2019届二轮复习集合与简单逻辑学案（全国通用）


集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.

1．集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．
(2)集合的运算：
①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
③补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．
(4)需要特别注意的运算性质和结论．
①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；
②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A
2．四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.
(2)四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．
3．充要条件
(1)若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．
(2)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
4．简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．
5．全称量词与存在量词
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．
它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．
(2)特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)．
它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).

高频考点一　集合的概念及运算
例1、（2018年全国I卷） 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.
【变式探究】【2017课标1，文1】已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
【变式探究】设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
解析：通解：(直接法)解x2－4x＋3＜0，即(x－1)(x－3)＜0，得1＜x＜3，故A＝{x|1＜x＜3}；
解2x－3＞0，得x＞，所以B＝{x|x＞}．
如图，用数轴表示两个集合A，B.

由图可得A∩B＝{x|＜x＜3}，选D.
优解：(排除法)观察选项可知A，B两项对应集合中含有负数，C，D两项对应集合中的元素均为正数．
当x＝－1时，2x－3＝2×(－1)－3＝－5＜0，故－1∉B，所以－1∉A∩B，故排除A，B两项；
当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1＞0，x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1＜0，所以2∈A,2∈B，所以2∈A∩B，故可排除C项．
综上，选D.
答案：D
【变式探究】 (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)0”是“x－4>0”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：基本法：判断x2－3x>0⇒x－4>0还是x－4>0⇒x2－3x>0.
注意到x2－3x>0⇔x3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x＝4时，满足x2－3x>0，但不满足x－4>0，即不充分．
若x－4>0，则x(x－3)>0，即必要．故选B.
答案：B
高频考点三　命题判定及否定
例3、【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a2a”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为a>2，则a2>2a成立，反之不成立，所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件．
4．已知集合A＝{ ∈C| ＝1－2ai，a∈R}，B＝{ ∈C |＝2}，则A∩B等于(　　)
A．{1＋i,1－i} B．{－i}
C．{1＋2i,1－2i} D．{1－i}
答案：A
解析：A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±.故选A.
5．设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝(　　)
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)
C．[0,1] D．[0,2]
答案：A
解析：由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．
6．给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案：A

7．设集合P＝，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T⊆P，则实数m的取值组成的集合是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由2 x2＋2x＝－x－6，得2x2＋2x＝2x＋6，
∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0，
∴集合P＝{2，－3}．
若m＝0，则T＝∅⊆P.
若m≠0，则T＝，
由T⊆P，得－＝2或－＝－3，
∴m＝－或m＝.故选C.
8．若“00，
f＝－1时，x－1>1，logxlogx恒成立，
命题p4是真命题，故选D.
11．下列命题正确的个数是(　　)
①命题“∃x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b0的必要不充分条件，命题q：在曲线y＝cos x上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是(　　)
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
答案：C
解析：显然命题p为真命题，命题q：y＝cos x的导函数为y′＝－sin x，－1≤y′≤1，故曲线y＝cos x上不存在斜率为的切线，q为假命题，綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
13．已知集合A＝{ －1|