溯源回扣八　复数、程序框图、推理与证明

1.复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R)).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.

[回扣问题1]　设i是虚数单位，复数z＝为纯虚数，则实数a＝________.

解析　z＝＝＝＋，

由于z为纯虚数，且a∈R，

∴≠0且＝0，则a＝－2.

答案　－2

2.复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点为Z(a，b)，不是Z(a，bi)；当且仅当O为坐标原点时，向量与点Z对应的复数相同.

[回扣问题2]　(2018·北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

解析　＝＝＋i，其共轭复数为－i，对应的点为，故选D.

答案　D

3.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.

[回扣问题3]　图①有面积关系：＝，则图②有体积关系：________.

答案　＝

4.反证法证明命题进行假设时，应将结论进行否定，特别注意“至少”“至多”的否定要全面.

[回扣问题4]　用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是________________.

解析　结论的否定：方程x3＋ax＋b＝0一个实根都没有，所以假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.

答案　方程x3＋ax＋b＝0没有实根

5.控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解答这类题目时，易混淆两变量的变化次序，且容易错误判定循环体结束的条件.

[回扣问题5]　(2017·全国Ⅲ卷)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(　　)

A.5   B.4   C.3   D.2

解析　若N＝2，第一次进入循环，t＝1≤2成立，S＝100，M＝－＝－10，t＝1＋1＝2≤2成立，第二次进入循环，此时S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝2＋1＝3≤2不成立，所以输出S＝90<91成立，所以输入的正整数N的最小值是2.

答案　D

6.用数学归纳法证明时，易盲目认为n0的起始取值n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设.

[回扣问题6]　设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*).

(1)求a1，a2；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明.

解　(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.

当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

∴－a2－a2＝0，解得a2＝.

(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.

由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

猜想Sn＝(n∈N*).

下面用数学归纳法证明这个结论.

①当n＝1时，结论成立.

②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝，

当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝.

∴当n＝k＋1时结论成立.

由①②知Sn＝对任意的正整数n都成立.