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黑龙江省哈尔滨市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（理）试题
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这是一份黑龙江省哈尔滨市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共8页。试卷主要包含了下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（每题5分，共60分）
1、某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，其中说法正确的为 （ ）
①该抽样可能是系统抽样；
②该抽样可能是简单随机抽样；
③该抽样一定不是按性别的分层抽样；
④本次抽样中每个人被抽到的概率都是；
A．②③④B．②③C．①②③D．③④
2、现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出
0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、
9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20
组随机数 ：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ）
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
3、从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，
则选法总数应为 （ ）
A． B． C． D．
4、下列说法错误的是 （ ）
A．若直线 QUOTE //平面 QUOTE ，直线 QUOTE //平面 QUOTE ，则直线 QUOTE 不一定平行于直线 QUOTE
B．若平面 QUOTE 不垂直于平面 QUOTE ，则 QUOTE 内一定不存在直线垂直于平面 QUOTE
C．若平面 QUOTE 平面 QUOTE ，则 QUOTE 内一定不存在直线平行于平面 QUOTE
D．若平面 QUOTE 平面 QUOTE ，平面 QUOTE 平面 QUOTE ， QUOTE ，则 QUOTE 一定垂直于平面 QUOTE
5、已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 （ ）
A． B．C．D．
6、已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 （ ）
A．1 B． C．2 D．
7、已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则等于（ ）
A．1B．2C．4D．8
8、已知双曲线一条渐近线方程为，则双曲线方程可以是 （ ）
A． B． C． D．
9、设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，且，
那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 （ ）
（附：若随机变量，则 ， )
A． B． C． D．
10、 QUOTE 的展开式中，含 QUOTE 项的系数为 （ ）
A． B． C． D．
QUOTE
11、已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，，则这个球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
12、小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件{个人去的景点彼此
互不相同}，事件{小赵独自去一个景点}，则 （ ）
A．B． C． D．
二.填空题（每题5分，共20分）
13、设随机变量服从二项分布，且期望，其中，
则方差=______．
14、某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．
15、已知点P是椭圆 QUOTE 上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
已知∠F1PF2=60°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为______．
QUOTE
16、如图，三棱柱中，侧棱底面，，
，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．
有下列判断，其中正确的序号是______．
①直线与直线是异面直线；
②一定不垂直于；
③三棱锥的体积为定值；
④的最小值为．
三.解答题（共70分）
17、（10分）40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数；
（3）从成绩在的学生中任选3人，求这3人的成绩都在中的概率．
（12分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都
没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19、（12分）在三棱锥中，平面，，，
分别为上的动点，且//平面，二面角为．
求证：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
20、（12分）某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，
以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于
95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．
（1）从这10人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望；
（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，
记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望和方差．
21、（12分）在平面四边形中（图1），为的中点，，
且，现将此平面四边形沿折起，使得二面角为直二面角，
得到一个多面体，为平面内一点，且为正方形（图2），分别为
的中点．
求证：平面//平面；
在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？
若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
22、（12分）已知椭圆的离心率，一个焦点在直线上，
若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为．
（1）求该椭圆的方程．
（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
1-6 CACCDB 7-12BDAADD
13. 18 14. 8 15. 16. ①③④
17.（1） （2）77.14，75 （3）
18. （1） （2）
19.
20.（1）
（2）
21. （2）
22. （1） （2）
0
1
2
3
0
1
2
3
一.选择题（每题5分，共60分）
1、某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，其中说法正确的为 （ ）
①该抽样可能是系统抽样；
②该抽样可能是简单随机抽样；
③该抽样一定不是按性别的分层抽样；
④本次抽样中每个人被抽到的概率都是；
A．②③④B．②③C．①②③D．③④
2、现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出
0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、
9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20
组随机数 ：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ）
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
3、从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，
则选法总数应为 （ ）
A． B． C． D．
4、下列说法错误的是 （ ）
A．若直线 QUOTE //平面 QUOTE ，直线 QUOTE //平面 QUOTE ，则直线 QUOTE 不一定平行于直线 QUOTE
B．若平面 QUOTE 不垂直于平面 QUOTE ，则 QUOTE 内一定不存在直线垂直于平面 QUOTE
C．若平面 QUOTE 平面 QUOTE ，则 QUOTE 内一定不存在直线平行于平面 QUOTE
D．若平面 QUOTE 平面 QUOTE ，平面 QUOTE 平面 QUOTE ， QUOTE ，则 QUOTE 一定垂直于平面 QUOTE
5、已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 （ ）
A． B．C．D．
6、已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 （ ）
A．1 B． C．2 D．
7、已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则等于（ ）
A．1B．2C．4D．8
8、已知双曲线一条渐近线方程为，则双曲线方程可以是 （ ）
A． B． C． D．
9、设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，且，
那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 （ ）
（附：若随机变量，则 ， )
A． B． C． D．
10、 QUOTE 的展开式中，含 QUOTE 项的系数为 （ ）
A． B． C． D．
QUOTE
11、已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，，则这个球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
12、小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件{个人去的景点彼此
互不相同}，事件{小赵独自去一个景点}，则 （ ）
A．B． C． D．
二.填空题（每题5分，共20分）
13、设随机变量服从二项分布，且期望，其中，
则方差=______．
14、某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．
15、已知点P是椭圆 QUOTE 上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
已知∠F1PF2=60°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为______．
QUOTE
16、如图，三棱柱中，侧棱底面，，
，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．
有下列判断，其中正确的序号是______．
①直线与直线是异面直线；
②一定不垂直于；
③三棱锥的体积为定值；
④的最小值为．
三.解答题（共70分）
17、（10分）40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数；
（3）从成绩在的学生中任选3人，求这3人的成绩都在中的概率．
（12分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都
没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19、（12分）在三棱锥中，平面，，，
分别为上的动点，且//平面，二面角为．
求证：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
20、（12分）某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，
以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于
95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．
（1）从这10人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望；
（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，
记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望和方差．
21、（12分）在平面四边形中（图1），为的中点，，
且，现将此平面四边形沿折起，使得二面角为直二面角，
得到一个多面体，为平面内一点，且为正方形（图2），分别为
的中点．
求证：平面//平面；
在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？
若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
22、（12分）已知椭圆的离心率，一个焦点在直线上，
若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为．
（1）求该椭圆的方程．
（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
1-6 CACCDB 7-12BDAADD
13. 18 14. 8 15. 16. ①③④
17.（1） （2）77.14，75 （3）
18. （1） （2）
19.
20.（1）
（2）
21. （2）
22. （1） （2）
0
1
2
3
0
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