溯源回扣六　平面解析几何

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.

[回扣问题1]　直线xcos θ＋y－2＝0的倾斜角的范围是________.

解析　tan α＝k＝－，知－≤k≤，

∴0≤α≤或≤α<π.

答案　∪

2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况.

[回扣问题2]　已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.

解析　当截距为0，则直线方程为y＝5x，当截距不是0时，设直线方程为x＋y＝a，将P(1，5)坐标代入方程，得a＝6.∴所求方程为5x－y＝0或x＋y－6＝0.

答案　5x－y＝0或x＋y－6＝0

3.求两条平行线之间的距离时，易忽视两直线x，y的系数相等的条件，而直接代入公式d＝，导致错误.

[回扣问题3]　直线3x＋4y＋5＝0与6x＋8y－7＝0的距离为________.

解析　将3x＋4y＋5＝0化为6x＋8y＋10＝0，∴两平行线间的距离d＝＝.

答案　

4.与圆有关的参数问题，易忽视参数的影响.

[回扣问题4]　已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________.

解析　由方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，方程化为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4).

但a＝2时，x2＋y2＋x＋2y＋＝0不表示圆.

答案　(－2，－4)

5.求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情形.

[回扣问题5]　已知点P(1，2)与圆C：x2＋y2＝1，则过点P作圆C的切线l，则切线l的方程为________________.

解析　当直线l的斜率不存在时，切线l的方程为x＝1.

若直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y＋2－k＝0.

依题意，得＝1，解得k＝.

此时切线l的方程为y＝x＋.

答案　x＝1或y＝x＋

6.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的关系判定，在两圆相切的关系中，误认为相切为两圆外切，忽视相内切的情形.

[回扣问题6]　双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆的位置关系为________.

解析　设线段PF1的中点为P0，双曲线的右焦点为F2，则|OP0|＝|PF2|，

由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a，

∴|OP0|＝|PF1|－a＝R－r，因此两圆内切.

答案　内切

7.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.

[回扣问题7]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1    B.－＝1

C.－＝1    D.－＝1

解析　∵e＝＝，F2(5，0)，

∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，

∴双曲线C的标准方程为－＝1.

答案　C

8.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解.

[回扣问题8]　已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率等于，则m＝________.

解析　当焦点在x轴上，则a＝2，c＝，

∴＝，则m＝1.

当焦点在y轴上，则a＝，c＝，

∴＝，则m＝16.

答案　1或16

9.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.

[问题回扣9]　已知平面内两点A(0，1)，B(0，－1)，动点M到A，B两点的距离之差为1，则动点M的轨迹方程是________________.

解析　依题意|MA|－|MB|＝1<|AB|，

所以点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.

由a＝，c＝1，则b2＝，

所以点M的轨迹方程是4y2－＝1(y<0).

答案　4y2－＝1(y<0)

10.在抛物线中，点到焦点距离与到准线距离的转化是解决抛物线问题的突破口，注意定义的活用.

[问题回扣10]　(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.

解析　如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.

由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.

∵点M为FN的中点，PM∥OF，

∴|MP|＝|FO|＝1.

又|BP|＝|AO|＝2，

∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.

由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.

答案　6

11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.

[回扣问题11]　(2018·西安调研)已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O为坐标原点.

(1)求椭圆W的方程；

(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为Sk，证明：S1＝S2.

(1)解　由题意，得W的半焦距c＝1，右焦点F(1，0)，上顶点M(0，b).

∴直线MF的斜率kMF＝＝－1，解得b＝1.

由a2＝b2＋c2，得a2＝2.

∴椭圆W的方程为＋y2＝1.

(2)证明　设直线l的方程为y＝kx＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由方程组

得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.①

由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.

∴|AB|＝

＝，

∵原点O到直线y＝kx＋m的距离d＝，

∴S△AOB＝|AB|d＝，

当k＝1时，S△AOB＝，

∴当m2＝时，S△AOB有最大值S1＝，验证满足①式，

当k＝2时，S△AOB＝，

∴当m2＝时，S△AOB的最大值S2＝，验证①式成立.因此S1＝S2.