2019届二轮复习小题对点练7　解析几何(1)作业（全国通用）

小题对点练(七)　解析几何(1)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设m∈R，则“m＝0 ”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的(　　)

A. 充分不必要条件　　　 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

A　[由直线l1与l2垂直可得(m＋1)(m－1)＋(1－m)(2m＋1)＝0，解得m＝0或m＝1.

所以“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的充分不必要条件．选A.]

2．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)

A．7　　　　B.　　　　C.　　　　D.

C　[由题意得a＝3，b＝，c＝，

∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.

∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°

＝|AF1|2－4|AF1|＋8，

∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.

解得|AF1|＝.

∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.]

3．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)

A.或    B．－或

C．－或    D.

A　[圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝，∵直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，∴由勾股定理得r2＝d2＋2，即4＝＋3，解得k＝±，故直线的倾斜角为或，故选A.]

4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝x，则该双曲线的离心率等于(　　)

A.    B.    C.    D.

C　[∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，

∴由题意得＝，即b＝a，

∵c2＝a2＋b2＝3a2，

∴c＝a，

∴离心率e＝＝.]

5．Rt△ABC中，|BC|＝4，以BC边的中点O为圆心，半径为1的圆分别交BC于P，Q，则|AP|2＋|AQ|2＝(　　)

A．4    B．6

C．8    D．10

D　[法一：特殊法．当A在BC的中垂线上时，

由|BC|＝4，得|OA|＝2.

所以|AP|2＋|AQ|2＝2OP2＋2OA2＝2(12＋22)＝10.选D.

法二：以O为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则B(－2,0)，C(2,0)，P(－1,0)，Q(1,0)，

图18

设A(x0，y0)，由AB⊥AC得

·＝－1.

即x＋y＝4.

所以|AP|2＋|AQ|2＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y

＝2(x＋y)＋2

＝2×4＋2＝10.

即|AP|2＋|AQ|2＝10.故选D.]

6．已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　)

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

D　[F，又中点(2,2)，所以M，

所以16＝2p，得p＝4.故选D.]

7．(2018·丹东市五校联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为(　　)

A．2    B.    C.    D.

D　[由题意得圆方程即为(x－3)2＋y2＝4，故圆心为(3,0)，半径为2.

双曲线的一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，

故圆心到渐近线的距离为d＝＝.

∵渐近线被圆截得的弦长为2，

∴2＋12＝22，整理得＝.

∴e＝＝＝＝＝.选D.]

8．设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(　　)

A.    B.    C.    D.

C　[由题意，＝ ，得ac＝(a2－c2)，

即e2＋e－＝0，所以e＝，故选C.]

9．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且·＝6(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1＋4S2最小值是(　　)

A.    B．6    C.    D．4

B　[设直线AB的方程为x＝ty＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴交点为M(m,0)，

∴联立，可得y2＝ty＋m，根据根与系数的关系得y1·y2＝－m.

∵·＝6，

∴x1x2＋y1y2＝6，即(y1·y2)2＋y1·y2－6＝0.

∵A，B位于x轴的两侧，

∴y1·y2＝－3，

∴m＝3，

设点A在x轴的上方，则y1＞0，

∵F，

∴S1＋4S2＝×3×(y1－y2)＋4××y1

＝＋y1＝2y1＋≥6，

当且仅当2y1＝，即y1＝时取等号，

∴S1＋4S2的最小值是6.]

10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径作圆C，再以CF1为直径作圆E，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)

图19

A.    B.

C.    D.

D　[由题意，F1P⊥CP，CP＝c，CF1＝c，所以PF1＝c，

又cos∠PF1F2＝＝，得PF2＝c，

所以PF1－PF2＝c－c＝2a，所以e＝＝，故选D.]

11．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)

A.    B.    C．1    D．2

D　[设AB的中点为M，焦点为F(0,1)，过点M作准线l：y＝－1的垂线MN，垂足为N，过点A作AC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，则|MN|＝≥＝3，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以AB的中点到x轴的最短距离dmin＝3－1＝2.故选D.]

12．(2018·长郡中学模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1，e2的关系为(　　)

A．e1＝e2    B．e＋e＝4

C.＋＝4    D．e＋3e＝4

C　[设椭圆与双曲线的方程分别为＋＝1，－＝1满足a－b＝a＋b＝c2，

则根据椭圆及双曲线的定义得

所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c.又因∠F1PF2＝，则在△PF1F2中由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos∠F1PF2，化简得a＋3a＝4c2，故＋＝4.]

二、填空题

13．(2018·天津模拟)圆心在直线y＝－4x上且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________．

(x－1)2＋(y＋4)2＝8　[∵圆心在直线y＝－4x上，

设圆心C为(a，－4a)，圆与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，

则kPC＝＝1，∴a＝1.即圆心为(1，－4)．

r＝|CP|＝＝2，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋4)＝8.]

14．若双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于________．

13　[∵||PF1|－|PF2||＝2a＝10，∴|3－|PF2||＝10，

∴|PF2|＝13或－7(舍)．]

15．已知双曲线S与椭圆＋＝1的焦点相同，如果y＝x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．

－＝1　[∵椭圆方程为＋＝1，双曲线S与椭圆＋＝1的焦点相同，

∴双曲线S的焦点坐标为(0，±5)，

设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝5，

∵y＝x是双曲线S的一条渐近线，

∴＝，

∵c2＝a2－b2，

∴a＝3，b＝4，

∴双曲线S的方程为－＝1.]

16．(2018·张掖市模拟)已知抛物线y2＝2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)，则x0的取值范围是________．(用区间表示)

(1，＋∞)　[设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，

∴AB不平行于y轴，即x1≠x2，又|PA|＝|PB|，即(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y，得(x1－x2)(x1＋x2－2x0)＝y－y，∵A，B是抛物线上的两点，∴y＝2x1，y＝2x2，代入上式，得x0＝1＋，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1＋x2＞0，即x0＞1，故答案为(1，＋∞)．]