2019届二轮复习回扣七算法、复数、概率与统计学案（全国通用）

回扣七算法、复数、概率与统计

环节一　记牢概念公式，避免临场卡壳

1．概率的计算公式

(1)古典概型的概率计算公式

P(A)＝；

(2)互斥事件的概率计算公式

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；

(3)对立事件的概率计算公式

P()＝1－P(A)；

(4)几何概型的概率计算公式

P(A)＝.

2．统计中的四个数据特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即

＝(x1＋x2＋…＋xn)．

(4)方差与标准差

方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2 ．

标准差：

s＝.

3．复数的四则运算法则

(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i

(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i

(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．

4．排列、组合数公式

(1)排列数公式

A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝.

(2)组合数公式

C＝＝＝.

5．二项式定理

(1)二项式定理

(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋…＋Can－ b ＋…＋Cbn(n∈N＋)．

(2)通项与二项式系数

T ＋1＝Can－ b ，其中C( ＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．

6．八组公式

(1)离散型随机变量的分布列的两个性质

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

(2)数学期望公式

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

(3)数学期望的性质

①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；

②若X B(n，p)，则E(X)＝np；

③若X服从两点分布，则E(X)＝p.

(4)方差公式

D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差.

(5)方差的性质

①D(aX＋b)＝a2D(X)；

②若X B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；

③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(6)独立事件同时发生的概率计算公式

P(AB)＝P(A)P(B)．

(7)独立重复试验的概率计算公式

Pn( )＝Cp (1－p)n－ .

(8)条件概率公式

P(B A)＝.

7．正态分布

如果随机变量X服从正态分布，则记为X N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.

环节二　巧用解题结论，考场快速抢分

1．直方图的三个结论

(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．

(2)各小长方形的面积之和等于1.

(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.

2．线性回归方程

线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．

3．独立性检验

利用随机变量 2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果 2的观测值 越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．

4．复数的几个常见结论

(1)(1±i)2＝±2i；

(2)＝i，＝－i；

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈ )；

(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.

5．关于复数模的运算性质

(1)  1· 2 ＝  1 ·  2 ；

(2)   n＝  n ；

(3)  ＝.

6．二项式定理

(1)各二项式系数之和

①C＋C＋C＋…＋C＝2n.

②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.

(2)二项式系数的性质

①C＝C，C＋C＝C.

②二项式系数最值问题

当n为偶数时，中间一项即第＋1项的二项式系数Cn最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数Cn，Cn相等且最大．

(3)求两个二项积展开式中x 项(或系数)，要用系数配对．

环节三　明辨易错易混，警惕命题陷阱

1．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．

2．复数 为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0( ＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．

3．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．

环节四　适当保温训练，树立必胜信念

1．若复数 满足(2－i) ＝ 1＋2i ，则 的虚部为(　　)

A. B.i

C．1 D．i

解析：由题意可知 ＝＝＝＝＋i，故其虚部为，选A.

答案：A

2．若复数 满足 (2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则 的共轭复数＝(　　)

A．3＋5i B．3－5i

C．－3＋5i D．－3－5i

解析：由题意知 ＝＝＝＝3＋5i，故＝3－5i.选B.

答案：B

3．若甲、乙等5名同学分别被保送到北京大学、清华大学、复旦大学三所大学就读，若要求每所大学至少有一名保送生，则不同的保送方法种数为(　　)

A．240 B．180

C．150 D．540

解析：由题意可知，5名保送生可分为1,1,3和1,2,2两种情况，故满足题意的不同的保送方法种数为C·A＋·A＝150.故选C.

答案：C

4．某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出频率分布直方图．已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分布直方图如图所示，第2小组的频数为10，则第5小组的频数是(　　)

A．4 B．5

C．8 D．10

解析：设从左到右前3个小组的频率分别为x,2x,3x，第5小组的频数是y，则

解得故选B.

答案：B

5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术．利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为(　　)

(参考数据：sin 15˚＝0.258 8，sin 7.5˚＝0.130 5)

A．2.598 B．3.106

C．3.132 D．3.142

解析：模拟执行程序，可得n＝6，S＝3sin 60˚＝，不满足条件n＞24；

n＝12时，S＝6sin 30˚＝3，不满足条件n＞24；

n＝24，S＝12sin 15˚＝12×0.258 8＝3.105 6，不满足条件n＞24；

n＝48，S＝24sin 7.5˚＝24×0.130 5＝3.132，满足条件n＞24，退出循环，输出S的值为3.132，故选C.

答案：C

6．(x2－)8的展开式中x4的系数为________．(用数字作答)

解析：(x2－)8的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)8－r(－)r＝(－1)rCx16－3r.令16－3r＝4，解得r＝4，所以x4的系数为(－1)4C＝70.

答案：70

7.如图，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为)．若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是________．

解析：路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率为P1＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝，

路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率为P2＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝.

因为＜，所以应选择路线A→E→F→B.

答案：A→E→F→B

8．调查某电脑公司的三名推销员，其工作年限与年推销金额如下表：

由表中数据算出线性回归方程为＝x＋a，若该电脑公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他(她)的年推销金额为________万元．

解析：由条件可知＝6，＝3，代入线性回归方程，可得a＝，所以＝x＋，当x＝6时，＝3.

答案：3

9．在2018年某大学自主招生期间，某校把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折算，选出前n名学生，并对这n名学生按成绩(单位：分)分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100 ，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，且第四组的学生人数为60，第五组对应的小长方形的高为0.02.

(1)请在图中补全频率分布直方图；

(2)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，且该大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，设第三组有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．

解析：(1)因为第四组的学生人数为60，且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，所以总人数为n＝5×60＝300，由频率分布直方图可知，第五组的学生人数为0.02×5×300＝30，又公差为＝15，

所以第一组的学生人数为45，第二组的学生人数为75，第三组的学生人数为90.

故第一、二、三、四组的频率分别为＝0.15，＝0.25，＝0.3，＝0.2.

补全频率分布直方图如图所示．

(2)由题意得，用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为90×＝3,60×＝2,30×＝1，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

因此ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

10．近年来我国电子商务行业迎来了发展的新机遇.2017年“双11”期间，某购物平台的交易额突破1 682亿元人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，统计结果显示这200次交易中买家对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易有80次．

(1)完成下列关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.1  的前提下，认为买家对商品满意与对服务满意有关.

(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了3次交易，设其对商品和服务都满意的次数为随机变量X：

①求X的分布列；

②求X的数学期望和方差．

附：

 2＝(n＝a＋b＋c＋d)．

解析：(1)由题意填写关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

假设买家对商品满意与对服务满意无关，

由列联表中数据可得 2的观测值 ＝≈11.111＞10.828，

故能在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，认为买家对商品满意与对服务满意有关．

(2)①由(1)可知，每次交易时，买家对商品和服务都满意的概率为，且X的所有可能取值是0,1,2,3.

P(X＝0)＝C×()3＝；P(X＝1)＝C×()1×()2＝；P(X＝2)＝C×()2×()1＝；P(X＝3)＝C×()3＝.

故X的分布列为

②由题易知X B(3，)，所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3××(1－)＝.