溯源回扣七　概率与统计

1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.

[回扣问题1]　从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________.

解析　该班学生视力在0.9以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.40，所以能报A专业的人数为50×0.40＝20.

答案　20

2.混淆直线方程y＝ax＋b与回归直线＝x＋系数的含义，导致回归分析中致误.

[回扣问题2]　(2017·山东卷改编)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________.

解析　易知＝＝22.5，＝＝160.因为＝4，所以160＝4×22.5＋，解得＝70，所以回归直线方程为＝4x＋70，当x＝24时，＝96＋70＝166.

答案　166

3.在独立性检验中，K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度.

[回扣问题3]　某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918.

附表：

则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过(　　)

A.95%   B.5%   C.97.5%  D.2.5%

解析　因为观测值k≈3.918>3.841，所以对照题目中的附表，得P(K2≥k0)＝0.05＝5%.∴“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过5%.

答案　B

4.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

[回扣问题4]　抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，求出现奇数点或2点的概率之和为________.

解析　由互斥事件概率加法公式，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.

答案　

5.几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误.

[回扣问题5]　在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.

解析　由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得<3，∴16k2<9，解得－<k<，

由几何概型的概率公式，P＝＝.

答案　

6.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同.

[回扣问题6]　在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(　　)

A.－56   B.－35   C.35   D.56

解析　因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以n＝8，所以二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.

答案　A

7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别

(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生.

(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).

[回扣问题7]　设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________.

解析　由条件概率P(B|A)＝＝，P(AB)＝.

∴P(A)＝＝2×＝.

答案　

8.求分布列时注意超几何分布和二项分布以及二者的均值和方差公式的区别，一定注意它们适用的条件.

[回扣问题8]　同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________.

解析　同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－

＝，且X～B，∴均值是2×＝.

答案　

9.正态密度曲线具有对称性，注意X～N(μ，σ2)时，P(X≥μ)＝0.5的灵活应用.

[回扣问题9]　已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)

A.0.6   B.0.4   C.0.3   D.0.2

解析　由P(ξ<4)＝0.8，

得P(ξ≥4)＝0.2.

由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，

∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.

∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.

答案　C