2019届二轮复习小题对点练6 立体几何(2)作业（全国通用）
展开小题对点练(六) 立体几何(2)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：
①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；②m∥n，m∥α⇒n∥α；
③m∥n，m⊥α⇒n⊥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是( )
A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③
B [①α∥β，m⊂α，n⊂β，则两条直线可以异面．故不正确．
②m∥n，m∥α，有可能直线n在平面内．故不正确．
③m∥n，m⊥α⇒n⊥α，根据线面垂直的判定定理得到结论正确．
④α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又因为α∥β，故n⊥β.结论正确；
故正确的是③④.]
2．如图12，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
图12
A．9(＋1)π＋8 B．9(＋2)π＋4－8
C．9(＋2)π＋4 D．9(＋1)π＋8－8
D [由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故S＝×(2π×3)×3＋π×32－(2)2＋4×＝9(＋1)π＋8－8.故选D.]
3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
D [由A，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；由B，若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；由C，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D项，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确，所以选D.]
4．(2018·湖北名校联考)已知一个几何体的三视图如图13所示，则该几何体的体积为( )
图13
A. B．8π＋
C．12π＋6 D.π＋4
A [由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成．由三视图中的数据可得其体积为V＝××4＋××4＝.选A.]
5．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的( )
A.倍 B.倍 C．2倍 D．2倍
C [设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R，则R2＝2＋r2.
∵圆锥的母线与底面所成角为60°，∴圆锥的高为r，母线长l＝2r，∴圆锥的侧面积为πlr＝2πr2.∴4πR2＝4π＝6×2πr2，∴＋r2＝3r2，∴h2＝8r2，＝2 .选C.]
6．三棱锥PABC的四个顶点都在球O上，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝2，BC＝2，则球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．28π
B [由题意，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，则直径＝＝2，
则R＝，所以表面积S＝4πR2＝20π，故选B.]
7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A．30° B．45° C．90° D．60°
D [连接BC1、D1A，D1C，
∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点
∴MN∥C1B.
∵C1B∥D1A，
∴MN∥D1A，
∴∠D1AC为异面直线AC与MN所成的角，
∵△D1AC为等边三角形，
∴∠D1AC＝60°，∴异面直线AC和MN所成的角为60°.]
8．A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝4，AB＝2，则该球的表面积为( )
A．8π B．16π C．32π D．64π
C [由题意画出几何体的图形如图，把A，B，C，D扩展为三棱柱，上下底面的中心E、F连线的中点．与A的距离为球的半径，AD＝4，AB＝2，△ABC是正三角形，所以AE＝2，AO＝2，所以球的表面积为4π(2)2＝32π，故选C.]
9. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图14所示，那么该几何体的体积是( )
图14
A. B．4 C. D．3
B [几何体如图，体积为：×23＝4，故选择B.]
10．(2018·桂林模拟)正四面体ABCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△ABC与△ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为( )
A．4 B．6 C．4 D．2
C [正四面体ABCD可补全为棱长为6的正方体，所以球O是正方体的外接球，其半径R＝×6＝3，设正四面体的高为h，则h＝＝4，故OM＝ON＝h＝，又MN＝BD＝4，所以O到直线MN的距离为＝，因此球O截直线MN所得的弦长为2＝4.
故选C.]
11．(2018·郑州模拟)刍薨(chuhong)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图15，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )
图15
A. 24 B．32 C. 64 D．32
B [茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为＝2；等腰三角形的底边长为4，高为＝2.
故侧面积为S＝2××2＋2×＝32.
即需要的茅草面积至少为32.选B.]
12．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )
A. B. C. D.
B [如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得＝，所以x＝2－2r，所以圆柱的体积V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3)(0＜r＜1)，设V(r)＝2π(r2－r3)(0＜r＜1)，则V′(r)＝2π(2r－3r2)，由2π(2r－3r2)＝0得r＝，V(r)在上递增，V(r)在上递减，所以圆柱的最大体积Vmax＝2π＝，故选B.]
二、填空题
13．如图16，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．
图16
[三棱锥的底S△ABA1＝×3×3＝，点P到底面的距离为△ABC的高：h＝，故三棱锥的体积V＝Sh＝.]
14．(2018·山师大附中模拟)若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；
②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；
③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；
④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
②④ [对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；
对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，在平面β内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线m垂直，故②正确；
对于③，④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．]
15．如图17，一张纸的长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________(写出所有正确命题的序号)．
图17
①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；
③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.
①②③④ [将平面图形沿图中虚线折起，使得P1，P2，P1，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则①由于(a)2＋(a)2＝4a2，∴该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，①正确．
②∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，BP，CP⊂平面BCD，∴AP⊥平面BCD，∵AP⊂平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正确．
③与②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正确．
④该多面体外接球的半径为a，表面积为5πa2，正确．]
16．(2018·临川模拟)已知三棱锥SABC的各顶点在一个表面积为4π的球面上，球心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC＝，则三棱锥SABC的体积为________．
[如图所示，设球的半径为r，则4πr2＝4π，解得r＝1.
∵OC2＋OA2＝2＝AC2，∴OC⊥OA.
∵球心O在AB上，SO⊥平面ABC，
则三棱锥的底面积：S△ABC＝×2×1＝1，
三棱锥的体积：V＝S△ABC×SO＝×1×1＝ .]
