【数学】四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
- B. C. D.
2、右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A. 5 B. 4 C. 6 D. 9
3、点的极坐标是，则在以极点为原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，点的直角坐标是（ ）
- B. C. D.
4、已知数列满足，若，则（ ）
- B. C. D.
5、已知命题，则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
6、在三棱锥中，，且两两互相垂直,则三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7、阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入的值为6，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8、已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）
A. B． C． D．
9、过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若两点的横坐标之和为3，则（ ）
A． B． C． D．
10、已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11、已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线在第一象限的交点为，的角平分线与交于点，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
12、已知函数，若时，恒有，则的最大值为（ ）
- B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、 从1，2，3，....，9这9个正整数中选择两个，使其和为奇数，则不同的选择方法种数是 .
14、函数的图象在处的切线方程为，
则 ， ．
15、已知是直线上的动点，是圆
的两条切线，是切点，是圆心，若四边形的面
积的最小值为，则的值为 .
16、已知函数，若关于的方程有四个不相等的实
数根，则实数的取值范围是 。
三、解答题（共70分）
17、（10分）已知命题不等式的解集是. 命题函数在定义域内是增函数. 若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18、（12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.
（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.
（i）请将表格补充完整；
| 短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 |
60岁及以上 | 90 |
|
|
60岁以下 |
|
| 140 |
合计 |
|
| 300 |
（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.
19、（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为的中点，底面，.
（1）求证：平面；
（2）求钝二面角的余弦值.
20、（12分）在直角坐标系中，已知直线过点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，求的最大值．
21、（12分）已知椭圆经过点与两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不与椭圆的顶点重合）， 椭圆上一点满足 . 求证:为定值.
22、（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）设函数，若有两个零点，
（i）求的取值范围；（ii）证明：.
参考答案
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | C | A | D | C | A | C | B | C | D | D | C |
二、填空题
13 | 14 | 15 | 16 |
20 | 3 |
三、解答题
17 解：若命题为真命题，则，解得；
若命题为真命题，则，.
因为 为真命题，为假命题，
所以两命题一真一假
（1）p真q假，则，
（2）p假q真，则，
综上所述，的取值范围是.
18 （1）平均数
.
“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5
所以500人中“长潜伏者”的人数为人
（2）（i）由题意补充后的表格如图：
| 短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 |
60岁及以上 | 90 | 70 | 160 |
60岁以下 | 60 | 80 | 140 |
合计 | 150 | 150 | 300 |
（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，
从中抽取2人，共有，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，
共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果.
所以所求概率.
19 解：（1）证明：∵，∴.
∵四边形是矩形，所以，
由 ，∴.
，为的中点，∴
由 .
（2）由已知三条直线两两垂直，于是可以分别以射线、、为建立空间直角坐标系.
则,
所以
设平面的法向量为，则
，令，则.
设平面的法向量为，则
，令，则.
.
设二面角的平面角为，由已知为钝角，
∴.
- (1)将方程两边同时乘以，
得
∵
∴，即
所以曲线的直角坐标方程为.
(2) 设直线的倾斜角为，∵直线与抛物线有两个交点，所以
∴直线的参数方程为，将其代入，
得
设两点对应的参数分别是，则
由于，∴一正一负
于是
∴当时，的最大值为
21 （1）将与代入椭圆方程，得，解得，
∴椭圆的方程为.
（2）∵直线过原点，所以两点关于原点对称.
∵，∴在线段的中垂线上.
∵不与椭圆的顶点重合，所以直的斜率存在且不为0，设其为.
所以直线的方程为，由
所以 ，∴
又直线，同理可得，
22 解：（1），
①当时，，；
∴上单调递减，在上单调递增；
②当时，，∴在上单调递增；
③当时，，，
，∴上单调递增，在上单调递减；
④当时，，，
，∴上单调递增，在上单调递减；
（2），
(i) 若，则恒成立，在上递增，所以至多一个零点，与已知不符合，故
时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，为
当时，， 当时，
∵有两个零点，所以只需极大值，即
设，
则，所以在上单调递减
又，所以使得的.
(II) 结合（i）的分析，不妨设，
设，，
所以
当时，，∴在上单调递增.
∵，且，∴
又，∴，
由，可知与均属于，
又在上单调递减，
∴由，即.
