2019届二轮复习集合、简易逻辑、函数与导数4学案（全国通用）

第四讲    导数的简单应用

一、考点考频考法分析：

二、高考回放：

1、（17全国I，14T）曲线在点（1，2）处的切线方程为                         .

2、（15新课标I，14T）已知函数的图象在点的处的切线过点，则         .

3、（12新课标，13T）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为        .

4、（16全国I，12T）若函数在单调递增，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）                       （   ）

以下5-11为近七年导数大题，仅供大家分析对比，后面的例习题中还会出现。

5、（17全国I，21T）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．

（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围．

6、（16全国I，21T）已知函数.

(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求的取值范围.

7、（15新课标I，21T）设函数.

（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.

8、（14新课标I，21T）设函数，曲线在点

处的切线斜率为0（I）求b;（II）若存在使得，求的取值范围。

9、（13新课标I，20T）已知函数，曲线在点处切线方程为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．

10、（12新课标，21T）设函数f(x)= ex－ax－2。(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值．

11、（11新课标，21T）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且时，．

三、模型分解：模型1：导数的几何意义

例1、(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为        ．

【变式1】（16全国III，16T）已知f(x)为偶函数，当 时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式                             .

模型2：导数小题压轴题

例2、定义在R上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为                   （    ）

A.  B.   C.   D.

【变式2】（河南濮阳18届上二模）设是定义在上的可导函数为，且有，则不等式的解集为         （   ）

A．     B．    C．（-2018，－2017）     D．

总结：常见构造函数：(1)xf′(x)＋f(x)联想[xf(x)]′；(2)xf′(x)－f(x)联想′；

(3)f′(x)＋f(x)联想′；(4)f′(x)－f(x)联想′；(5)f′(x)±k联想(f(x)±kx)′.

模型3：利用导数研究函数的单调性（高频考点）

例3、（17全国III，21T）已知函数

（1）讨论的单调性；（2）当时，证明．

【变式3】（17全国II，21T）设函数.

（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.

模型4：利用导数求函数的极值与最值（高频考点）

例4、（13新课标I，20T）已知函数，曲线在点处切线方程为。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值。

【变式4】 （17北京II，20T） 已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

四、当堂检测：

1、（14新课标II，3T）函数在处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是的极值点，则 A、是的充分必要条件     B、是的充分条件，但不是的必要条件  (　　)

C、是的必要条件，但不是的充分条件D、既不是的充分条件，也不是的必要条件

2、（14新课标II，11T）若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（A） （B）（C） （D）                       (　　)

3、（13新课标II，11T）已知函数，下列结论中错误的是     (　　)

（A），  （B）函数的图象是中心对称图形

（C）若是的极小值点，则在区间单调递减

（D）若是的极值点，则

4、设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝                    (　　)

A．0　　　　　B．1         C．2          D．3

5、（15福建，文12）“对任意，”是“”的           (　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件  C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6、定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)＜，则不等式f(x2)＞的解集为A．(1,2)　　　　 B．(0,1)         C．(－1,1)       D．(1，＋∞)             (　　)

7、设函数在R上的导函数为，且和对任意实数都成立，则有A、，且  B、，且  (　　)

C、，且     D、，且

8、（16年济南）已知R上的奇函数满足，则不等式的解集是                                      (　　)

A、       B、（0,1）     C、        D、

9、（13新课标II，12T）若存在正数使成立，则的取值范围是    (　　)

（A）     （B）    （C）     （D）

10、（14年山东20T）设函数 ，其中为常数.

若，则曲线在点处的切线方程为                      ．

11、已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝        ．

12、已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为        ．

13、（17全国I，21T）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．

（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围．

14、（16全国II，20T）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；(II)若当时，，求的取值范围.

15、设f(x)＝ex(ln x－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71 828…)

(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值．

(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求a的取值范围．

16、（15新课标II，21T）已知函数f（x）=ln x +a（1- x）

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.

17、（12新课标，21T）设函数f(x)= ex－ax－2。(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值．

第四讲  答案 

高考回放：1、.   2、1；   3、.   4、C；

例1、1；【变式1】   

例2、B；【变式2】C

例3、解：（1）f(x)的定义域为，.

若，则当时，，故在单调递增.

若，则当时，；

当时，.

故在单调递增，在单调递减。

（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为

所以等价于，即.

设，则.

当时，；

当，.

所以在（0,1）单调递增，在单调递减.

故当时，取得最大值，最大值为.

所以当时，，

从而当时，，即.

【变式3】（21）（12分）解：（1）.

令得.

当时，；

当时，；

当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

（2）.

当时，设函数，

因此在单调递减，而，故，

所以.

当时，设函数，

所以在单调递增，而，故.

当时，，，

取，则，故

当时，取，则

综上，的取值范围是.

例4、【解析】（Ⅰ）=.

由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，

==，

令=0得，=或=-2，

当=-2时，函数取得极大值，极大值为.

【变式4】【解析】

当堂检测：

1、C；2、D；3、C；4、D；5、B；6、C；7、D；8、B；9、D；

10、；11、【答案】8；12、【答案】．

13、解：（1）函数的定义域为．

①若，则，在单调递增．

②若，则由得．

当时，；

当时，；

故在单调递减，在单调递增．

③若，则由得．

当时，；

当时，；

故在单调递减，在单调递增．

（2）①若，则，所以．

最小值为，

从而当且仅当，即时，．

③若，则由（1）得，当时，取得最小值，

最小值为，

从而当且仅当，即时，．

综上，的取值范围是．

14、解析：（I）的定义域为.

当时，，

所以曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

令，

则，

（i）当，时， ，

故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得，

由和得，

故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

15、

g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，

因为e－1＞1＋，所以g(x)max＝g＝e－1.

故a≥e－1.

16、解：（Ⅰ）f（x）的定义域为

若则所以单调递增.

若，则当时，当时，

所以在单调递增，在单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；

当时，在取得最大值，最大值为.

因此 等价于.

令，则在单调递增，.

于是，当时；当时，.

因此，的取值范围是.

17、解: (Ⅰ) 的定义域为,;

若,则恒成立,所以在总是增函数.

若,令,求得,

所以的单增区间是;

令, 求得 ,所以的单减区间是.

(Ⅱ) 把   代入得:,

因为,所以,

所以:,, ,

所以:

令,则,

由(Ⅰ)知:在 单调递增,

而 ,所以在上存在唯一零点,且;

故在上也存在唯一零点且为,

当时, ,

当时,,

所以在上,;

由得:,所以,所以,

由于( )式等价于,所以整数的最大值为2.