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北京市首都师大附中2019-2020学年八年级下学期期末数学试卷(解析版)
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这是一份北京市首都师大附中2019-2020学年八年级下学期期末数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年北京市首都师大附中八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，8，9
2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3
3．（3分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝3x﹣1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1
4．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，4） C．（3，5） D．（﹣1，0）
6．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
7．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（3+）（3﹣）＝ ．
12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：1，则∠C＝ ．
13．（3分）直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为 ．
14．（3分）已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1，y2的大小关系是y1 y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．（3分）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是 ．
16．（3分）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为 ．
17．（3分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2 S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）
18．（3分）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是 ．
三、解答题（19-21题，每题6分；22-25题，每题7分，共46分）
19．（6分）计算：（4﹣3）÷．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝DF．
21．（6分）某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级成绩分布如下：
成绩
x年级
0≤x≤9
10≤x≤19
20≤x≤29
30≤x≤39
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七
0
0
0
0
4
3
7
4
2
0
八
1
1
0
0
0
4
6
5
2
1
（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）
b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：
年级
平均数
中位数
优秀率
合格率
七
64.7
m
30%
80%
八
63.3
67
n
90%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是 年级的学生（填“七”或“八”）；
（3）可以推断出 年级的竞赛成绩更好，理由是 （至少从两个不同的角度说明）．
22．（7分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
24．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣4
﹣5
﹣7
m
﹣1
﹣2
﹣
﹣
…
求m的值；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
25．（7分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，8，9
解：A、因为1+2＝3，不能构成三角形，故此选项错误；
B、因为32+42＝52，是勾股数，故此选项正确；
C、因为42+52≠62，不是勾股数，故此选项错误；
D、因为72+82≠92，不是勾股数，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3
解：根据题意得：x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故自变量x的取值范围是x≥﹣3．
故选：D．
3．（3分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝3x﹣1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1
解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后，其直线解析式为y＝3x﹣1．
故选：B．
4．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、＝2，正确；
B、3﹣＝2，故此选项错误；
C、2+，无法计算，故此选项错误；
D、＝2，故此选项错误．
故选：A．
5．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，4） C．（3，5） D．（﹣1，0）
解：A、当x＝1时，y＝2x﹣1＝1，
∴点（1，3）不在函数y＝2x﹣1的图象上；
B、当x＝﹣2时，y＝2x﹣1＝﹣5，
∴点（﹣2，4）不在函数y＝2x﹣1的图象上；
C、当x＝3时，y＝2x﹣1＝5，
∴点（3，5）在函数y＝2x﹣1的图象上；
D、当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，
∴点（﹣1，0）不在函数y＝2x﹣1的图象上．
故选：C．
6．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，
故选：A．
7．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
解：∵一次函数y＝﹣x﹣1中的k＝﹣1＜0，
∴该函数图象经过第二、四象限．
又∵b＝﹣1＜0，
∴该函数图象与y轴交于负半轴，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：D．
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选：D．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2BO＝12，
∴sin∠ACB＝＝＝，
∴∠ACB＝30°，
故选：A．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意当点P由E向C运动时，△PAB的面积匀速增加，当P由C向D时，△PAB的面积保持不变，当P由D向F运动时，△PAB的面积匀速减小但不为0．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（3+）（3﹣）＝ 7 ．
解：原式＝32﹣（）2
＝9﹣2
＝7．
故答案为7．
12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：1，则∠C＝ 120° ．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝2：1，
∴∠B＝×180°＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
13．（3分）直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为 5cm ．
解：由勾股定理得，斜边长为：＝10，
则斜边上的中线长为：×10＝5cm，
故答案为：5cm．
14．（3分）已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1，y2的大小关系是y1 ＞ y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
解：当x＝﹣3时，y1＝﹣3×（﹣3）+1＝10；
当x＝2时，y2＝﹣3×2+1＝﹣5．
∵10＞﹣5，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
15．（3分）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是 6 ．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD，
由折叠的性质可得：AB＝AF，BE＝FE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，
设AB＝AF＝CD＝x，则AC＝x+4，
∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+4）2，
解得：x＝6，
∴CD＝6，
故答案为：6．
16．（3分）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为 y＝x+2或y＝﹣x+7 ．
解：∵对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上．
当点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上时，
，解得：，
∴此时一次函数的解析式为y＝x+2；
当（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上时，
，解得：，
此时一次函数的解析式为y＝﹣x+7．
故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+7．
17．（3分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2 ＜ S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）
解：从整体上看，甲的10株麦苗比较集中，整齐，而乙的则显得分散，乙的离散程度较大，因此乙的方差也大，
故答案为：＜
18．（3分）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是 ①③ ．
解：∵直线y1＝kx经过第一、三象限，
∴k＞0，故①正确；
∵y2＝﹣x+b与y轴交点在负半轴，
∴b＜0，故②错误；
∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；
当x＜﹣2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象的下方，即kx＜﹣x+b，故④错误．
故答案为①③．
三、解答题（19-21题，每题6分；22-25题，每题7分，共46分）
19．（6分）计算：（4﹣3）÷．
解：原式＝4÷﹣3÷
＝4﹣3．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝DF．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴BE＝DF．
21．（6分）某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级成绩分布如下：
成绩
x年级
0≤x≤9
10≤x≤19
20≤x≤29
30≤x≤39
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七
0
0
0
0
4
3
7
4
2
0
八
1
1
0
0
0
4
6
5
2
1
（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）
b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：
年级
平均数
中位数
优秀率
合格率
七
64.7
m
30%
80%
八
63.3
67
n
90%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是 八 年级的学生（填“七”或“八”）；
（3）可以推断出 八 年级的竞赛成绩更好，理由是 从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好 （至少从两个不同的角度说明）．
解：（1）m＝（63+65）÷2＝64，n＝（5+2+1）÷20＝40%，
答：m＝64，n＝40%．
（2）因为平均数会受到极端值的影响，八年级有两个学生的成绩较差，使平均分较低，小军虽然高于平均成绩，仍可能排在后面，可以估计他是八年级学生，
故答案为：八
（3）八年级学生成绩较好，从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好．
22．（7分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上，
∴b＝2×1+1＝3；
∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上，
∴3＝m+4，
∴m＝﹣1．
（2）当x＝a时，yC＝2a+1；
当x＝a时，yD＝4﹣a．
∵CD＝2，
∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2，
解得：a＝或a＝．
∴a的值为或．
23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴▱BECD是矩形；
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝CE＝1，FG⊥BE，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝．
∴AB＝BE＝．
∴AG＝，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝
24．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是 x≠1
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣4
﹣5
﹣7
m
﹣1
﹣2
﹣
﹣
…
求m的值；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 y＝﹣3 越来越靠近而永不相交．
解：（1）由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1；
（2）当x＝时，m＝﹣3＝4﹣3＝1，
即m的值为1；
（3）图象如图所示：
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝﹣3越来越靠近而永不相交，
故答案为y＝﹣3．
25．（7分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）
解：（1）如图1中，结论：EF＝BE．
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC，
∵CM平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∵CF＝AE，
∴EC＝CF，
∴EF＝EC，
∴EF＝BE．
（2）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．
理由：连接ED，DF．
由正方形的对称性可知，BE＝DE，∠CBE＝∠CDE
∵正方形ABCD，
∴AB＝CD，∠BAC＝45°，
∵点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，
∴∠DCF＝45°，
∴∠BAC＝∠DCF，
由∵CF＝AE，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，
∴DE＝DF，
又∵∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CDF+∠CDE＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形
∴EF＝DE，
∴EF＝DE．
（3）如图3中，当点B，E，F在一条直线上时，∠图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．
CBE＝22.5°．
理由：∵∠ECF＝∠EDF＝90°，
∴E，C，F，D四点共圆，
∴∠BFC＝∠CDE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝∠CBE，
∴∠CBF＝∠CFB，
∵∠FCG＝∠CBF+∠CFB＝45°，
∴∠CBE＝22.5°．
2019-2020学年北京市首都师大附中八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，8，9
2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3
3．（3分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝3x﹣1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1
4．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，4） C．（3，5） D．（﹣1，0）
6．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
7．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（3+）（3﹣）＝ ．
12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：1，则∠C＝ ．
13．（3分）直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为 ．
14．（3分）已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1，y2的大小关系是y1 y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．（3分）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是 ．
16．（3分）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为 ．
17．（3分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2 S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）
18．（3分）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是 ．
三、解答题（19-21题，每题6分；22-25题，每题7分，共46分）
19．（6分）计算：（4﹣3）÷．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝DF．
21．（6分）某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级成绩分布如下：
成绩
x年级
0≤x≤9
10≤x≤19
20≤x≤29
30≤x≤39
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七
0
0
0
0
4
3
7
4
2
0
八
1
1
0
0
0
4
6
5
2
1
（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）
b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：
年级
平均数
中位数
优秀率
合格率
七
64.7
m
30%
80%
八
63.3
67
n
90%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是 年级的学生（填“七”或“八”）；
（3）可以推断出 年级的竞赛成绩更好，理由是 （至少从两个不同的角度说明）．
22．（7分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
24．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣4
﹣5
﹣7
m
﹣1
﹣2
﹣
﹣
…
求m的值；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
25．（7分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，8，9
解：A、因为1+2＝3，不能构成三角形，故此选项错误；
B、因为32+42＝52，是勾股数，故此选项正确；
C、因为42+52≠62，不是勾股数，故此选项错误；
D、因为72+82≠92，不是勾股数，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3
解：根据题意得：x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故自变量x的取值范围是x≥﹣3．
故选：D．
3．（3分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝3x﹣1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1
解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后，其直线解析式为y＝3x﹣1．
故选：B．
4．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、＝2，正确；
B、3﹣＝2，故此选项错误；
C、2+，无法计算，故此选项错误；
D、＝2，故此选项错误．
故选：A．
5．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，4） C．（3，5） D．（﹣1，0）
解：A、当x＝1时，y＝2x﹣1＝1，
∴点（1，3）不在函数y＝2x﹣1的图象上；
B、当x＝﹣2时，y＝2x﹣1＝﹣5，
∴点（﹣2，4）不在函数y＝2x﹣1的图象上；
C、当x＝3时，y＝2x﹣1＝5，
∴点（3，5）在函数y＝2x﹣1的图象上；
D、当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，
∴点（﹣1，0）不在函数y＝2x﹣1的图象上．
故选：C．
6．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，
故选：A．
7．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
解：∵一次函数y＝﹣x﹣1中的k＝﹣1＜0，
∴该函数图象经过第二、四象限．
又∵b＝﹣1＜0，
∴该函数图象与y轴交于负半轴，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：D．
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选：D．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2BO＝12，
∴sin∠ACB＝＝＝，
∴∠ACB＝30°，
故选：A．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意当点P由E向C运动时，△PAB的面积匀速增加，当P由C向D时，△PAB的面积保持不变，当P由D向F运动时，△PAB的面积匀速减小但不为0．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（3+）（3﹣）＝ 7 ．
解：原式＝32﹣（）2
＝9﹣2
＝7．
故答案为7．
12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：1，则∠C＝ 120° ．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝2：1，
∴∠B＝×180°＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
13．（3分）直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为 5cm ．
解：由勾股定理得，斜边长为：＝10，
则斜边上的中线长为：×10＝5cm，
故答案为：5cm．
14．（3分）已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1，y2的大小关系是y1 ＞ y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
解：当x＝﹣3时，y1＝﹣3×（﹣3）+1＝10；
当x＝2时，y2＝﹣3×2+1＝﹣5．
∵10＞﹣5，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
15．（3分）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是 6 ．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD，
由折叠的性质可得：AB＝AF，BE＝FE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，
设AB＝AF＝CD＝x，则AC＝x+4，
∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+4）2，
解得：x＝6，
∴CD＝6，
故答案为：6．
16．（3分）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为 y＝x+2或y＝﹣x+7 ．
解：∵对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上．
当点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上时，
，解得：，
∴此时一次函数的解析式为y＝x+2；
当（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上时，
，解得：，
此时一次函数的解析式为y＝﹣x+7．
故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+7．
17．（3分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2 ＜ S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）
解：从整体上看，甲的10株麦苗比较集中，整齐，而乙的则显得分散，乙的离散程度较大，因此乙的方差也大，
故答案为：＜
18．（3分）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是 ①③ ．
解：∵直线y1＝kx经过第一、三象限，
∴k＞0，故①正确；
∵y2＝﹣x+b与y轴交点在负半轴，
∴b＜0，故②错误；
∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；
当x＜﹣2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象的下方，即kx＜﹣x+b，故④错误．
故答案为①③．
三、解答题（19-21题，每题6分；22-25题，每题7分，共46分）
19．（6分）计算：（4﹣3）÷．
解：原式＝4÷﹣3÷
＝4﹣3．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝DF．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴BE＝DF．
21．（6分）某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级成绩分布如下：
成绩
x年级
0≤x≤9
10≤x≤19
20≤x≤29
30≤x≤39
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七
0
0
0
0
4
3
7
4
2
0
八
1
1
0
0
0
4
6
5
2
1
（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）
b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：
年级
平均数
中位数
优秀率
合格率
七
64.7
m
30%
80%
八
63.3
67
n
90%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是 八 年级的学生（填“七”或“八”）；
（3）可以推断出 八 年级的竞赛成绩更好，理由是 从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好 （至少从两个不同的角度说明）．
解：（1）m＝（63+65）÷2＝64，n＝（5+2+1）÷20＝40%，
答：m＝64，n＝40%．
（2）因为平均数会受到极端值的影响，八年级有两个学生的成绩较差，使平均分较低，小军虽然高于平均成绩，仍可能排在后面，可以估计他是八年级学生，
故答案为：八
（3）八年级学生成绩较好，从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好．
22．（7分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上，
∴b＝2×1+1＝3；
∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上，
∴3＝m+4，
∴m＝﹣1．
（2）当x＝a时，yC＝2a+1；
当x＝a时，yD＝4﹣a．
∵CD＝2，
∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2，
解得：a＝或a＝．
∴a的值为或．
23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴▱BECD是矩形；
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝CE＝1，FG⊥BE，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝．
∴AB＝BE＝．
∴AG＝，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝
24．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是 x≠1
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣4
﹣5
﹣7
m
﹣1
﹣2
﹣
﹣
…
求m的值；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 y＝﹣3 越来越靠近而永不相交．
解：（1）由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1；
（2）当x＝时，m＝﹣3＝4﹣3＝1，
即m的值为1；
（3）图象如图所示：
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝﹣3越来越靠近而永不相交，
故答案为y＝﹣3．
25．（7分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）
解：（1）如图1中，结论：EF＝BE．
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC，
∵CM平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∵CF＝AE，
∴EC＝CF，
∴EF＝EC，
∴EF＝BE．
（2）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．
理由：连接ED，DF．
由正方形的对称性可知，BE＝DE，∠CBE＝∠CDE
∵正方形ABCD，
∴AB＝CD，∠BAC＝45°，
∵点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，
∴∠DCF＝45°，
∴∠BAC＝∠DCF，
由∵CF＝AE，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，
∴DE＝DF，
又∵∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CDF+∠CDE＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形
∴EF＝DE，
∴EF＝DE．
（3）如图3中，当点B，E，F在一条直线上时，∠图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．
CBE＝22.5°．
理由：∵∠ECF＝∠EDF＝90°，
∴E，C，F，D四点共圆，
∴∠BFC＝∠CDE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝∠CBE，
∴∠CBF＝∠CFB，
∵∠FCG＝∠CBF+∠CFB＝45°，
∴∠CBE＝22.5°．
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