2019届二轮复习　集合、复数与常用逻辑用语学案（全国通用）

第1讲　集合、复数与常用逻辑用语

(对应学生用书第1页)

1.(2018·全国Ⅱ卷,理2)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　A　)

(A)9 (B)8 (C)5 (D)4

解析:将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.

2.(2018·全国Ⅲ卷,理1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B等于(　C　)

(A){0} (B){1}

(C){1,2} (D){0,1,2}

解析:因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1},所以A∩B={1,2}.故选C.

3.(2018·全国Ⅰ卷,理2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA等于(　B　)

(A){x|-1<x<2}

(B){x|-1≤x≤2}

(C){x|x<-1}∪{x|x>2}

(D){x|x≤-1}∪{x|x≥2}

解析:因为A={x|x2-x-2>0},

所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B.

4.(2018·全国Ⅰ卷,理1)设z=+2i,则|z|等于(　C　)

(A)0 (B) (C)1 (D)

解析:因为z=+2i=+2i=+2i=i,

所以|z|=1.故选C.

5.(2018·全国Ⅱ卷,理1)等于(　D　)

(A)--i (B)-+i

(C)--i (D)-+i

解析:====-+i.故选D.

6.(2015·全国Ⅰ卷,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则?p为(　C　)

(A)∀n∈N,n2>2n (B)∃n∈N,n2≤2n

(C)∀n∈N,n2≤2n (D)∃n∈N,n2=2n

解析:根据特称命题的否定为全称命题,知?p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.

1.考查角度

(1)集合:考查集合的含义与基本运算,通常与不等式的解集、函数的定义域等问题进行综合.

(2)复数:考查复数的概念、四则运算和几何意义,以考查四则运算为核心.

(3)常用逻辑用语:考查命题、充分必要条件、逻辑联结词、量词等基本问题.

2.题型及难易度

选择题、填空题,难度较小.

(对应学生用书第1~3页)

集合

【例1】 (1)(2018·广西三校联考)如果集合M={x|y=},集合N={x|y=log3x},则M∩N等于(　　)

(A){x|0<x<4} (B){x|x≥4}

(C){x|0<x≤4} (D){x|0≤x≤4}

(2)(2018·吉林百校联盟联考)已知集合A={x|3x2-4x+1≤0},B={x|y=},则A∩B等于(　　)

(A) ,1 (B) ,1

(C) , (D) ,

(3)(2018·兴庆区校级二模)设集合M={x|x2-x>0},N=x<1,则(　　)

(A)M∩N=⌀ (B)M∪N=⌀

(C)M=N (D)M∪N=R

解析:(1)因为5x-20≥0,所以x≥4,则M={x|x≥4},

而N={x|x>0},所以M∩N={x|x≥4}.故选B.

(2)因为A={x|3x2-4x+1≤0}=x≤x≤1,

B={x|y=}={x|4x-3≥0}=xx≥,

所以A∩B=x≤x≤1∩xx≥=x≤x≤1.故选B.

(3)M={x|x2-x>0}={x|x>1或x<0},

N=x<1={x|x>1或x<0},

则M=N,故选C.

(2)注意A∩B,A∪B,(∁UA)∩B,A∩(∁UB),∁U(A∪B)等的Venn图表示.

热点训练1:(1)(2018·湖南湘潭联考)设全集U=R,集合A={x|log2x≤2},B={x|(x-2)(x+1)≥0},则A∩(∁UB)等于(　　)

(A)(0,2) (B)[2,4]

(C)(-∞,-1) (D)(-∞,4]

(2)(2018·广州综合模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=2x+1},则A∩B中元素的个数为(　　)

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0

解析:(1)集合A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},

B={x|(x-2)(x+1)≥0}={x|x≤-1或x≥2},

∁UB={x|-1<x<2}.

所以A∩(∁UB)={x|0<x<2}=(0,2).

故选A.

(2)因为A∩B= (x,y)

=

= (0,1), -,-,

所以A∩B中含2个元素.故选B.

复数

【例2】 (1)(2018·山东潍坊三模)若复数z满足z(2-i)=(2+i)(3-4i),则|z|等于(　　)

(A) (B)3 (C)5 (D)25

(2)(2018·四川成都一模)对于两个复数α=1-i,β=1+i,有下列四个结论:①αβ=1;② =-i;③=1;④α2+β2=0,其中正确结论的个数为(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(3)(2018·安徽江南十校二模)已知复数z满足z2=12+16i,则z的模为(　　)

(A)20 (B)12 (C)2 (D)2

解析:(1)由题意z(2-i)=(2+i)(3-4i)=10-5i,

则z===5,所以|z|=5,故选C.

(2)对于两个复数α=1-i,β=1+i,

αβ=(1-i)·(1+i)=2,故①不正确;

====-i,故②正确;

=|-i|=1,故③正确;

α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i-1+1+2i-1=0,故④正确.故选C.

(3)设z=a+bi,a,b∈R,

则由z2=12+16i,得a2-b2+2abi=12+16i,

则解得或

即|z|===2.故选C.

(2)含有单个复数z的方程类似实数中解一元一次方程,直接求解即可,如果方程中含有z,,|z|,z2等,就要设复数z=a+bi(a,b∈R),然后利用两复数相等的充要条件得出关于实数a,b的方程组,求出a,b后再得出复数z.

热点训练2:(1)(2018·安徽合肥一中最后一卷)已知a∈R,i是虚数单位,复数z的共轭复数为,若z=a+i,z·=4,则a等于(　　)

(A) (B)-

(C)或- (D)1或-1

(2)(2018·江西南昌二模)若实数x,y满足+y=2+i(i为虚数单位),则x+yi在复平面内对应的点位于(　　)

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

(3)(2018·河北石家庄二模)若复数z满足2z+=3-i,其中i为虚数单位,则|z|等于(　　)

(A)2 (B) (C) (D)3

解析:(1)由z=a+i,得=a-i,

又z·=4,可得a2+3=4,所以a=±1,故选D.

(2)因为+y=2+i(i为虚数单位),

所以x+y+yi=(1+i)(2+i)=1+3i,

所以

解得y=3,x=-2.

则x+yi在复平面内对应的点(-2,3)位于第二象限.

故选B.

(3)设复数z=x+yi(x,y∈R),

则2z+=2x+2yi+x-yi=3x+yi=3-i,

则x=1,y=-1,所以z=1-i,所以|z|=,故选C.

常用逻辑用语

考向1　命题与充要条件

【例3】 (1)(2018·衡阳二模)下列说法错误的是(　　)

(A)“若x≠2,则x2-5x+6≠0”的逆否命题是“若x2-5x+6=0,则x=2”

(B)“x>3”是“x2-5x+6>0”的充分不必要条件

(C)“∀x∈R,x2-5x+6≠0”的否定是“∃x0∈R,-5x0+6=0”

(D)命题:“在锐角△ABC中,sin A<cos B”为真命题

(2)(2018·豫南九校质考二)命题p:x,y∈R,x2+y2<2,命题q:x,y∈R,|x|+|y|<2,则p是q的(　　)

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:(1)“锐角△ABC中,sin A<cos B”是假命题,如A=B=时,sin >cos ,所以D错误.故选D.

(2)

如图,不等式x2+y2<2,表示图中圆面O(不包括边界),

不等式|x|+|y|<2表示正方形ABCD内部.

可知p⇒q,q⇒/ p.

故选A.

(2)要善于从集合的观点理解充分条件和必要条件,如果满足p的对象的集合是满足q的对象的集合的真子集,则p是q的充分不必要条件、q是p的必要不充分条件,如果满足p,q的对象的集合相等,则p,q互为充要条件,如果满足p,q的对象的集合互不包含,则p既不是q的充分条件也不是必要条件.

考向2　逻辑联结词与量词

【例4】 (1)(2018·湖南益阳联考)已知命题p:若复数z满足 (z-i)(-i)=5,则z=6i;命题q:复数的虚部为-i,则下面为真命题的是(　　)

(A)(?p)∧(?q) (B)(?p)∧q

(C)p∧(?q) (D)p∧q

(2)(2018·湖南益阳4月调研)已知命题p:“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题?p为(　　)

(A)∀a≥0,a4+a2<0 (B)∀a≥0,a4+a2≤0

(C)∃a0<0,+<0 (D)∃a0≥0,+<0

解析:(1)因为(z-i)(-i)=5,

所以z=+i=6i,

所以命题p为真,

因为复数的虚部是实数,

所以命题q为假.故选C.

(2)由已知,命题p为全称命题,其否定需由特称命题来完成,并将其结论否定,即?p:∃a0≥0,+<0.故选D.

(2)对含有量词的命题进行否定时注意:只改全称量词为存在量词、存在量词为全称量词,并否定结论,特别注意不要否定量词后面的内容,如本例(2)中不要否定∀a≥0中的a≥0.

热点训练3:(1)(2018·陕西省西工大附中六模)下列说法正确的是(　　)

(A)“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”

(B)在△ABC中,“A>B”是“sin2A>sin2B”的必要不充分条件

(C)“若tan α≠,则α≠”是真命题

(D)∃x0∈(-∞,0),使得<成立

(2)(2018·广东珠海一中联考)下列选项中,说法正确的是(　　)

(A)若a>b>0,则ln a<ln b

(B)向量a=(1,m),b=(m,2m-1)(m∈R)垂直的充要条件是m=1

(C)命题“∀n∈N*,3n>(n+2)·2n-1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n+2)·2n-1”

(D)已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题

(3)(2018·河北省石家庄二中模拟)已知函数f(x)=+ex,则x1+x2>0是f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2)的(　　)

(A)充分不必要条件 

(B)必要不充分条件

(C)充要条件 

(D)既不充分也不必要条件

解析:(1)A中的否命题应该是:“若a≤1,则a2≤1”,故A不正确;

选项B,在△ABC中,A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B,应该是充要条件,故B不正确;

C中,“若tan α≠,则α≠”的逆否命题“若α=,则tan α=”为真命题,故其原命题也为真,故C正确;

D中,由指数函数y=x的性质可知,x0∈(-∞,0),

得>1,即>,故D不正确.故选C.

(2)函数f(x)=ln x是增函数,

a>b>0,所以ln a>ln b,选项A错误;

a⊥b⇔a·b=0⇔(1,m)·(m,2m-1)=0⇔m+m(2m-1)=0⇔m=0,选项B错误;

C项中命题的否定是∃n∈N*,3n≤(n+2)·2n-1,选项C错误;

D中命题的逆命题是已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,若f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则 f(a)f(b)<0,由反例“f(x)=x2,x∈(-1,1)”可知逆命题是错误的,是一个假命题.故选D.

(3)令h(x)=,易知h(x)是奇函数,

当x>0时,h(x)==1-是增函数,

而h(0)=0,故h(x)在R内单调递增,

所以f(x)=+ex是增函数,

易知f(-x)是减函数,

令g(x)=f(x)-f(-x),知g(x)是增函数,

则x1+x2>0⇔x1>-x2⇔g(x1)>g(-x2)⇔f(x1)-f(-x1)>f(-x2)-f(x2)⇔f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2).故选C.

【例1】 (1)(2018·福建龙岩4月质检)已知集合A={x|x2-ax≤0,a>0},B={0,1,2,3},若A∩B有3个真子集,则a的取值范围是(　　)

(A)(1,2] (B)[1,2)

(C)(0,2] (D)(0,1)∪(1,2]

(2)(2018·呼和浩特一模)已知集合A={x|x2-6x≤0},B={x∈Z|2x<33},则集合A∩B的元素个数为(　　)

(A)6 (B)5 (C)4 (D)3

(3)(2018·浙江教育联盟5月适应考)已知集合A={1,2},B={x|x2-(a+1)x+a=0,a∈R},若A=B,则a等于(　　)

(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2

解析:(1)A={x|x2-ax≤0,a>0}={x|0≤x≤a},B={0,1,2,3},

由A∩B有3个真子集,可得A∩B有2个元素,

所以1≤a<2,

即a的取值范围是[1,2),故选B.

(2)集合A={x|0≤x≤6},

B={x∈Z|2x<33}={x∈Z|x≤5},

则集合A∩B={0,1,2,3,4,5},

其元素个数为6.故选A.

(3)因为A={1,2},

B={x|x2-(a+1)x+a=0,a∈R},

由A=B,可得1,2是方程x2-(a+1)x+a=0的两根,

由韦达定理可得即a=2,故选B.

【例2】 (1)(2018·广东高三下模拟二)若复数z1=1+i,z2=1-i,则下列结论错误的是(　　)

(A)z1·z2是实数 (B)是纯虚数

(C)||=2|z2|2 (D)+=4i

(2)(2018·山东潍坊二模)设有下面四个命题

p1:若复数z满足z=,则z∈R;

p2:若复数z1,z2满足|z1|=|z2|,则z1=z2或z1=-z2;

p3:若复数z1=,则z1·z2∈R;

p4:若复数z1,z2,满足z1+z2∈R,则z1∈R,z2∈R.

其中的真命题为(　　)

(A)p1,p3 (B)p2,p4

(C)p2,p3 (D)p1,p4

解析:(1)z1·z2=(1+i)(1-i)=1-i2=2,是实数,故A正确,

===i,是纯虚数,故B正确;

||=|(1+i)4|=|[(1+i)2]2|=|(2i)2|=4,

2||=2|(1-i)2|=2|-2i|=4,故C正确;

+=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0,所以D项不正确.故选D.

(2)z=,可知复数的虚部为0,所以有z∈R,从而得p1是真命题;由复数的模的意义,可知p2是假命题;由z1=,可知z1,z2互为共轭复数,所以p3是真命题;复数z1,z2满足z1+z2∈R,只能说明两个复数的虚部互为相反数,所以p4是假命题,故选A.