【数学】甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年

高二下学期期中考试（文）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

测试范围：选修1-1，选修1-2，选修4-4，选修4-5．。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．命题“若，则”的逆否命题是（    ）

A．若，则且 B．若，则

C．若或，则 D．若或，则

2．是虚数单位，复数满足，则

A． B． C． D．

3．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（    ）

A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌

B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌

C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人

D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

5．已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设z = lny，其变换后得到一组数据下：

由上表可得线性回归方程，则c =（    ）

A．-4 B． C．109 D．e109

6．下列说法正确的是(    )

A．回归直线至少经过其样本数据中的一个点

B．从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数

7．已知（是自然对数的底数），则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

8．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的，则的值可以是(   )

 (参考数据: ，，)

A． B． C． D．

9．函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

10．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（    ）

A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦

11．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(    )

A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若复数满足，则的取值范围是______．

14．“光明天使”基金收到甲乙丙三兄弟24万、25万、26万三笔捐款（一人捐一笔款），记者采访这三兄弟时，甲说：“乙捐的不是最少.”乙说：“甲捐的比丙多.”丙说：“若我捐的最少，则甲捐的不是最多.”根据这三兄弟的回答，确定乙捐了_________万.

15．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述错误的的是_____________.

①甲只能承担第四项工作

②乙不能承担第二项工作

③丙可以不承担第三项工作

④丁可以承担第三项工作

16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知命题直线与焦点在轴上的椭圆无公共点，命题方程表示双曲线．

（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

19．（12分）某品牌汽车4S店为对厂家研发的一种辅助产品进行合理定价，对该产品进行试销售，如图1.在试销售期间对名顾客进行回访，由客户对该产品性能作出“满意”或“不满意”评价，如图2.

（1）判断能否有的把握认为“客户购买产品对产品性能满意之间有关”？

（2）请结合数据：，，，，求与的回归方程（精确到）

20．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).

（1）求曲线的直角坐标系方程和直线的普通方程；

（2）点在曲线上，且到直线的距离为，求符合条件的点的直角坐标.

21．（12分）已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.

22．（12分）

已知函数（其中a是实数）．

（1）求的单调区间；

    （2）若设，且有两个极值点 ，，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

参考答案

13．        14．26      15．①③④     16．

17．（本小题满分10分）

【答案】(1) .     （2）或.

【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，∴，

又∵直线与椭圆无公共点，

由得，

∴，结合，可得，

即命题是真命题，实数的取值范围为.

（2）方程表示双曲线，

∴，解得或，

又∵命题是命题的充分不必要条件，

∴或，解得或，

即实数的取值范围或.

18．（本小题满分12分）

【答案】（1）（2）

【解析】（1）或或

解得或或无解

综上不等式的解集为．

（2）时，，即

所以只需在时恒成立即可

令，

由解析式得在上是增函数，

∴当时，

即

19．（本小题满分12分）

【答案】（1）有；（2）

【解析】（1），

所以有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.

（2）由散点图可知，与的线性相关性较强，设.

由题设，

所以，

所以，又，所以关于的回归方程为.

20．（本小题满分12分）

【答案】(1),;   (2), ,,

【解析】(1)由曲线的极坐标方程为,则

即,得其标准方程为.

直线参数方程为(为参数),则其普通方程为.

(2)由(1)得曲线为圆心为,半径为5的圆,曲线的参数方程为

(为参数),则,化简为

可得或.

当时,注意到,联立方程组得

或,此时对应的点坐标为.

当时,同理可得或,即点坐标为.

综上,符合条件的点坐标为.

21．（本小题满分12分）

【答案】（1）（2）在轴上存在点，使得为定值

【解析】(1)依题意，得，

则，

故椭圆的标准方程为.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代人椭圆的方程，可得

设，，则，

设，则

若为定值，则，解得

此时

点的坐标为

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代人，得

不妨设，若，则

综上所述，在轴上存在点，使得为定值

22．（本小题满分12分）

【解析】（1） (其中是实数)，

的定义域，，

令，=-16,对称轴，，

当=-160，即-4时，，

函数的单调递增区间为，无单调递减区间，

当=-160,即或

若，则恒成立，

的单调递增区间为，无单调递减区间．

若4，令，得

=，=，

当(0,)(,+时，当（）时，

的单调递增区间为（0，），（），单调递减区间为（）

综上所述当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，

当时，的单调递增区间为（0，）和（），单调递减区间为（）

(2)由(1)知，若有两个极值点，则4，且，，又，，，，

又，解得，

令， 则恒成立

在单调递减，，

即

故的取值范围为