溯源回扣三　三角函数与平面向量

1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定.

[回扣问题1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.

解析　由三角函数定义，sin α＝－，cos α＝，

∴sin α＋cos α＝－.

答案　－

2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.

[回扣问题2]　函数y＝sin的递减区间是________.

解析　y＝－sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.

答案　(k∈Z)

3.运用二次函数求三角函数最值，注意三角函数取值的限制.

[回扣问题3]　(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.

解析　f(x)＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，由x∈，知0≤

cos x≤1，

当cos x＝，即x＝时，f(x)取到最大值1.

答案　1

4.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.在△ABC中，A>Bsin A>sin B.

[回扣问题4]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，c＝2，b＝2，则C＝________.

解析　由正弦定理得＝，∴sin C＝.

∵B＝，c＝2，b＝2，∴sin C＝＝，

又b<c，∴C＝或.

答案　或

5.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解.

[回扣问题5]　已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则cos β＝________.

解析　∵0<α<且cos α＝<cos＝，

∴<α<，又0<β<，∴<α＋β<π，

又sin(α＋β)＝<，∴<α＋β<π.

∴cos(α＋β)＝－＝－，

sin α＝＝.

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.

答案　

6.活用平面向量运算的几何意义，灵活选择几何运算与坐标运算.

[回扣问题6]　(1)(2017·全国Ⅱ卷改编)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝________.

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.

解析　(1)由|a＋b|＝|a－b|，知以a，b为邻边的平行四边形为矩形，从而a·b＝0.

(2)如图，建立平面直角坐标系，则＝(1，2)，＝(－2，2)，

所以·＝2.

答案　(1)0　(2)2

7.设两个非零向量a，b，其夹角为θ，当θ为锐角时，a·b>0，且a，b不同向；故a·b>0是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且a，b不反向，故a·b<0是θ为钝角的必要不充分条件.

[回扣问题7]　已知向量a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，设a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________.

解析　因为θ为锐角，

所以0<cos θ<1.

又因为cos θ＝

＝，

所以0<且≠1，

所以解得

所以λ的取值范围是.

答案　

8.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.

[回扣问题8]　若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为_________________.

解析　∵|－|＝|＋－2|，

∴||＝|＋|，

即|－|＝|＋|.

故以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形.

因此△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.

答案　直角三角形