定义知,x=x0是f(x)的极值点必有f′(x0)=0.
综上知,p是q的必要条件,但不是充分条件.
答案:C
(2)“x∈”是“函数y=sin为单调递增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:基本法:若函数y=sin为单调递增函数,则-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈ ,
即-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈ .
从而函数y=sin的单调递增区间是(k∈ ).
因此若x∈,则函数y=sin为单调递增函数;
若函数y=sin为单调递增函数⇒/ x∈.
所以“x∈”是“函数y=sin为单调递增函数”的充分不必要条件.故选A.
速解法:当x∈时⇒x+∈⇒y=sin为增函数,
但y=sin为增函数⇒/ x+∈⇒/ x∈.
答案:A
【变式探究】已知x∈R,则“x2-3x>0”是“x-4>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:基本法:判断x2-3x>0⇒x-4>0还是x-4>0⇒x2-3x>0.
注意到x2-3x>0⇔x<0或x>3,x-4>0⇔x>4.由x2-3x>0不能得出x-4>0;反过来,由x-4>0可得出x2-3x>0,因此“x2-3x>0”是“x-4>0”的必要不充分条件.故选B.
答案:B
速解法:利用反例和实数的运算符号寻找推导关系.如x=4时,满足x2-3x>0,但不满足x-4>0,即不充分.
若x-4>0,则x(x-3)>0,即必要.故选B.
答案:B
高频考点三 命题判定及否定
例3、【2017山东,文5】已知命题p:;命题q:若,则a
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
【变式探究】(1)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则綈p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
解析:基本法:因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,綈p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.
答案:C
(2)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析:基本法:当x=0时,有2x=3x,不满足2x<3x,∴p:∀x∈R,2x<3x是假命题.
如图,函数y=x3与y=1-x2有交点,即方程x3=1-x2有解,
∴q:∃x∈R,x3=1-x2是真命题.
∴p∧q为假命题,排除A.
∵綈p为真命题,∴(綈p)∧q是真命题.选B.
速解法:当x=0时,不满足2x<3x,∴p为假,排除A、C.利用图象可知,q为真,排除D,必选B.
答案:B
【变式探究】已知命题p:∃x∈R,2x>3x;命题q:∀x∈,tan x>sin x,则下列是真命题的是( )
A.(綈p)∧q B.(綈p)∨(綈q)
C.p∧(綈q) D.p∨(綈q)
解析:基本法:先判断命题p、q的真假,然后根据选项得出正确结论.
当x=-1时,2-1>3-1,所以p为真命题;当x∈时,tan x-sin x=>0,所以q为真命题,所以p∨(綈q)是真命题,其他选项都不正确,故选D.
速解法:p为真时,p或任何命题为真,故选D.
答案:D
1. (2018年浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则
A. B. {1,3} C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】因为全集,,所以根据补集的定义得,故选C.
2. (2018年北京卷)已知集合A={(? ?|<2)},B={−2,0,1,2},则
A. {0,1} B. {−1,0,1}
C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
【答案】A
【解析】, ,,故选A。
3. (2018年天津卷)设集合,,,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由并集的定义可得:,结合交集的定义可知:.
本题选择C选项。
4.(2018年全国I卷) 已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征,可以求得,故选A.
5. (2018年全国卷Ⅱ)已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,故选C。
6. (2018年全国III卷)已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得,所以,故答案选C.
7. (2018年江苏卷)已知集合,,那么 .
【答案】{1,8}
【解析】由题设和交集的定义可知:.
8.(2018年浙江卷)已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以根据线面平行的判定定理得,由不能得出与内任一直线平行,所以是的充分不必要条件,故选A.
9. (2018年北京卷)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时,不成等比数列,所以不是充分条件;当成等比数列时,则,所以是必要条件,综上所述,“”是“成等比数列”的必要不充分条件,故选B.
10. (2018年天津卷)设,则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解不等式可得,求解绝对值不等式可得或,据此可知:“”是“” 的充分而不必要条件,本题选择A选项。
11.(2018年北京卷)能说明“若a﹥b,则”为假命题的一组a,b的值依次为 .
【答案】(答案不唯一)
【解析】使“若,则”为假命题,则使“若,则”为真命题即可,只需取即可满足。所以满足条件的一组的值为(答案不唯一)
1.【2017课表1,文1】已知集合A=,B=,则
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
【解析】由得,所以,选A.
2.【2017课标II,文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,故选A.
3.【2017课标3,文1】已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由题意可得: ,中元素的个数为2,所以选B.
4.【2017天津,文1】设集合,则
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由题意可得:.本题选择B选项
5.【2017北京,文1】已知,集合,则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】因为或,所以,故选C.
6.【2017浙江,1】已知,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用数轴,取所有元素,得.
【考点】集合运算
7.【2017天津,文2】设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】B
8.【2017山东,文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,故,故选C.
9.【2017山东,文5】已知命题p:;命题q:若,则a
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
1.【2016高考新课标1文数】设集合,,则( )
(A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}
【答案】B
【解析】集合A与集合B公共元素有3,5,,故选B.
2. 【2016高考新课标2文数】已知集合,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由得,所以,因为,所以,故选D.
3.[2016高考新课标Ⅲ文数]设集合,则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由补集的概念,得,故选C.
4.【2016高考天津文数】已知集合,,则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】,选A.
5.【2016高考四川文 】设p:实数x,y满足且,q: 实数x,y满足,则p是q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且,可得,而当时,不能得出且.故是的充分不必要条件,选A.
6.【2016高考四川文 】设集合, 为整数集,则集合A∩ 中元素的个数是( )
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
【答案】B
【解析】由题意,,故其中的元素个数为5,选B.
7.【2016高考浙江文数】已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则=( )
A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】根据补集的运算得.故选C.
8.【2016高考天津文数】已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满
,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由题意得,故选C
9.【2016高考天津文数】设,,则“”是“”的( )
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件 | |X|X|K]
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,所以充分性不成立;,必要性成立,故选C
10.【2016高考上海文 】设,则“”是“”的( )
(A) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】,所以“”是“”的充分非必要条件,选A.
11.【2016高考北京文数】已知集合,或,则( )
A. B.或 C. D.或
【答案】C
【解析】由题意得,,故选C.
12.【2016高考山东文数】设集合,则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由已知,,所以,选A.
1.【2015高考新课标1,文1】已知集合,则集合中的元素个数为( )
(A) 5 (B)4 (C)3 (D)2
【答案】D
【解析】由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14,故A∩B={8,14},故选D.
2.【2015高考重庆,文1】已知集合,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由已知及交集的定义得,故选C.
3.【2015高考浙江,文1】已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,,所以,故选A.
4.【2015高考天津,文1】已知全集,集合,集合,则集合( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,,则,故选B.
5.【2015高考四川,文1】设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=( )
(A){x|-1<x<3} (B){x|-1<x<1} (C){x|1<x<2} (D){x|2<x<3}
【答案】A
【解析】由已知,集合A=(-1,2),B=(1,3),故A∪B=(-1,3),选A
6.【2015高考山东,文1】 已知集合,则 ( )
(A) (B) (C)( (D))
【答案】
【解析】因为所以,故选.
7.【2015高考陕西,文1】设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由,,
所以,故答案选.
8.【2015高考安徽,文2】设全集,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】∵ ,∴,∴选B.
9.【2015高考广东,文1】若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,故选C.
10.【2015高考安徽,文3】设p:x<3,q:-1
(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵,∴,但,∴是成立的必要不充分条件,故选C.
11.【2015高考浙江,文3】设,是实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
12.【2015高考重庆,文2】“”是“”的( )
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“ ”显然能推出“”,故条件是充分的,又由“”可得,所以条件也是必要的,故选A.
13.【2015高考天津,文4】设,则“”是“”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.学
14.【2015高考四川,文4】设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a>b>1时,有log2a>log2b>0成立,反之当log2a>log2b>0成立时,a>b>1也正确.选A
15.【2015高考湖南,文3】设R,则“>1”是“>1”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题易知“>1”可以推得“>1”, “>1”不一定得到“>1”,所以“>1”是“>1”的充分不必要条件,故选A.
1. 【2014高考北京卷文第1题】若集合A=,B=,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以选C.
2. 【2014高考大纲卷文第1题】设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则MN中元素的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】MN={1,2, 6,}.故选B.
3.【2014高考福建卷文第1题】若集合则等于 ( )
【答案】
【解析】由已知,选.
4. 【2014高考广东卷文第1题】已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,故选B.
5. 【2014高考湖北卷文第1题】 已知全集,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意,,故选C.
6. 【2014高考湖南卷文第2题】已知集合,则( )
【答案】C
【解析】由交集的定义可得,故选C.
7. 【2014高考江苏卷第1题】已知集合,,则 .
【答案】
【解析】由题意得.
8. 【2014高考江西卷文第2题】设全集为,集合
,则( )
【答案】C
【解析】因为
所以
9 【2014高考辽宁卷文第1题】 已知全集,则集合( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得,或,故.
10. 【2014高考全国1卷文第1题】已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据集合的运算法则可得:,选B.
11. 【2014高考全国2卷文第1题】设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得,,故,选B.
12. 【2014高考山东卷文第2题】设集合则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【解析】由已知所以,选.
13. 【2014高考陕西卷文第1题】已知集合,则( )
【答案】D
【解析】由
所以。
14. 【2014高考四川卷文第1题】已知集合,集合为整数集,则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由已知所以,选.
15. 【2014高考浙江卷文第1题】设集合 ,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意,故选D.
16. 【2014高考重庆卷文第11题】已知集合,则 .
【答案】
【解析】
所以答案应填.
1.设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( )
A.[0,1] B.(0,1]
C.[0,1) D.(-∞,1]
答案:A
解析:M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}=
{x|0
2.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.4
答案:D
解析:因为A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16},
所以则a=4.
3.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为a>2,则a2>2a成立,反之不成立,所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件.
4.已知集合A={ ∈C| =1-2ai,a∈R},B={ ∈C |=2},则A∩B等于( )
A.{1+i,1-i} B.{-i}
C.{1+2i,1-2i} D.{1-i}
答案:A
解析:A∩B中的元素同时具有A,B的特征,问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解得a=±.故选A.
5.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知A={x|y=},B={y|y=2x,x>0},则A×B=( )
A.[0,1]∪(2,+∞) B.[0,1)∪[2,+∞)
C.[0,1] D.[0,2]
答案:A
解析:由题意得A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]∪(2,+∞).
6.给出下列命题:
①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>1;
③“若a>b>0且c<0,则>”的逆否命题;
④若p且q为假命题,则p,q均为假命题.
其中真命题是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
答案:A
7.设集合P=,集合T={x|mx+1=0},若T⊆P,则实数m的取值组成的集合是( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:由2 x2+2x=-x-6,得2x2+2x=2x+6,
∴x2+2x=x+6,即x2+x-6=0,
∴集合P={2,-3}.
若m=0,则T=∅⊆P.
若m≠0,则T=,
由T⊆P,得-=2或-=-3,
∴m=-或m=.故选C.
8.若“0
A.(-∞,0]∪[1,+∞) B.(-1,0)
C.[-1,0] D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
答案:C
解析:(x-a)[x-(a+2)]≤0⇒a≤x≤a+2,
由集合的包含关系知,⇒a∈[-1,0].
9.下列说法错误的是( )
A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”
B.若命题p:∃x0∈R,x+x0+1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x+1≥0
C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≥2”的充要条件
D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必有一真一假
答案:D
解析:易知A,B正确;由xy≥2⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y知,C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确.
10.有如下四个命题:
p1:∃x0∈(0,+∞),<;
p2:∃x0∈,x=;
p3:∀x∈R,2x>x2;学+
p4:∀x∈(1,+∞),x-1>logx.
其中真命题是( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
答案:D
解析:根据指数函数的性质,
∀x∈(0,+∞),x>x,
故命题p1是假命题;
令f(x)=x-x,
则f=->0,
f=-<0,
所以ff<0,
所以命题p2是真命题;
当x=2时,2x=22=4,x2=22=4,
故2x>x2不成立,命题p3是假命题;
当x>1时,x-1>1,logx<0,
故x-1>logx恒成立,
命题p4是真命题,故选D.
11.下列命题正确的个数是( )
①命题“∃x0∈R,x+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;
②“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”.
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:B
解析:易知①正确;因为f(x)=cos 2ax,所以=π,即a=±1,因此②正确;因为x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x+2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x+2)min,x∈[1,2],因此③不正确;因为钝角不包含180°,而由a·b<0得向量夹角包含180°,因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”,故④不正确.
12.已知命题p:已知实数a,b,则ab>0是a>0且b>0的必要不充分条件,命题q:在曲线y=cos x上存在斜率为的切线,则下列判断正确的是( )
A.p是假命题 B.q是真命题
C.p∧(綈q)是真命题 D.(綈p)∧q是真命题
答案:C
解析:显然命题p为真命题,命题q:y=cos x的导函数为y′=-sin x,-1≤y′≤1,故曲线y=cos x上不存在斜率为的切线,q为假命题,綈q为真命题,所以p∧(綈q)为真命题,故选C.
13.已知集合A={ -1|<2},B={x|log2x<2},则A∩B= .
答案:{x|0
解析:将两集合化简,得A={x|-1
故结合数轴得A∩B={x|-1
14.已知p:∃x0∈R,mx+2≤0,q:∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是 .
答案:[1,+∞)
解析:因为p∨q是假命题,
所以p和q都是假命题.
由p:∃x0∈R,mx+2≤0为假命题知,
綈p:∀x∈R,mx2+2>0为真命题,
所以m≥0.①
由q:∀x∈R,x2-2mx+1>0为假命题知,
綈q:∃x0∈R,x-2mx0+1≤0为真命题,
所以Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
15.设全集U=A∪B={x∈N |lg x<1},若A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B= .
答案:{2,4,6,8}
解析:U=A∪B={x∈N |lg x<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},所以B={2,4,6,8}.
16.下列命题中,是假命题的是 .
①存在α,β∈R,有tan(α+β)=tan α+tan β;
②对任意x>0,有lg2x+lg x+1>0;
③△ABC,A>B的充要条件是sin A>sin B;
④对任意φ∈R,函数y=sin(2x+φ)都不是偶函数.
答案:④
集合知识一般以一个选择题的形式出现,其中以集合知识为载体,集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点,难度为中、低档;对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现,以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体,考查充要条件或命题的真假判断等,难度一般不大.
1.集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法:列举法,描述法,图示法.
(2)集合的运算:
①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
③补集:∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
(3)集合的关系:子集,真子集,集合相等.
(4)需要特别注意的运算性质和结论.
①A∪∅=A,A∩∅=∅;
②A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U.
A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A
2.四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论,¬p和¬q分别表示条件和结论的否定,那么若原命题:若p则q;则逆命题:若q则p;否命题:若¬p则¬q;逆否命题:若¬q则¬p.
(2)四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真;原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假.
3.充要条件
(1)若p⇒q,则p是q成立的充分条件,q是p成立的必要条件.
(2)若p⇒q且q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(3)若p⇔q,则p是q的充分必要条件.
4.简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作“p∧q”;
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作“p∨q”;
对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作“¬p”.
5.全称量词与存在量词
(1)全称命题p:∀x∈M,p(x).
它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0).
(2)特称命题(存在性命题)p:∃x0∈M,p(x0).
它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).
高频考点一 集合的概念及运算
例1、(2018年全国I卷) 已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征,可以求得,故选A.
【变式探究】【2017课标1,文1】已知集合A=,B=,则
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
【解析】由得,所以,选A.
【变式探究】设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A. B.
C. D.
解析:通解:(直接法)解x2-4x+3<0,即(x-1)(x-3)<0,得1<x<3,故A={x|1<x<3};
解2x-3>0,得x>,所以B={x|x>}.
如图,用数轴表示两个集合A,B.
由图可得A∩B={x|<x<3},选D.
优解:(排除法)观察选项可知A,B两项对应集合中含有负数,C,D两项对应集合中的元素均为正数.
当x=-1时,2x-3=2×(-1)-3=-5<0,故-1∉B,所以-1∉A∩B,故排除A,B两项;
当x=2时,2x-3=2×2-3=1>0,x2-4x+3=22-4×2+3=-1<0,所以2∈A,2∈B,所以2∈A∩B,故可排除C项.
综上,选D.
答案:D
【变式探究】 (1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{-1,0} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
(2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
解析:基本法:用列举法把集合B中的元素一一列举出来.
当x=0,y=0时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;
当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;
当x=1,y=1时,x-y=0;当x=1,y=2时,x-y=-1;
当x=2,y=0时,x-y=2;当x=2,y=1时,x-y=1;学 -
当x=2,y=2时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.故选C.
速解法一:排除法:估算x-y值的可能性,排除不可能的结果.
∵x∈A,y∈A,∴x-y=±1,x-y=±2.
B中至少有四个元素,排除A、B,而D选项是9个元素.
即3×3更不可能.故选C.
速解法二:当x=y时,x-y=0;
当x≠y时,x与y可以相差1,也可以相差2,即x-y=±1,x-y=±2.
故B中共有5个元素,B={0,±1,±2}.故选C.
答案:C
高频考点二 充分、必要条件
例2、(2018年浙江卷)已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以根据线面平行的判定定理得,由不能得出与内任一直线平行,所以是的充分不必要条件,故选A.
【变式探究】【2017天津,文2】设,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,则,,则, ,据此可知:“”是“”的的必要的必要不充分条件,本题选择B选项.
【变式探究】设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:通解:(画出可行域,数形结合求解)
如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.
优解:q:满足条件的三个边界点分别是A(0,1),B(2,1),C(1,0)都适合p;而p中的点O(0,0),不适合q,
故p是q的必要不充分条件,选A.
答案:A
【变式探究】(1) 函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解析:基本法:利用命题和逆命题的真假来判断充要条件,注意判断为假命题时,可以采用反例法.
当f′(x0)=0时,x=x0不一定是f(x)的极值点,
比如,y=x3在x=0时,f′(0)=0,但在x=0的左右两侧f′(x)的符号相同,因而x=0不是y=x3的极值点.
由极值的定义知,x=x0是f(x)的极值点必有f′(x0)=0.
综上知,p是q的必要条件,但不是充分条件.
答案:C
(2)“x∈”是“函数y=sin为单调递增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:基本法:若函数y=sin为单调递增函数,则-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈ ,
即-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈ .
从而函数y=sin的单调递增区间是(k∈ ).
因此若x∈,则函数y=sin为单调递增函数;
若函数y=sin为单调递增函数⇒/ x∈.
所以“x∈”是“函数y=sin为单调递增函数”的充分不必要条件.故选A.
速解法:当x∈时⇒x+∈⇒y=sin为增函数,
但y=sin为增函数⇒/ x+∈⇒/ x∈.
答案:A
【变式探究】已知x∈R,则“x2-3x>0”是“x-4>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:基本法:判断x2-3x>0⇒x-4>0还是x-4>0⇒x2-3x>0.
注意到x2-3x>0⇔x<0或x>3,x-4>0⇔x>4.由x2-3x>0不能得出x-4>0;反过来,由x-4>0可得出x2-3x>0,因此“x2-3x>0”是“x-4>0”的必要不充分条件.故选B.
答案:B
速解法:利用反例和实数的运算符号寻找推导关系.如x=4时,满足x2-3x>0,但不满足x-4>0,即不充分.
若x-4>0,则x(x-3)>0,即必要.故选B.
答案:B
高频考点三 命题判定及否定
例3、【2017山东,文5】已知命题p:;命题q:若,则a
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
【变式探究】(1)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则綈p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
解析:基本法:因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,綈p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.
答案:C
(2)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析:基本法:当x=0时,有2x=3x,不满足2x<3x,∴p:∀x∈R,2x<3x是假命题.
如图,函数y=x3与y=1-x2有交点,即方程x3=1-x2有解,
∴q:∃x∈R,x3=1-x2是真命题.
∴p∧q为假命题,排除A.
∵綈p为真命题,∴(綈p)∧q是真命题.选B.
速解法:当x=0时,不满足2x<3x,∴p为假,排除A、C.利用图象可知,q为真,排除D,必选B.
答案:B
【变式探究】已知命题p:∃x∈R,2x>3x;命题q:∀x∈,tan x>sin x,则下列是真命题的是( )
A.(綈p)∧q B.(綈p)∨(綈q)
C.p∧(綈q) D.p∨(綈q)
解析:基本法:先判断命题p、q的真假,然后根据选项得出正确结论.
当x=-1时,2-1>3-1,所以p为真命题;当x∈时,tan x-sin x=>0,所以q为真命题,所以p∨(綈q)是真命题,其他选项都不正确,故选D.
速解法:p为真时,p或任何命题为真,故选D.
答案:D
1. (2018年浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则
A. B. {1,3} C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】因为全集,,所以根据补集的定义得,故选C.
2. (2018年北京卷)已知集合A={(? ?|<2)},B={−2,0,1,2},则
A. {0,1} B. {−1,0,1}
C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
【答案】A
【解析】, ,,故选A。
3. (2018年天津卷)设集合,,,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由并集的定义可得:,结合交集的定义可知:.
本题选择C选项。
4.(2018年全国I卷) 已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征,可以求得,故选A.
5. (2018年全国卷Ⅱ)已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,故选C。
6. (2018年全国III卷)已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得,所以,故答案选C.
7. (2018年江苏卷)已知集合,,那么 .
【答案】{1,8}
【解析】由题设和交集的定义可知:.
8.(2018年浙江卷)已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以根据线面平行的判定定理得,由不能得出与内任一直线平行,所以是的充分不必要条件,故选A.
9. (2018年北京卷)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时,不成等比数列,所以不是充分条件;当成等比数列时,则,所以是必要条件,综上所述,“”是“成等比数列”的必要不充分条件,故选B.
10. (2018年天津卷)设,则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解不等式可得,求解绝对值不等式可得或,据此可知:“”是“” 的充分而不必要条件,本题选择A选项。
11.(2018年北京卷)能说明“若a﹥b,则”为假命题的一组a,b的值依次为 .
【答案】(答案不唯一)
【解析】使“若,则”为假命题,则使“若,则”为真命题即可,只需取即可满足。所以满足条件的一组的值为(答案不唯一)
1.【2017课表1,文1】已知集合A=,B=,则
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
【解析】由得,所以,选A.
2.【2017课标II,文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,故选A.
3.【2017课标3,文1】已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由题意可得: ,中元素的个数为2,所以选B.
4.【2017天津,文1】设集合,则
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由题意可得:.本题选择B选项
5.【2017北京,文1】已知,集合,则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】因为或,所以,故选C.
6.【2017浙江,1】已知,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用数轴,取所有元素,得.
【考点】集合运算
7.【2017天津,文2】设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】B
8.【2017山东,文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,故,故选C.
9.【2017山东,文5】已知命题p:;命题q:若,则a
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
1.【2016高考新课标1文数】设集合,,则( )
(A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}
【答案】B
【解析】集合A与集合B公共元素有3,5,,故选B.
2. 【2016高考新课标2文数】已知集合,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由得,所以,因为,所以,故选D.
3.[2016高考新课标Ⅲ文数]设集合,则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由补集的概念,得,故选C.
4.【2016高考天津文数】已知集合,,则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】,选A.
5.【2016高考四川文 】设p:实数x,y满足且,q: 实数x,y满足,则p是q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且,可得,而当时,不能得出且.故是的充分不必要条件,选A.
6.【2016高考四川文 】设集合, 为整数集,则集合A∩ 中元素的个数是( )
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
【答案】B
【解析】由题意,,故其中的元素个数为5,选B.
7.【2016高考浙江文数】已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则=( )
A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】根据补集的运算得.故选C.
8.【2016高考天津文数】已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满
,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由题意得,故选C
9.【2016高考天津文数】设,,则“”是“”的( )
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件 | |X|X|K]
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,所以充分性不成立;,必要性成立,故选C
10.【2016高考上海文 】设,则“”是“”的( )
(A) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】,所以“”是“”的充分非必要条件,选A.
11.【2016高考北京文数】已知集合,或,则( )
A. B.或 C. D.或
【答案】C
【解析】由题意得,,故选C.
12.【2016高考山东文数】设集合,则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由已知,,所以,选A.
1.【2015高考新课标1,文1】已知集合,则集合中的元素个数为( )
(A) 5 (B)4 (C)3 (D)2
【答案】D
【解析】由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14,故A∩B={8,14},故选D.
2.【2015高考重庆,文1】已知集合,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由已知及交集的定义得,故选C.
3.【2015高考浙江,文1】已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,,所以,故选A.
4.【2015高考天津,文1】已知全集,集合,集合,则集合( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,,则,故选B.
5.【2015高考四川,文1】设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=( )
(A){x|-1<x<3} (B){x|-1<x<1} (C){x|1<x<2} (D){x|2<x<3}
【答案】A
【解析】由已知,集合A=(-1,2),B=(1,3),故A∪B=(-1,3),选A
6.【2015高考山东,文1】 已知集合,则 ( )
(A) (B) (C)( (D))
【答案】
【解析】因为所以,故选.
7.【2015高考陕西,文1】设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由,,
所以,故答案选.
8.【2015高考安徽,文2】设全集,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】∵ ,∴,∴选B.
9.【2015高考广东,文1】若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,故选C.
10.【2015高考安徽,文3】设p:x<3,q:-1
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵,∴,但,∴是成立的必要不充分条件,故选C.
11.【2015高考浙江,文3】设,是实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
12.【2015高考重庆,文2】“”是“”的( )
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“ ”显然能推出“”,故条件是充分的,又由“”可得,所以条件也是必要的,故选A.
13.【2015高考天津,文4】设,则“”是“”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.学
14.【2015高考四川,文4】设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a>b>1时,有log2a>log2b>0成立,反之当log2a>log2b>0成立时,a>b>1也正确.选A
15.【2015高考湖南,文3】设R,则“>1”是“>1”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题易知“>1”可以推得“>1”, “>1”不一定得到“>1”,所以“>1”是“>1”的充分不必要条件,故选A.
1. 【2014高考北京卷文第1题】若集合A=,B=,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以选C.
2. 【2014高考大纲卷文第1题】设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则MN中元素的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】MN={1,2, 6,}.故选B.
3.【2014高考福建卷文第1题】若集合则等于 ( )
【答案】
【解析】由已知,选.
4. 【2014高考广东卷文第1题】已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,故选B.
5. 【2014高考湖北卷文第1题】 已知全集,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意,,故选C.
6. 【2014高考湖南卷文第2题】已知集合,则( )
【答案】C
【解析】由交集的定义可得,故选C.
7. 【2014高考江苏卷第1题】已知集合,,则 .
【答案】
【解析】由题意得.
8. 【2014高考江西卷文第2题】设全集为,集合
,则( )
【答案】C
【解析】因为
所以
9 【2014高考辽宁卷文第1题】 已知全集,则集合( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得,或,故.
10. 【2014高考全国1卷文第1题】已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据集合的运算法则可得:,选B.
11. 【2014高考全国2卷文第1题】设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得,,故,选B.
12. 【2014高考山东卷文第2题】设集合则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【解析】由已知所以,选.
13. 【2014高考陕西卷文第1题】已知集合,则( )
【答案】D
【解析】由
所以。
14. 【2014高考四川卷文第1题】已知集合,集合为整数集,则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由已知所以,选.
15. 【2014高考浙江卷文第1题】设集合 ,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意,故选D.
16. 【2014高考重庆卷文第11题】已知集合,则 .
【答案】
【解析】
所以答案应填.
1.设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( )
A.[0,1] B.(0,1]
C.[0,1) D.(-∞,1]
答案:A
解析:M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}=
{x|0
A.0 B.1
C.2 D.4
答案:D
解析:因为A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16},
所以则a=4.
3.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为a>2,则a2>2a成立,反之不成立,所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件.
4.已知集合A={ ∈C| =1-2ai,a∈R},B={ ∈C |=2},则A∩B等于( )
A.{1+i,1-i} B.{-i}
C.{1+2i,1-2i} D.{1-i}
答案:A
解析:A∩B中的元素同时具有A,B的特征,问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解得a=±.故选A.
5.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知A={x|y=},B={y|y=2x,x>0},则A×B=( )
A.[0,1]∪(2,+∞) B.[0,1)∪[2,+∞)
C.[0,1] D.[0,2]
答案:A
解析:由题意得A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]∪(2,+∞).
6.给出下列命题:
①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>1;
③“若a>b>0且c<0,则>”的逆否命题;
④若p且q为假命题,则p,q均为假命题.
其中真命题是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
答案:A
7.设集合P=,集合T={x|mx+1=0},若T⊆P,则实数m的取值组成的集合是( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:由2 x2+2x=-x-6,得2x2+2x=2x+6,
∴x2+2x=x+6,即x2+x-6=0,
∴集合P={2,-3}.
若m=0,则T=∅⊆P.
若m≠0,则T=,
由T⊆P,得-=2或-=-3,
∴m=-或m=.故选C.
8.若“0
C.[-1,0] D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
答案:C
解析:(x-a)[x-(a+2)]≤0⇒a≤x≤a+2,
由集合的包含关系知,⇒a∈[-1,0].
9.下列说法错误的是( )
A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”
B.若命题p:∃x0∈R,x+x0+1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x+1≥0
C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≥2”的充要条件
D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必有一真一假
答案:D
解析:易知A,B正确;由xy≥2⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y知,C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确.
10.有如下四个命题:
p1:∃x0∈(0,+∞),<;
p2:∃x0∈,x=;
p3:∀x∈R,2x>x2;学+
p4:∀x∈(1,+∞),x-1>logx.
其中真命题是( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
答案:D
解析:根据指数函数的性质,
∀x∈(0,+∞),x>x,
故命题p1是假命题;
令f(x)=x-x,
则f=->0,
f=-<0,
所以ff<0,
所以命题p2是真命题;
当x=2时,2x=22=4,x2=22=4,
故2x>x2不成立,命题p3是假命题;
当x>1时,x-1>1,logx<0,
故x-1>logx恒成立,
命题p4是真命题,故选D.
11.下列命题正确的个数是( )
①命题“∃x0∈R,x+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;
②“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”.
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:B
解析:易知①正确;因为f(x)=cos 2ax,所以=π,即a=±1,因此②正确;因为x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x+2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x+2)min,x∈[1,2],因此③不正确;因为钝角不包含180°,而由a·b<0得向量夹角包含180°,因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”,故④不正确.
12.已知命题p:已知实数a,b,则ab>0是a>0且b>0的必要不充分条件,命题q:在曲线y=cos x上存在斜率为的切线,则下列判断正确的是( )
A.p是假命题 B.q是真命题
C.p∧(綈q)是真命题 D.(綈p)∧q是真命题
答案:C
解析:显然命题p为真命题,命题q:y=cos x的导函数为y′=-sin x,-1≤y′≤1,故曲线y=cos x上不存在斜率为的切线,q为假命题,綈q为真命题,所以p∧(綈q)为真命题,故选C.
13.已知集合A={ -1|<2},B={x|log2x<2},则A∩B= .
答案:{x|0
答案:[1,+∞)
解析:因为p∨q是假命题,
所以p和q都是假命题.
由p:∃x0∈R,mx+2≤0为假命题知,
綈p:∀x∈R,mx2+2>0为真命题,
所以m≥0.①
由q:∀x∈R,x2-2mx+1>0为假命题知,
綈q:∃x0∈R,x-2mx0+1≤0为真命题,
所以Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
15.设全集U=A∪B={x∈N |lg x<1},若A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B= .
答案:{2,4,6,8}
解析:U=A∪B={x∈N |lg x<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},所以B={2,4,6,8}.
16.下列命题中,是假命题的是 .
①存在α,β∈R,有tan(α+β)=tan α+tan β;
②对任意x>0,有lg2x+lg x+1>0;
③△ABC,A>B的充要条件是sin A>sin B;
④对任意φ∈R,函数y=sin(2x+φ)都不是偶函数.
答案:④
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