2019-2020学年北京市首都师大附中育新学校中学部八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年北京市首都师大附中育新学校中学部八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各点中，在直线y＝3x上的点是（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（2，5）
2．下列各式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，7，8 D．1，，
4．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是（　　）

A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2
5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．0.6km B．1.2km C．1.5km D．2.4km
6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．下列函数的图象不经过第二象限，且y随x的增大而增大的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝x+2 C．y＝﹣x+2 D．y＝2x﹣1
8．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（　　）

A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　）

A．（0，﹣5） B．（0，﹣6） C．（0，﹣7） D．（0，﹣8）
10．如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
12．如图，在△ABC中，点D、E分別是AB，AC的中点，若BC＝6，则DE＝　 　．

13．若A（2，y1），B（3，y2）是一次函数y＝2x﹣3的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．如图，在数轴上点A表示的实数是　 　．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2的图象，则可以估计关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集为　 　．

16．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝　 　．

17．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于　 　．
18．下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
小明的作法如下：
做法：如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；
（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；
（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD＝OB；
（4）连接AD，CD．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
老师说，“小明的作法正确．”
请回答，小明作图的依据是：　 　．

三、解答题（7小题，共56分）
19．已知a＝+1，求代数式a2﹣2a+7的值．
20．已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．
求证：BE＝DF．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l的表达式为y＝2x﹣6，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），直线AB与直线l相交于点P．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）若直线l上存在一点C，使得△APC的面积是△APO的面积的2倍，直接写出点C的坐标．

22．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．将△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，BE交AD于点O．
（1）判断△BOD的形状，并证明；
（2）直接写出线段OD的长．

23．甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的数学学业水平，在同一次测试中，从两校各随机抽取了30名学生的测试成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分．
甲校
93 82 76 77 76 89 89 89 83 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 92 90 87 68 76 94 84 76 69 83 92
乙校
84 63 90 89 71 92 87 92 85 61 79 91 84 92 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90

（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格；

平均数
中位数
众数
甲校
83.4
87
89
乙校
83.2
　 　
　 　
（3）两所学校的同学都想依据抽样的数据说明自己学校学生的数学学业水平更好一些，请为他们各写出一条可以使用的理由；甲校：　 　．乙校：　 　．
（4）综合来看，可以推断出　 　校学生的数学学业水平更好一些，理由为　 　．
24．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH＝CG，连接AG，DH交于点P．
（1）依题意补全图1；
（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；
（3）若∠DAB＝70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．

25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．

（1）当原点正方形边长为4时，
①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是　 　；
②点P在直线y＝x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；
（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．














参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．解：A、当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点（1，3）在直线y＝3x上，点（1，﹣3）不在直线y＝3x上，选项A符合题意，选项C不符合题意；
B、当x＝3时，y＝3x＝9，
∴点（3，1）不在直线y＝3x上，选项B不符合题意；
D、当x＝2时，y＝3x＝6，
∴点（2，5）不在直线y＝3x上，选项D不符合题意．
故选：A．
2．解：A、＝2，不能与合并；
B、＝2，能与合并；
C、＝，不能与合并；
D、＝，不能与合并；
故选：B．
3．解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52+122＝132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62+72≠82，故是不直角三角形，故此选项符合题意；
D、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意
故选：C．
4．解：由图可知：
当x＞2时，y＜0，即kx+b＜0；
故关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2．
故选：C．
5．解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AB＝2.4km，
∴CM＝1.2km，
故选：B．
6．解：∵3.6＜7.4＜8.1，
∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，
∵95＞92，
∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故选：B．
7．解：A、y＝﹣2x的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项不合题意；
B、y＝x+2的图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故此选项不合题意；
C、y＝x+2的图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项不合题意；
D、y＝2x﹣1的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，故此选项符合题意；
故选：D．
8．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．

∵两张长方形纸条的宽度相等，
∴DE＝DF，
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，
∴这个四边形一定是轴对称图形，
故选：C．
9．解：∵A（12，13），
∴OD＝12，AD＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝5，
∴C（0，﹣5）．
故选：A．
10．解：根据题意当点P由E向C运动时，△PAB的面积匀速增加，当P由C向D时，△PAB的面积保持不变，当P由D向F运动时，△PAB的面积匀速减小但不为0．
故选：C．
二、填空题
11．解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．解：∵点D、E分別是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝×6＝3，
故答案为：3．
13．解：当x＝2时，y1＝2×2﹣3＝1；
当x＝3时，y2＝2×3﹣3＝3．
∵1＜3，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．解：如图，
由勾股定理，得
OB＝＝＝，
由圆的性质，得
OA＝OB＝，
∴点A表示的实数是﹣，
故答案为：﹣．
15．解：当x＜﹣2时，k1x+b1＞k2x+b2，
所以不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集为x＜﹣2．
故答案为x＜﹣2．
16．解：连接BD、BF，
∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，
∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，
∴∠DBF＝90°，
由勾股定理得：DF＝＝5，
∵H为线段DF的中点，
∴BH＝DF＝．
故答案为：．

17．解：①当x≤2时，x2+2＝8，
解得：x＝﹣；
②当x＞2时，2x＝8，
解得：x＝4．
故答案为：4或﹣．
18．解：由作法得EF垂直平分AC，则OA＝OC，
而OD＝OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC＝90°，
所以四边形ABCD为矩形．
故答案为：到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．
三、解答题（19、20每题5分，21、22每题6分，23、24每题7分，25题8分，共44分）
19．解：a2﹣2a+7＝（a﹣1）2+6，
当时，
原式＝（+1﹣1）2+6
＝5+6
＝11．
20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥BA，
∴DF∥BE，
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
21．解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b．
由点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），
可知，
解得，
所以直线AB的表达式为y＝﹣2x+2．
（2）由题意，得，
解得，
所以点P的坐标为（2，﹣2）．
（3）直线l的表达式为y＝2x﹣6，令y＝0，则x＝3，
∴直线l与x轴交于（3，0），
设点C的坐标为（x，2x﹣6），
∵△APC的面积是△APO的面积的2倍，
∴×（3﹣1）×|2x﹣6﹣（﹣2）|＝2××1×2，
解得x＝1或3，
∴C（3，0）或（1，﹣4）．

22．（本小题满分5分）
解：（1）△BOD为等腰三角形，证明如下：…………………………………………………………………（1分）
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．…………………………………………………………………………（2分）
又∵△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，
∴∠OBD＝∠DBC．…………………………………………………………………………
∴∠OBD＝∠ADB．
∴OB＝OD．
∴△BOD为等腰三角形．…………………………………………………………………………（4分）
（2）设OD＝x，则AO＝4﹣x，BO＝OD＝x，
由勾股定理得：OB2＝AB2+AO2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴OD＝．……………………………………………………………………………………………
23．解：（1）由表格可得，
乙校，70﹣79的有5人，60﹣69的有2人，
补全条形统计图，如下图．

（2）由条形统计图可得，
乙校数据按照从小到大排列是：57、61、63、71、72、73、76、79、80、83、84、84、84、85、85、87、87、88、89、89、90、90、91、92、92、92、92、92、94、94、
∴这组数据的中位数是：＝86，众数是92，
故答案为：86、92；
（3）甲校：我们学校的平均分高于乙校，所以我们学校的成绩好；
乙校：我们学校的众数高于甲校，所以我们学校的成绩好；
故答案为：我们学校的平均分高于乙校，所以我们学校的成绩好；我们学校的众数高于甲校，所以我们学校的成绩好；
（4）综合来看，甲校学生的数学学业水平更好一些，理由：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好．
故答案为：甲、甲校学生的数学学业水平更好一些，理由：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好．
24．J解：（1）补全的图形，如图所示．


（2）AG＝DH．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝CB，AB∥DC，∠ADC＝∠ABC．
∵点F为点B关于CE的对称点，
∴CE垂直平分BF．
∴CB＝CF，∠CBF＝∠CFB．
∴CD＝CF．
又∵FH＝CG，
∴DG＝CH．
∵∠ABC+∠CBF＝180°，∠DCF+∠CFB＝180°，
∴∠ADC＝∠DCF．
∴△ADG≌△DCH（SAS），
∴AG＝DH．

（3）不存在．理由如下：
由（2）可知，∠DAG＝∠CDH，∠G＝∠GAB，
∴∠DPA＝∠PDG+∠G＝∠DAG+∠GAB＝70°＞60°．
∴△ADP不可能是等边三角形．
25．解：（1）①∵原点正方形边长为4，
当P1（0，0）时，正方形上与P1的最小距离是2，故不存在Q使P1Q≤1；
当P2（﹣1，1）时，存在Q（﹣2，1），使P2Q≤1；
当P3（3，2）时，存在Q（2，2），使P3Q≤1；
故答案为P₂、P₃；
②如图所示：阴影部分就是原点正方形友好点P的范围，
由计算可得，点P横坐标的取值范围是：
1≤x≤2+或﹣2﹣≤x≤﹣1；
（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（0，2），B（2，0），
∵线段AB上存在原点正方形的友好点，
如图所示：
原点正方形边长a的取值范围2﹣≤a≤6．