2019届二轮复习小题对点练8　解析几何(2)作业（全国通用）

小题对点练(八)　解析几何(2)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．直线ax＋y－5＝0截圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的弦长为4，则a＝(　　)

A．－2　　　B．－3　　　C．2　　　D．3

C　[圆心为(2,1)，半径为r＝2，弦长为4等于直径，故直线过圆心，即2a＋1－5＝0，a＝2.]

2．(2018·齐齐哈尔模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x    B．y＝±x

C．y＝±2x    D．y＝±2x

D　[e＝＝3，则＝＝9，所以b2＝8a2，

即b＝2a，所以y＝±x＝±2x，故选D.]

3．(2018·广东五校协作体联考)已知M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|＝p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF＝(　　)

A. 45°    B. 30°    C. 15°    D. 60°

A　[因为|MF|＝p，所以xM＝p－＝ ，所以yM＝±p，∴∠MKF＝45°，选A.]

4．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

B　[圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，由|MN|≥2，得2≤2，所以d2≤1，即8k2＋6k≤0⇒－≤k≤0，故选B.]

5．(2018·张家口模拟)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为(　　)

A．2    B．2＋2    C．2＋4    D．2＋4

C　[∵双曲线－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，∴＝，可得a＝，c＝2，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，①|PF1|2－|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)(|PF1|＋|PF2|)＝2a(|PF1|＋|PF2|)＝2(|PF1|＋|PF2|)＝4，|PF1|＋|PF2|＝2，②　由①②得

|PF1|＝＋，|PF2|＝－，∴△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝4＋2，故选C.]

6．设点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是(　　)

A.    B.    C.    D.

C　[设△PF1F2的内切圆半径为r，则由S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，得

PF1×r＋PF2×r＝2×F1F2×r，即PF1＋PF2＝2F1F2，即2a＝2×2c，

所以椭圆的离心率为e＝＝，故答案为C.]

7．(2018·赣州模拟)双曲线x2－y2＝1的左右顶点分别为A1，A2，右支上存在点P满足β＝5α(其中α，β分别为直线A1P，A2P的倾斜角)，则α＝(　　)

A.    B.    C.    D.

D　[设P(x，y)，A1(－1,0)，A2(1,0)，

则kPA1＝，kPA2＝，则kPA1·kPA2＝＝1，

又kPA1＝tan α，kPA2＝tan β，所以tan αtan β＝1，

则α＋β＝，即6α＝，所以α＝，故选D.]

8．设椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)

A．8    B．10    C．12    D．15

D　[由已知·＝9＝|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，①

由椭圆定义知，||＋||＝2a＝8，||2＋||2＋2||·||＝64.②

由余弦定理得

||2＋||2－2||||cos∠F1PF2＝4c2＝16，③

由①②③得|PF1|·|PF2|＝15，故选D.]

9．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

C　[如图所示，

∵线段PF1的中垂线经过F2，

∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，

即椭圆上存在一点P，

使得|PF2|＝2c.

∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.]

10．(2018·河南名校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率kAF＝－，则△AFM的面积为(　　)

A．3    B．6    

C．9    D．12

C　[设准线l与x轴交于N，所以|FN|＝3，直线AF的斜率kAF＝－，所以∠AFN＝60°，在直角△ANF中，|AN|＝3，|AF|＝6，根据抛物线定义知，|MF|＝|MA|，又∠NAF＝30°，MA⊥l，所以∠MAF＝60°，因此△AMF是等边三角形，故|MA|＝6，所以△AFM的面积为S＝|MA||AN|＝×6×3＝9，故选C.]

11．直线y＝kx－1与椭圆＋＝1相切，则k，a的取值范围分别是(　　)

A．a∈(0,1)，k∈

B．a∈(0,1]，k∈

C．a∈(0,1)，k∈∪

D．a∈(0,1]，k∈

B　[∵直线y＝kx－1是椭圆的切线，且过点(0，－1)，

∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部，

∴a∈(0,1]．

由方程组消去x，得

(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.

∵直线和椭圆相切，

∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)

＝16ak2(a－1＋4k2)＝0.

∴k＝0或a＝1－4k2.

∵0＜a≤1，∴0＜1－4k2≤1.

∴k2＜2，∴k∈.]

12．已知双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是等腰三角形，∠A＝120°.则△ABF1的周长为(　　)

A．2(－1)    B.＋4

C.＋4    D.＋8

C　[双曲线的焦点在x轴上，则a＝1,2a＝2；

设|AF2|＝m，由双曲线的定义可知：|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋2，

由题意可得：|AF1|＝|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m＋|BF2| ，

据此可得：|BF2|＝2，又|BF1|－|BF2|＝2，

∴|BF1|＝4，

在△ABF1中，由正弦定理得＝，

则|BF1|＝|AF1|，即：4＝(2＋m)，

解得：m＝－2 ，

所以△ABF1的周长为：4＋2(2＋m)＝4＋2×＝4＋ .]

二、填空题

13．(2018·邢台模拟)设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别为曲线y＝上不同的两点，F，若|AF|＝2|BF|，且x1＝px2＋q，则＝________.

8　[曲线y＝，化简为y2＝x，|AF|＝2|BF|，根据抛物线的定义得到

x1＋＝2⇒x1＝2x2＋，

又因为x1＝px2＋q，故p＝2，q＝，＝8.]

14．已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．

2　[将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1，所以－＋1＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.]

15．(2018·六安模拟)已知直线y＝kx＋1(k≠0)交抛物线x2＝4y于E和F两点，以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2，则k＝________.

±1　[由消去y整理得x2－4kx－4＝0，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2.

由抛物线的定义可得|EF|＝y1＋y2＋2＝4k2＋4，

∴以EF为直径的圆的半径为|EF|＝2k2＋2，圆心到x轴的距离为

(y1＋y2)＝2k2＋1.由题意得(2k2＋2)2＝()2＋(2k2＋1)2，解得k＝±1.]

16．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝2－，则双曲线的离心率是________ .

图20

　[图略由＝2－得：＝(＋)可知，E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，PF′＝2OE＝a，∵E为切点，∴OE⊥PF，PF′⊥PF，PF－PF′＝2a，PF＝3a，又PF2＋PF′2＝FF′2，则10a2＝4c2，e＝.]