【数学】甘肃省张掖市临泽一中2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：选修1-1，选修1-2，选修4-4，选修4-5．。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，则复数z的虚部是
A．1 B． C．3 D．
2．用反证法证明命题：“若，，且，则，全为”时，应假设
A．且 B．，不全为
C．，中至少有一个为 D．，中只有一个为
3．已知命题P：，则为（ ）
A． B．
C． D．
4．观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A． B． C． D．
5．假设有两个变量与的列联表如下表：
| ||
对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
6．长、宽分别为，的矩形的外接圆的面积为，将此结论类比到空间中，正确的结论为（ ）
A．长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的半径为
B．长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的表面积为
C．长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的体积为
D．长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的表面积为
7．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．乙 B．甲 C．丁 D．丙
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）.若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（ ）
A．ρ＝sinθ B．ρ＝2sinθ C．ρ＝cosθ D．ρ＝2cosθ
9．执行如图所示的程序框图，若输入的值为256，则输出的值为（ ）
A．8 B．3 C． D．
10．用模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性方程为，则（ ）
A． B． C． D．
11．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
12．设双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为直线与轴和双曲线的右支交于、两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是 ．
14．已知实数满足则的最大值为________.
15．对奇数列1，3，5，7，9…，进行如下分组：第一组含一个数；第二组含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数；…试观察猜想每组内各数之和()与组的编号数的关系式为________．
16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）关于复数的方程.
（1）若此方程有实数解，求的值；
（2）证明：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根.
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.
19．（12分）已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
21．（12分）
2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：
| 男性观众 | 女性观众 |
认为中国男篮能够进入十六强 | 60 |
|
认为中国男篮不能进入十六强 |
|
|
若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为.
（1）完善上述表格；
（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？
附：，其中.
22．（12分）已知函数．
（1）若函数有两个零点，证明：；
（2）设函数的两个零点为，．证明：．
参考答案
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | B | C | C | B | D | A | D | C | C | C | B |
13．甲 14． 15． 16．
17．（本小题满分10分）
【解析】（1）设，带入原方程得，
即，则，故.
（2）证明:假设原方程有纯虚数根，设（，且），
则有，整理可得，
则，对于，判别式，
则方程无实数解，
故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.
18．（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
【解析】（I）当时，化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得．
所以的解集为．
（II）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．
由题设得，故．所以a的取值范围为
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）依题意，
当时，原式化为，
故，解得；
当时，原式化为
故，解得；
综上所述，不等式的解集为
（2）依题意，
即
对恒成立
令
故实数的取值范围是
20．（本小题满分12分）
【答案】（1）的普通方程为．的直角坐标方程为
（2）（-1，0）或（2，3）
【解析】（1）由消去参数，得．
即直线的普通方程为．
因为
又，
∴曲线的直角坐标方程为
（2）由知，曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆
设点P的坐标为，则点P到上的点的最短距离为|PQ|
即，整理得，解得
所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）依题意，得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为.
完善表格如下表所示：
| 男性观众 | 女性观众 |
认为中国男篮能够进入十六强 | 60 | 50 |
认为中国男篮不能进入十六强 | 40 | 50 |
（2）本次试验中，的观测值.
所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关.
22．（本小题满分12分）
【答案】（1）（2）在轴上存在点，使得为定值
【解析】(1)依题意，得，
则，
故椭圆的标准方程为.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代人椭圆的方程，可得
设，，则，
设，则
若为定值，则，解得
此时
点的坐标为
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代人，得
不妨设，若，则
综上所述，在轴上存在点，使得为定值
